1、应用随机过程,Application of Stochastic Processes,范爱华,数理科学与工程学院 应用数学系,成功的道路并不拥挤，,的人并不是很多。,因为坚持到最后,教材 应用随机过程,主要教学参考书,张波 张景肖 编 中国人民大学 出版社,参考书,第1章 预备知识,1.1 概率空间,在自然界和人类的活动中经常遇到各种各样的现象，大体上分为两类：必然现象和随机现象 。,具有随机性的现象随机现象,对随机现象的观察或为观察而进行的实验,随机试验,随机试验的结果,基本事件或样本点。,所有可能的结果称为样本空间。,A称为事件。,（有3个特征）,事件的性质 假设A,B,C是任意事件，则他
2、们满足：,(1)交换律,(2)结合律,(3)分配律,(4)对偶原则 (De Morgan律),定义1.1,性质 假,例1.1,例1.2,例1.3,随机试验: 掷一枚骰子，观察出现的点数，,思考题：,定义1.2,结论：,定义1.3,定义1.4,例1.1：,概率的基本性质,单调性,次可列可加性,事件列极限1：,结论：,定理：,具体情况：,事件列极限2：,定义1.5, 的下极限, 的上极限,例1.2：,关系：,含义：,例1.3：,1.2 随机变量和分布函数,随机变量：,用实数来表示随机实验的各种结果.,定义1.6,关于随机变量的几点说明：,定理1.1：,定义1.7,分布函数的含义：,分布函数 的性质
3、：,随机变量的类型：,离散型：,连续型：,多维随机变量：, d维随机向量,多维随机变量联合分布函数：,性质：,一些常见的分布：,1.离散均匀分布：,分布列：,2.二项分布：,分布列：,3.几何分布：,分布列：,4.Poisson分布：,分布列：,_参数为 的 Poisson分布,5.均匀分布：,7. 分布：,函数的性质：,8.指数分布：,9. 分布：,10.d维正态分布：（略）,1.3 数字特征、矩母函数与特征函数,一、数字特征,定义1.8：, X的一阶矩,二、Rieman-Stieltjes 积分,Rieman-Stieltjes 积分：,注：,R-S 积分性质：, 可加性,注：,四、矩母函
4、数与特征函数,1. 矩母函数（moment generating function ),定义1.9：,矩母函数的性质：,2. 特征函数（characteristic function ),复随机变量,定义1.10：,复随机变量的数学期望,特征函数的性质：,有界性,共轭对称性,例3.1：,例3.2：,例3.3：,例3.4：,例3.5：,作业题：,1.4 条件概率 条件期望 独立性,一、条件概率,1. 定义：,1. 基本公式,定理1:(乘法公式),定理2: (全概率公式),定理3: (Bayes公式),二、独立性,1. 定义：,注1：两两独立并不包含独立性。,例：,注2,我们有,2. 独立性的性质
5、：,定理4：,推论1：,推论2：,定理5：,定理6：,四、条件期望,1. 边缘分布,称X,Y独立.,2. 条件分布函数,3. 条件数学期望,异同：,定义：,定理：,例2：,五、独立随机变量和的分布卷积公式, 称为 的卷积,注：,结合律,分配律,第2章 随机过程的基本 概念和基本类型,2.1 基本概念,在概率论中，我们研究了随机变量，,维随机向量。,在极限定理中，我们研究了无穷多个随机变量，,但局限,在它们相互独立的情形。,将上述情形加以推广，,即研究,一族无穷多个、相互有关的随机变量，,这就是随机过程。,定义2.1：,设,是一概率空间，,对每一个参数,，,是一定义在概率空间,上的随机,变量，,
6、则称随机变量族,为该概率,空间上的一随机过程。,称为参数集。,随机过程的两种描述方法：,用映射表示,即,是一定义在,上的二元单值函数，,固定,是一定义在样本空间,上的函数，,即为一随机变量；,对于固定的,是一个,关于参数,的函数，,或称随机,过程的一次实现。,记号,通常称为样本函数，,有时记为,或简记为,参数,一般表示时间或空间。,参数常用的一般有：,(1),(2),(3),当参数取可列集时，,一般称随机过程为随机序列。,随机过程,可能取值的全体所构成的集合,称为此随机过程的状态空间，记作S.,S中的元素,称为状态。状态空间可以由复数、实数或更一般的,抽象空间构成。,随机过程分为以下四类：,(
7、1)离散参数离散型随机过程；,(2)连续参数离散型随机过程；,(3)连续参数连续型随机过程；,(4)离散参数连续型随机过程。,以随机过程的统计特征或概率特征的分类，一般有：,独立增量过程；,Markov过程；,二阶矩过程；,平稳过程；,更新过程；,Poission过程；,维纳过程。,鞅；,随机过程举例,例2.1,例2.2,抛掷一枚硬币，样本空间为,定义：,随机过程。,例2.3,2.2 有限维分布与Kolmogvrov定理,一、随机过程的分布函数,1. 一维分布函数,2. 二维分布函数,3. n维分布函数,4. 有限维分布族,称为有限维分布族,5. 有限维分布族的性质,(1) 对称性,(2) 相
8、容性,注1：随机过程的统计特性完全由它的有限维分 布族决定。,注2：有限维分布族与有限维特征函数族相互唯 一确定。,问题：,一个随机过程,是否描述了该过程的全部概率特性？,的有限维分布族，,定理：（Kolmogorov存在性定理）,设分布函数族,满足以上提到的对称性和相容性，,则必有一随机过程,恰好是,的有限维分布族，即：,定理说明：,的有限维分布族包含了,的所有概率信息。,例2.4,例2.5,二、随机过程的数字特征,1. 均值函数,随机过程,（假设是存在的）,的均值函数定义为：,2. 方差函数,随机过程,的方差函数定义为：,3. (自)协方差函数,4. (自)相关函数,5. (互)协方差函数
9、,6. 互相关函数,7. 互不相关,8. 特征函数,为随机过程,的有限维特征函数族。,记：,例2.6,例2.7,作业1,2.3 随机过程的基本类型,一、严平稳过程,定义1：,二、严平稳过程的特点,则,三、宽平稳过程,(简称平稳过程),定义2：,注1：,注2：,例2.8,例2.9,四、平稳过程相关函数的性质,性质1：,性质2：,结论：,性质3：,性质4：,注：,定义：,注：,性质5：,性质6：,性质7：,性质8：,性质9：,例2.10：,五、独立增量过程,定义1,例2.11：,定义2,六、遍历性定理,定义1:,定义2:,例2.12:,例2.13:,定理2.2: (均值遍历性定理),推论2.1:,
10、推论2.2:,定理2.2: (协方差函数遍历性定理),作业1:,作业2: 书第二章 习题2.6.,作业3:,第3章 Poisson过程,3.1 Poisson过程,定义3.1：,Poission过程是计数过程，而且是一类最重要、应用广泛的计数过程，它最早于1837年由法国数学家Poission引入。,定义3.2：,例3.1：,解：见板书。,定义3.2:,一计数过程,是独立增量及平稳增量过程，即任取,相互独立；,定义3.2的解释:,定理3.1:,由增量平稳性，记：,（I）,情形：因为,我们有：,另一方面,代入上式，我们有：,令,我们有：,（II）,情形：因为：,故有：,化简并令,得：,两边同乘以
11、,，移项后有：,当,时，有：,由归纳法可得：,注意：,因此,代表单位时间内事件,出现的平均次数。,由归纳法可得：,注意：,因此,代表单位时间内事件,出现的平均次数。,例3.2：,例3.3：,例3.4：,作业1：,作业2：书第三章习题3.5,3.6,3.10,3.2 Poisson过程相联系的若干分布,复习：1.指数分布,2.无记忆性,定理3.2：,结论：,定义3.3：,注：,例3.5: (见书例3.4),例3.6:,定理3.3：,证明：见板书。,引理：,原因：,注：,定理3.4：,例3.7: (见书例3.5),例3.8: (见书例3.6),3.3 Poisson过程的推广,一、非齐次Poiss
12、on过程,定义3.4:,过程有独立增量；,定义3.5：,注2:定义3.4与定义3.5是等价的。,注1:我们称m(t)为非齐次poisson过程的均值或强度。,定理3.5：,注3:用此定理可以简化非齐次Poisson过程的问题到齐次Poisson过程中进行讨论。另一方面也可以进行反方向的操作，即从一个参数为 的Poisson构造一个强度函数为 的非齐次Poisson过程。,定理3.5：,（一般了解）,例3.9: (见书例3.7),二、复合Poisson过程,定义3.6:,物理意义:,如,表示粒子流，,例3.10: (见书例3.8),例3.11: (见书例3.9 顾客成批到达的排队系统),定理3.
13、6：,例3.12:（见书例3.10）,作业1:,作业2:,参考 例3.12:（见书例3.10）,作业3: 见书习题3.12,第5章 Markov过程,5.1 基本概念,直观意义：,1 . Markov链的定义,定义5.1：,定义5.2：,定义5.3：,2 . 转移概率,注：有定义5.1知,转移矩阵的性质：,定义5.4：,2 . Markov链的例子,带有一个吸收壁的随机游动：,特点：,当,就停留在零状态。,此时,是一齐次马氏链，其状态空间为,，一步转移概率为：,注意；,状态为马氏链的吸收状态的充要条件是：,例5.1：,带有两个吸收壁的随机游动：,此时,是一齐次马氏链,状态空间为,为两个吸收状态
14、,它的一步转移,概率为：,例5.2：,它的一步转移概率矩阵为：,特点：,概率为：,例5.3：,带有一个反射壁的随机游动：,一旦质点进入零状态，下一步它以概率,向右移动一格，,以概率,停留在零状态。,此时的状态空间为,它的一步转移,例5.4：,例5.5：,4. n步转移概率 C-K方程,定义5.5（n步转移概率）,定理5.1: (Chapman-Kolmogorov方程，简称C-K方程),例5.6：,例5.7: (隐Markov模型）,或者为正面或者为反面.在任何给定时刻只有一枚硬,呈现，但是有时硬币可能被替换而不改变其正反面.,硬币M和W分别具有转移概率,在任何给定时刻硬币被替换的概率为30%
15、,替换完成时，,硬币的状态不变. 这一Markov链有4个状态，分别记为1:UM; 2:DM; 3:UW; 4:DW.状态1、3表示正面U,状态2、4表示反面D转移矩阵为4X4的矩阵.我们,可以计算转移概率,比如,首先,(无转移),而后,(无转移).因此转移概率为,其他转移概率类似可得，转移方式为,转移概率矩阵为,例5.8:,例5.9:,带有两个反射壁的随机游动：,此时,是一齐次马氏链,状态空间为,为两个反射状态,求它的一步转,移概率。,作业1：,作业2:,5.3 状态的分类及性质,引入：,定义5.7,注：,定理5.3：,注：,定义5.8:,例1：,定义5.9 (周期性),规定：,例2 (书5
16、.14),注1：,注2：,定理5.4：,证明：板书。,注: 当两个状态的周期相同时，有时其状态之间 有显著差异。,如：,定义5.10: (常返性),注2：,注3：,注1：,例3,定义5.11,例4,引理5.1 （ ）,定理5.5,引理5.2,定理5.6,作业1：,思考题：,定理5.5,引理5.2,定理5.6,闭集及状态空间的分解定理,闭集：,相关性质：,任何两个状态均互通,所有常返态构成一个闭集,在不可约马氏链中,所有状态具有相同的状态类型.,状态空间分解定理：,定理5.7：,例5,例6：,作业1：,周期链分解定理：,定理5.8：,例7:,5.4 极限理论与不变分布,5.4.1 极限理论,例8
17、（书例5.17）(0-1传输系统）,211,212,对d的非整数倍数的n，,i是零常返的,213,(2), i是遍历的，d=1，i ，,子序列,所以d=1，从而i为非周期的，i是遍历的,定理5.10,结论：,(a)所有非常返状态组成的集合不可能是闭集;,(b)没有零常返状态;,(c)必有正常返状态;,(d)不可约有限马氏链只有正常返态;,(e)状态空间可以分解为:,其中：每个,均是由正常返状态,组成的有限不可约闭集，,是非常返态集。,217,注1： 有限状态的马氏链，不可能全是非常返状态，也不可能含有零常返状态，从而不可约的有限状态的马氏链必为正常返的。,证 设S=0,1,N，如S全是非常返状
18、态，则对任意 i, jI，知,故,矛盾。,如S含有零常返状态 i，则C=j:ij是有限不可约闭集,，由定理知，C中均为零常返状态，知,218,由引理知,所以,219,注2: 如马氏链有一个零常返状态，则必有无限多个,证 设i为零常返状态，则C=j:ij是不可约闭集，C,中均为零常返状态，故C不能是有限集。否则,零常返状态。,220,称概率分布j , jI为马尔可夫链,的平稳分布（不变分布），若,5.4.2 平稳分布 (不变分布)与极限分布,定义5.12,一、平稳分布 (不变分布),221,注：,(1) 若初始概率分布 pj , jI 是平稳分布，则,(2) 对平稳分布j , jI，有,矩阵形式
19、 = 其中 =(j)， ( ),pj = pj(1)= pj(2) = = pj(n),222,二、遍历性的概念与极限分布,对于一般的两个状态的马氏链, 由上节内容可知,意义,对固定的状态j,不管链在某一时刻的什么状,态 i出发, 通过长时间的转移到达状态 j 的概率都趋,定义5.13,224,或定义,则称此链具有遍历性.,定理5.13,226,定理 不可约非周期马尔可夫链是正常返的充要条件是存在平稳分布，且此平稳分布就是极限分布,227,推论3 若j , jI是马尔可夫链的平稳分布，则,所取的值与初始状态的分布无关。,证：由于：,故,228,即，经过无穷次转移后处于,状态的概率与初始,状态无
20、关，与初始状态的分布也无关。,229,解 因为马尔可夫链是不可约非周期有限,状态的，所以平稳分布存在，设,则 = P，1+2+3=1. 即,各状态的平均返回时间为, =(1, 2, 3 ),230,例2 设马尔可夫链转移概率矩阵为,求每一个不可约闭集的平稳分布。,231,解 从状态转移图看出，状态空间可分解为,两个不可约常返闭集 C1=2,3,4 和 C2=5,6,7，,一个非常返集 N=1。,在常返集上求平稳分布：,232,在C1上，对应的转移概率矩阵为,C1上的平稳分布为：0, 0.4, 0.2, 0.4, 0, 0, 0,同理可求得 C2 上的平稳分布为,0, 0, 0, 0, 1/3,
21、 1/3, 1/3,233,三、(有限链)遍历性的充分条件,234,说明,2. 极限分布转化为了求解方程组.,3. 在定理的条件下马氏链的极限分布是平稳分布.,235,试说明带有两个反射壁的随机游动是遍历的, 并求其极限分布(平稳分布).,解,例3,四、应用举例,236,无零元,链是遍历的,237,代入最后一个方程 (归一条件), 得唯一解,238,所以极限分布为,这个分布表明,经过长时间游动之后, 醉汉 Q 位于点 2 (或 3 或 4 ) 的概率约为 3/11, 位于点 1 (或 5) 的概率约为 1/11.,239,设一马氏链的一步转移概率阵为,试讨论它的遍历性.,解,例4,240,表明
22、,此链不具遍历性.,241,五、小结,遍历性的概念,则称此链具有遍历性.,242,(有限链) 遍历性的充分条件,作业1：,作业2：书习题5.7,244,第七节 连续时间马尔可夫链,定义7.1 设随机过程X(t)，t 0 ，状态空间,及非负整数 i1,i2, ,in+1 ，有,PX(tn+1)=in+1|X(t1)=i1, X(t2)=i2, X(tn)=in,则称X(t)，t 0 为连续时间马尔可夫链。,I=0,1,2,，若对任意,0t1 t2tn+1,=PX(tn+1)=in+1|X(tn)=in，,245,转移概率：在s时刻处于状态i，经过时间t后,转移到状态j的概率,pij(s,t)=
23、PX(s+t)=j|X(s)=i,定义7.2 齐次转移概率(与起始时刻 s 无关，只,与时间间隔 t 有关),pij(s,t)=pij(t),此时有转移概率矩阵P(t)=(pij(t) ，i, jI，t 0.,246,记 i 为过程在状态转移之前停留在状态i的时间，,则对s, t 0 有,(1),(2) i 服从指数分布,证：(1) 事实上,247,248,(2) 设i的分布函数为F(x), (x0),则生存函数,由此可推出G(x)为指数函数，G(x)=e-x,则F(x)=1-G(x)=1- e-x为指数分布函数。,G(x)=1-F(x),249,过程在状态转移之前处于状态i的时间i服从指数分
24、布(1)当i=时， 状态i的停留时间i 超过x的概率为0，则称状态i为瞬时状态；(2)当i=0时， 状态i的停留时间i 超过x的概率为1，则称状态i为吸收状态。,250,定理7.1 齐次马尔可夫过程的转移概率具有下列性质：(1) pij(t)0;(2) (3) 证 由概率的定义，(1)(2)显然成立，下证(3),251,252,注： 此为转移概率的正则性条件。,253,例1 证明泊松过程X(t),t0为连续时间齐次马尔可夫链。证 先证泊松过程的马尔可夫性。泊松过程是独立增量过程，且X(0)=0，对任意0t1 t2 tn tn+1有,254,另一方面,即泊松过程是一个连续时间马尔可夫链,255,
25、再证齐次性。当ji时，当jk, a1(n)=0， a2(n)=0, a3(n)=1, 即从状态3不会转移到其它状态。,状态与状态转移,马氏链的基本方程,基本方程,马氏链的两个重要类型,1. 正则链 从任一状态出发经有限次转移能以正概率到达另外任一状态（如例1）。,w 稳态概率,马氏链的两个重要类型,2. 吸收链 存在吸收状态（一旦到达就不会离开的状态i, pii=1）,且从任一非吸收状态出发经有限次转移能以正概率到达吸收状态（如例2）。,6.3 钢琴销售的存贮策略,钢琴销售量很小，商店的库存量不大以免积压资金,一家商店根据经验估计，平均每周的钢琴需求为1架,存贮策略：每周末检查库存量，仅当库存
26、量为零时，才订购3架供下周销售；否则，不订购。,估计在这种策略下失去销售机会的可能性有多大，以及每周的平均销售量是多少。,背景与问题,问题分析,顾客的到来相互独立，需求量近似服从波松分布，其参数由需求均值为每周1架确定，由此计算需求概率,存贮策略是周末库存量为零时订购3架 周末的库存量可能是0, 1, 2, 3，周初的库存量可能是1, 2, 3。,用马氏链描述不同需求导致的周初库存状态的变化。,动态过程中每周销售量不同，失去销售机会（需求超过库存）的概率不同。,可按稳态情况（时间充分长以后）计算失去销售机会的概率和每周的平均销售量。,模型假设,钢琴每周需求量服从波松分布，均值为每周1架,存贮策
27、略：当周末库存量为零时，订购3架，周初到货；否则，不订购。,以每周初的库存量作为状态变量，状态转移具有无后效性。,在稳态情况下计算该存贮策略失去销售机会的概率，和每周的平均销售量。,模型建立,Dn第n周需求量，均值为1的波松分布,Sn第n周初库存量(状态变量 ),状态转移规律,状态转移阵, ,模型建立,状态概率,马氏链的基本方程,已知初始状态，可预测第n周初库存量Sn=i 的概率,n, 状态概率,第n周失去销售机会的概率,n充分大时,模型求解,从长期看，失去销售机会的可能性大约 10%。,1. 估计在这种策略下失去销售机会的可能性,模型求解,第n周平均售量,从长期看，每周的平均销售量为 0.8
28、57(架),n充分大时,思考：为什么这个数值略小于每周平均需求量1(架) ?,2. 估计这种策略下每周的平均销售量,敏感性分析,当平均需求在每周1 (架) 附近波动时，最终结果有多大变化。,设Dn服从均值为的波松分布,状态转移阵,第n周(n充分大)失去销售机会的概率,当平均需求增长（或减少）10%时，失去销售机会的概率将增长（或减少）约12% 。,期末复习要点：,1.上极限、下极限的定义及含义，理解事件序列的极限的表达方式。2.熟悉常见的分布函数。3.掌握矩母函数与特征函数的定义和性质，会求一些函数的矩母函数和特征函数。4.条件概率与条件期望的求法及性质，如：EX=EE(X|Y), E(X|X
29、)=X,第一章,期末复习要点：,1.理解会求随机过程的均值函数、方差函数、(自)协方差函数、 (自)相关函数、 互协方差函数、互相关函数。2.理解(严、宽)平稳过程的定义，会判断随机过程是否为平稳过程。3.会用定义判定平稳过程是否有遍历性(均值遍历性及协方差遍历性) 。,第二章,期末复习要点：,1.Poisson过程的定义，理解其含义。2.会求Poisson过程的一些相关的概率。3.理解Poisson过程时间间隔序列Xn,第n次事件发生的时刻Tn相关定理。4.非齐次Poisson过程与齐次Poisson的关系定理，非齐次Poisson的相关概率计算。,第三章,期末复习要点：,1.理解Markov链的定义，理解其数学含义，会求相应的概率。2.会求一步转移概率及一步转移概率矩阵。3.会求n步转移概率，会证明C-K方程(离散时间及连续时间) 。4.会求状态的周期，会判定状态的常返性(正常反、零常返和非常返)(方法1，方法2) 。,第五章,法2：,法1：,期末复习要点：,5.理解的关系。6.会将状态进行分类7.会判别平稳分布（不变分布）,会求平稳分布,及Markov链的遍历性.,第五章,
