1、第一章：随机事件及其概率,概率论与数理统计是数学的一个重经分支，它是研究随机现象统计规律的一门学科，广泛应用于科学研究、工程技术、经济及管理等各个领域。 本章通过随机试验介绍概率论中随机事件的关系及其运算、概率的性质及其计算方法。,3,1. 确定性（或必然）现象和随机（或不确定性、偶然）现象.,2. 随机现象: 在一定条件下可能发生也可能不发生，在个别观察中其结果呈现出不确定性（或称为偶然性或随机性）, 在大量重复观察中其结果又具有统计规律性.,1 随机事件及其计算,3.对某种现象或对某个事物的某个特征的观察（测）以及各种各样的科学实验统称为实验。随机现象的基本特征是，在一定条件下单次实验的可
2、能结果不止一个，每次实验只能出现其中之一，但预先无法预知，但大量多次重复实验，出现各种结果的比例数又具体统计规律性。,一、随机现象与随机实验,4,E1: 抛一枚硬币，观察正(H)反(T) 面 的情 况.,E2: 将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况.,E3: 将一枚硬币抛三次，观察出现正面的情况.,举例:,我们将对自然现象的一次观察或进行一次科学试验称为试验。,E4: 电话交换台一分钟内接到的呼唤次数.,E5: 在一批灯泡中任取一只, 测试它的寿命.,E6: 在一批产品中任意抽取若干件，以检验产品的合格率.,基本特征(1) 可在相同的条件下重复试验;(2) 每次试验的可能结果不止一个,且能事
3、先明确所有可能的结果;(3) 每次实验只能出现可能结果中的一个，但一次试验前不能预先确定到底会出现哪个结果.,在相同条件下，大量重复进行的这类试验，称为随机实验：,6,二、 样本空间:定义 随机试验E的所有可能的结果组成的集合称为 E的样本空间, 记为S. 样本空间的元素，也就是最简单的每一个直接结果称为样本点，用表示.,样本空间的分类:,1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E1,E2等.,2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命t|t0.,基本事件,7,三、 随机事件,定义 样本空间S的子集称为随机事件, 简称事件. 在一次试验中, 当且仅当这一子集中的一个样
4、本点出现时, 称这一事件发生. 它是满足某些条件的样本点的集合。,基本事件:,复合事件:,必然事件:,不可能事件：,由一个样本点组成的单点集. 如:H,T.,由两个或两个以上的基本事件复合而成的事件为复合事件. 如:E3中出现正面次数为奇数.,样本空间S是自身的子集，在每次试验中总是发生的，称为必然事件。,空集不包含任何样本点, 它在每次试验中都不发生，称为不可能事件。,8,例1. 试确定试验E2中样本空间, 样本点的个数, 并给出如下事件的元素: 事件A1=“第一次出现正面”、事件A2=“恰好出现一次正面”、事件A3=“至少出现一次正面”.,9,四、事件间的关系与运算,1.包含关系和相等关系
5、:,若事件A发生必然导致事件B发生,则称件B包含事件A,记作AB.若A B且A B, 即A=B, 则称A与B相等.,10,2.和事件:,3.积事件： 事件A B=x|x A 且 x B称A与B的积，即事件A与B同时发生. A B 可简记为AB.,类似地, 事件 为可列个事件A1, A2, .的积事件.,11,4.差事件: 事件A-B=x|xA且xB 称为A与B的差. 当且仅当A发生但 B不发生时事件A-B发生. 即:,显然: A-A=, A- =A, A-S= ,12,5.事件的互不相容(互斥):,13,6. 对立事件(逆事件)：,14,7.事件的运算律:,交换律:,结合律:,对偶律:,分配律
6、:,15,例. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件A1,A2,A3分别表示甲、乙、丙射中，试说明下列事件所表示的结果：,乙没有射中；,乙丙至少一人射中；,甲乙没有都射中,甲乙都没有射中,甲乙都射中但丙没射中,至少有两人都射中,16,2. 随机事件的概率,一. 概率统计定义:,1. 频率 若在相同的条件下，共进行了n次试验,，事件A发生的次数nA，称为A的频数， 比值nA/n称为事件A发生的频率, 记为fn(A). 即：,17,频率的特性: 波动性和稳定性.,18,2. 概率的统计定义,设有随机实验 E，若试验重复次数 n 充分大时，事件 A 发生的频率 fn(A) 总是在区间0，1上的一个确定的常
7、数 p 附近微波摆动，并逐渐稳定于 p ，则称常数 p 为事件发生的概率，记作P(A)，即： P(A) =数 p .,概率的性质：,19,二. 概率的古典定义：,古典概型的两个特点:,例如:掷一颗骰子,观察出现的点数.,等可能概型的两种类型：古典概型（样本空间有有限集）和几何概型（样本空间为无限集）,(1) 样本空间 中的元素只有有限个，即,(2) 试验中每个基本事件发生的可能性相同，即,20,概率的古典定义: 对于古典概型, 样本空间S1, 2, , n, 设事件A包含S的 m 个样本点，则事件A的概率定义为,概率的性质：,21,古典概型概率的计算步骤:,(1) 选取适当的样本空间S, 使它
8、满足有限等可能的要求, 且把事件A表示成S的某个子集.,(2) 计算样本点总数n及事件A包含的样本点数k.,(3) 用下列公式计算:,22,例1. 袋中装有4只白球和2只红球. 从袋中摸球两次,每次任取一球.有两种式: (a)放回抽样; (b)不放回抽样.求: (1)两球颜色相同的概率; (2)两球中至少有一只白球的概率.,解：（a) 放回抽样,（b）不放回抽样,23,例2. 设一袋中有编号为1,2,9的球共9只, 现从中任取3只, 试求:(1)取到1号球的概率,（事件A）(2)最小号码为5的概率.（事件B）,解：,24,例3. 某接待站在某一周曾接待过12次来访, 且都是在周二和周四来访.
9、问是否可以推断接待时间是有规定的?,如果没有规定，则该事件发生的概率只有：,25,古典概率计算中用到的主要排列组合公式, 不重复的排列公式：从 n 个元素中取 m 个元素按照一定的顺序排列成一列, 可重复排列公式：从 n 个不同元素中有放回地抽取 m 个元素按照一定的顺序排成一列，其排列数为, 组合公式：从 n 个不同元素中取出 m 个元素，不计顺序组成一组，其组合数为,26,加法原理：如果完成一项工作有 m 种不同方法，其中任何一种方法都可以一次完成这项工作，假设第I 种方法有 ni（ i=1,2,3, ,m ）个方案，则完成该项工作的全部方案有 种。,乘法原理：如果完成一项工作需先后 m
10、个步骤，其中第 i 个步骤有 ni（ i=1,2,3, ,m ）个方案，则完成该项工作的全部方案共 有种。,例：设袋中有外形相同的 10 个有色球，其中 6 个白球和 4 个红球。现从袋中任意取（或随机地取）3 个，试求： 取出的 3 个球都是红色球的概率； 取出的 3 个球恰好有一个是白球的概率。,27,解： 设想把 10 个球进行编号，把它们理解为 10 个不同的球，那么从中任意取 3 个球，共有 种不同的取法，每种取法都对应一个的样本点，所以该试验样本空间的样本总数为,设 A = 取出的 3 个球都是红色球，则事件 A 包含了 个样本点，因此：,设 B = 取出 3 个球中恰好有一个白球
11、，而事件B的发生方法应该是：从 4 个白球中任取一个，有 种取法； 再从 6 个 红球中任意取 2 个，有 种取法，红球白球谁先取得与结果无妨。因此。事件B 的发生共有 种方式。因此,28,抽样问题：所谓抽样，是指从待查的整批产品中抽出部分产品。抽出的这部分称为样本或子样，样本中的每件产品称为样品，样本中所包含的样品件数称为样本容量，而待查整批次产品叫做总体或母体。随机抽样是指总体中每件产品，都等可能地被抽作样本中的样品。,例：设一批产品共计 100 件，其中有 3 件次品，其余均为正品，按下列两种方法随机抽取 2 件产品： 有放回抽样，即第一次任取一件产品，测试后放回原来的产品中，第二次再从
12、中任意抽取一件产品； 无放回抽样：即第一次任取一件产品，测试后不再放回原来的产品中，第二次再从第一次测试后其余的产品中任意抽取一件。 试求上述两种情况下的，分别求取出的 2 件产品中恰好有一件产品的概率。,29,先分析事件A =取出的 2 件产品中恰好有一件次品包含的样本点数.,事件A的发生有两种方式：先取得一件次品后取得一件正品或先取得一件正品后取得一件次品。因此所包含的样本点数为：,放回抽样：每次抽取样品都是从 100 件产品中任意抽取，都有 100 种取法，因此样本空间的样本点数为n =1002. 故,无放回抽样：第一次是从 100 件产品中任意抽取一件，第二次是从剩余的 99 件产品中
13、任意抽取一件，因此样本空间的样本点数为： n =100 99= ，故,30,无放回抽样问题，可以看作是一次任取若干样品，其样品空间会发生改变，样本空间的样本点数和事件 A 所包含的样本点数等都要发生相应的改变，它们要用组合公式进行计算：,例：设有一批产品有 N 件，其中 M 件次品，其余都是正品。现从该批产品中随机抽取 n 件，试求恰好取到件 次品的概率。,解：,31,例：设袋中有a 个白球和 b 个红球。现按无放回取样，依次把球一个个取出来，试求第 k （1 k a）次取得的球是白球的概率。,解法一：依题意试验是从 袋中把 a+ b 个球无放回地把球一个个取出来，依次排队，共有（ a+ b
14、）！种不同的排法，则相应的样本总数为 n = （ a+ b ）！ 。设 A =第 k 次取得的球是白球。对事件 A 发生有利的排法是：先从 a 个白球中任取一个排在第 k 个位置上，两把其余的 a+ b -1个排在其余 a+ b -1 个位置上，共有 （ a+ b -1 ）！种不同的排法。所以事件包含的样本数为 ，从而：,32,解法二：只考虑前 k 次取球。试验可以看作一次取 k 个球进行排队，共有 种不同的取法，相应的样本点总数为 ，事件 A 如解法1所设，则对事件 A 发生有利的排法是：先 a 从个白球中任取一个排在第 k 位置上，而后从其余a+ b -1个球中任取 k-1 个排在其余 k
15、-1个位置上，共有 种不同的排法。所以事件包含的样本点数为 ，故：,抽签原理：以上计算结果表明，事件 A =第 k 次取得的球是白球的概率 P（A）与 k 无关，即 A 发生的概率与取球的先后次序无关，这就是“抽签原理”.无论从日常经验，还通过概率计算，抽签原理都表明，是否抽到“签”与抽签的先后次序无关，人人均值机会均等。因此，该原理常常常常用于体育比赛和其他机会均等的活动中。,33,例：设有 n 个不同的质点，每个质点等可能地落入 N （n N）个格子中的每一个格子内，又假设每个格子可以容纳的质点数没有限制，试球下列事件的概率： A=某指定的 n 个格子各有一个质点； B=任意 n 个格子各
16、有一个质点 C=指定的一个格子中恰好有 m （m n）个质点,解：样本空间的总样本点数：Nn, 对事件 A发生有利的的落入方法是， n 个质点在 n 个格子进行全排列，共有 n ！种不同的落入方法。因此， A 相应地包含了 n ！个样本点，故,34, 对事件 B发生有利的落法是：从 N 个格子中任意选中其中的 n 个，有 种不同的选法，对于每一种选法再按（1） 使 n 个质点落入选中的格子中，有 n ！落入方式。因此共有 n ！不同的落入方法。因此 B 相应地包含了 n ！个样本点, 对事件 C 发生有利的落入方法是：从 n 个质点中任意选中 m 个，让它们落入指定的一个格子中，共有 种选法，
17、而其余 n - m 个质点落入剩余N -1的格子中，有 种不同的落法，因此共有 种不同的落法，C也相应地包含了 个样本点。故：,典型问题： 分房问题； 排座位问题； 不同生日的人员聚会问题,35,概率论与数理统计第一周作业 习题1-1（p8）A组：1. ；2. ；3、；4. ； 5. B组：1. ；2. ；3.（II）；4. ； 习题1-2（1）P17A组：1、3、5、7B组：2、4,36,三、概率的几何定义:,1. 几何概型实验： 试验的样本空间 是直线上某个有限空间，或平面上、空间内某个有限度量的区域，从而 包含了无限多个样本点。 每个样本点的出现具有等可能性。 该实验的每个样本点可以看作
18、是等可能地落入 内的随机点。,37,2.概率的几何定义 当试验的样本点是等可能地落入空间某个区域的随机点，而且随机事件A 对应于随机点等可能地落入上述区域的某子区域，则事件 A 发生的概率可定义为,说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时,就归结为几何概率.,38,例：设在一个 5 万平方公里的海域，有表面积 40 平方公里的大陆架蕴藏着石油。假如在该海域任意选一点进行石油钻探。问：能钻到石油的概率？,解：,例：某人发现自己的表停了，想通过听收音机报时来进行对表，试问他等待时间不超过10分钟的概率。,解：,39,例1 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内, 在预定地点会面. 先到的人等候
19、另一个人，经过时间 t( t0)的一些平行直线,现向此平面任意投掷一根长为l ( 0, 则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).,推广,61,例：设某种机器按设计要求使用寿命要超过30年的概率为0.8，超过40年概率为0.5，试求该机器使用30年后，将在10年损坏的概率。,解：设A=该种机器使用寿命超过30年，B=该种机器使用寿命超过40年，则,令该种机器使用30年后，将在10年内损坏 它与事件 是互斥事件。因此,62,例：设某批产品共有90件，其中10件次品，其余为正品，现从中无放回地抽样3次，每次抽取1件，求第3才抽到正品的概率。,解：,例：某人忘记了电话号码的最后一位数字
20、，因而任意地按最后一个数字，试求：, 不超过4次打通电话的概率；,若已知最后一位数字是偶数，则不超过3次打通电话的概率.,63,解：,64,例（抽签抓奖问题）：设袋中有 n 个字条，其中 n-1 个写着“谢谢您的参与！”，1 个写着“恭喜您中奖啦！”现 n 个人依次从袋中各随机取一个条，并且每人取出后不再放回，试求第 k 个人取得中奖字条的概率。,65,二、全概率公式和贝叶斯公式:,1. 样本空间的划分,注,(1) 若B1,B2,Bn是样本空间S的一个划分, 则每次试验中, 事件B1, B2, , Bn 中必有一个且仅有一个发生.,66,2. 全概率公式:,称为全概率公式.,证明：因为对任意事
21、件A，有,67,例：一商店新进一批由3个分厂生产的同一型号的空调，而从这三个分厂的进货比例为3:1:2，它们的次品率分别为0.01，0.12，0.05.某顾客从该商店任意选购了一台空调，问该空调为次品的概率？； 在已知该空调为次品的情况下，它是哪个分厂生产的可能性大？,解：设B=顾客见到不合格空调,68,3. 贝叶斯公式:,69,例. 对以往数据分析结果表明, 当机器调整得良好时, 产品的合格率为90%,而当机器发生某一故障时,其合格率为30%, 每天早晨机器开动时机器调整良好的概率为75%, 试求已知某日早上第一件产品是合格品时, 机器调整得良好的概率是多少?,解：设,70,例：一商店销售1
22、0台收音机，其中3台为次品，其余为正品。某顾客选购时已经售出2台，该顾客从余下的8台收音机中任选一台。问： 该顾客购得正品的概率； 若已知该顾客购得正品，则已售出的2台都是次品的概率是多少？,解： B=该顾客购得正品 A i =售出的2台中有 i 台次品（i=0,1,2）,71,例：临床诊断记录表明，利用某项检验检查癌症具有如下效果：对癌症患者进行检验结果95%呈阳性；对非癌症患者进行检验结果96%呈阴性。现在利用这项技术对某市市民进行癌症普查，如果该市癌症患者约占市民总数的0.4%，求 试验结果呈阳性的被检查者患癌症的概率； 试验结果呈阴性的被检查者确实未患癌症的概率；,解：设A=实验结果为
23、阳性； B=被检查者确实患有癌症,72,由全概率分式得,由贝叶斯公式,73,1.6 独立性,设A,B是试验E的两事件,当P(A)0, 可以定义P(A|B).,一般地, P(A|B)P(B), 但当A的发生对B的发生的概率没有影响时,有P(B|A)=P(B),由乘法公式有 P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).,例如 设试验E为掷甲、乙两枚硬币，观察正反面出现情况. 设A“甲币出现H”, B“乙币出现H”, 试求:B发生的条件下，A发生的概率；,1. 两个事件相互独立性: 设A,B是两事件,如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B是相互独立的事件.,4 随机事
24、件的独立性,74,定理1（相互独立事件的充要条件）: 设A,B是两事件,且P(A)0,则A,B相互独立 的充要条件是: P(B|A)=P(B).,定理2：下列4个命题等价,证明：此处证明与的等价性 当成立时， 由事件的关系与运算与概率的性质可知：,75,当成立时，即当 时，则有,1) 零概率事件与任何事件都是相互独立的.,2) 由对称性, A,B相互独立, 必有B, A 相互独立.,推论：,2.两两相互独立:,设有任意事件A1, A2, , An，1ij n，满足 P(AiAj)=P(Ai)P(Aj), 则称这n个事件两两相互独立.,76,如果对于任意的k(kn), 任意的1i1i2ikn 都
25、有: P(Ai1Ai2Aik)=P(Ai1)P(Ai2)P(Aik), 则称这 n 个事件相互独立.,3. n 个事件相互独立:,注,n 个事件相互独立保证了其中的任意两个事件相互独立，即两两相互独立；但两两相互独立不能保证这 n 个事件相互独立.,三. 利用独立性计算古典概率:,1. 计算相互独立的积事件的概率： 若已知n个事件A1, A2, , An相互独立，则 P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An),2. 计算相互独立事件的和的概率：若已知n个事件A1, A2, , An 相互独立，则,77,例：设甲乙两个射手，他们射出命中的概率分别为0.8和0.7，现两人同时向一目标射出一
26、次，求, 目标的命中率； 现已知目标被命中，则它是甲命中的概率。,解：设A=甲命中目标；B=乙命中目标；C=目标被命中,78,例. 两架飞机依次轮番对同一目标投弹, 每次投下一颗炸弹, 每架飞机各带3颗炸弹, 第1架扔一颗炸弹击中目标的概率为0.3, 第2架的概率为0.4, 求炸弹未完全耗尽而击中目标的概率。,解：设,则：,79,80,81,82,伯努力概型及二项分布,1、n 重伯努力概型：研究 n 次独立实验中某随机实验发生的次数,例：某射手每射击一发子弹命中目标的概率为p (0p1) 。现对同一目标重复射击3次，试求恰好射中2发的概率。,解：,2、二项式概率公式,定理：设在每次试验中，事件
27、A发生的概率均为p (0p1) ，即， ，而 ，则重伯努力实验中，事件恰好发生 k 次的概率为：,83,例：已知某车间有5台某型号的机床，每台机床由于种种原因时常需要停机。设各台机床停机开机是相互独立的。若每台在任一机床时刻处于停机状态的概率均为1/3，试求在任一时刻：,（1）恰好有一台机床处于停机状态的概率； （2）至少有一台机床处于停机状态的概率； （3）至多有一台机床处于停机状态的概率。 解： （1） （2） （3）,84,85,第一章 习题课,一、主要内容:,样本空间,随机事件,概率定义及性质,古典概型,条件概率,全概率公式,Bayes公式,事件的独立性,86,二、课堂练习:,1.选择
28、题:(1)当事件A与B同时发生,事件C必发生,则有( )(A) P(C)=P(AB) (B) P(C)=P(AB)(C) P(C)P(A)+P(B)-1 (D) P(C)P(A)+P(B)-1,87,2. 填空题：,(2) 设两个事件A, B相互独立, A, B都不发生的概率为1/9, A发生而B不发生的概率与B发生而A不发生的概率相等, 则P(A)=_.,3.计算题：,88,设甲箱中有a只白球，b只黑球，乙箱中有c只白球，d只黑球，从甲箱中任取一球放入乙箱中，然后从乙箱中任取一球，试求从乙箱中取得白球的概率。 有n个不同(可辨别)的球，每个球都以同样的概率1/N被投到N (nN)个箱子中的每
29、一箱中，试求下列事件的概率： (1) 某指定的n个箱子中各一球(A) (2) 恰有n个箱，其中各有一球(B) (3) 某指定箱中恰有m(m n)个球(C) (4) 恰有k个箱子，其中有m个球(D). 3. 在一个盒子中混有新旧两种乒乓球，新的有白球40个，红球30个，旧球中有白球20个，红球10个，在这个盒子中任取一球，发现是新的，求这个球是白球的概率.,89,第二章 随机变量及其分布,2.1 随机变量,即X(e)是定义在样本空间S上的一个实函数,对于不同的试验结果e, X取不同的值, 由于试验前不能预料e的取值, 因而X取1还是取0也是随机的, 故称X(e)为随机变量。,90,1. 定义:
30、设随机试验E的样本空间是S=e, 若对于每一个eS, 有一个实数X(e)与之对应, 即X(e)是定义在S上的单值实函数，称为随机变量。简记为r.v.,注,(1) 可用随机变量X描述事件.,反过来, X的一个变化范围表示一个随机事件:“2Xx1, F(x2)-F(x1)=Px1Xx2 0.,(2) 0F(x)1, F(-)=0, F(+ )=1.,(3) F(x)至多有可列个间断点, 而在其间断点 上也是右连续的,F(x+0)=F(x).,104,结论,反之，若已知分布函数求分布律用如下公式求解：,105,106,3. 连续型随机变量及其概率密度,则称X为连续型r.v. f(x)称为X概率密度函
31、数, 简称概率密度.,107,例1. 一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比, 并设射击都能击中靶, 以X表示弹着点与圆心的距离. 试求X的分布函数.,解：已知,108,109,定义,3. 关于连续型r.v.的一个重要结论:,定理: 设X为连续型r.v. 它取任一指定的实数值a的概率均为0. 即PX=a=0.,110,4.几个常用的连续型r.v.分布,(一)均匀分布:,则称随机变量X在(a,b)上服从均匀分布,记作XU(a,b).,分布函数为:,111,(二) 正态分布:,112,性质:,113,(2)标准正态分布:,114,引理:,3.一般正态分布
32、的标准化及其计算,115,结论,116,例 设某商店出售的白糖每包的标准全是500克,设每包重量X(以克计)是随机变量,XN(500,25),求:(1) 随机抽查一包, 其重量大于510克的概率;(2) 随机抽查一包, 其重量与标准重量之差的绝对值在8克之内的概率;(3 求常数c,使每包的重量小于c的概率为0.05.,117,服从正态分布N(,2)的r.v. X之值基本上落入-2, +2之内, 几乎全部落入-3, +3内.,118,(3) 标准正态分布的上分位点:,119,(三) 负指数分布:,120,性质（4）的直观意义可解释如下：若令X表示某种器件的寿命，性质（4）意味着它已经使用了 s
33、小时未损坏的器件能够再继续使用 t 小时以上的概率，与一个新器件能够使用 t 小时以上的寿命相同。,这意味着器件的衰老作用可以忽略。器件的损坏主要由偶然因素所致。,121,122,(四) 伽玛分布:,123,4. 随机变量的函数的分布,一、 X为离散型r.v.(列表法),解：,124,(2) 若g(x1),g(x2), 中不是互不相等的, 则应将那些相等的值分别合并, 并根据概率加法公式把相应的pi相加, 就得到了Y的概率分布律.,125,二、X为连续型r.v.,1. “分布函数法”:,(3)对y求导得到Y的概率密度:,126,127,128,若f(x)在有限区间a, b以外等于零, 则只需假设在 a, b上g(x)严格单调, 选取 =min(g(a), g(b), =max(g(a), g(b).,
