1、第一章 随机事件及概率,本章由六个概念（随机试验、事件、概率、频率、条件概率、独立性），五个公式（加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式）和两个概型（古典概型 、几何概型）组成,第一章、主要内容,随机现象,随机试验,事件的独立性,随 机 事 件,基本事件,必然事件,对立事件,概 率,古典概型,几何概率,乘法定理,事件的关系和运算,全概率公式与贝叶斯公式,性质,定义,条件概率,不可能事件,复合事件,教学基本要求,掌握：事件的关系及运算，概率的基本性质，概率的加法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（Bayes）公式，用事件独立性进行概率计算。熟悉：古典型概率和几何型概率的计算，计算
2、有关事件概率的方法。理解：随机事件的概念，概率、条件概率的概念，事件的独立性的概念，独立重复试验的概念。了解：样本空间的概念，概率的公理化定义。重点：概率的加法公式、全概率公式以及贝叶斯公式难点：全概率公式以及贝叶斯公式，事件的独立性,可以在相同的条件下重复地进行;,每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;,进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.,在概率论中，把具有以下三个特征的试验称为随机试验.,随机试验,样本空间的元素 ,即试验E 的每一个结果, 称为样本点.,随机试验E的所有可能结果组成的集合称为样本空间,记为 S.,随机试验 E 的样本空间 S 的子集称为 E
3、 的随机事件, 简称事件.,随机事件,不可能事件 随机试验中不可能出现的结果.,必然事件的对立面是不可能事件,不可能事件的对立面是必然事件,它们互称为对立事件.,基本事件 由一个样本点组成的单点集.,必然事件 随机试验中必然会出现的结果.,重要的随机事件,事件的关系和运算,(1) 包含关系,若事件 A 出现，必然导致事件 B 出现，,则称事件 B 包含事件 A，记作,图示 B 包含 A .,S,B,(2) A等于B,(3) 事件A与B的并(和事件),图示事件 A与 B 的并.,S,A,若事件 A 包含事件 B , 而且事件 B 包含事件 A, 则称事件 A 与事件 B 相等,记作 A=B.,(
4、4) 事件A与B的交(积事件),图示事件 A 与 B 的积.,S,A,B,AB,(5) 事件A与B互不相容 (互斥),若事件 A 的出现必然导致事件 B 不出现 , B 出现也必然导致 A 不出现,则称事件 A 与 B互不相容,即,图示 A 与 B 互不相容（互斥） .,S,(6) 事件A与B的差,由事件A出现而事件B不出现所组成的事件称为事件A与B的差.记作 A- B.,图示 A 与 B 的差.,S,A,B,设A表示“事件A出现”, 则“事件A不出现”称为事件A的对立事件或逆事件.记作,图示 A 与 B 的对立 .,S,B,若 A 与 B 互逆,则有,(7) 事件A的对立事件,说明对立事件与
5、互斥事件的区别,S,S,B,A，B 对立,A，B 互斥,互斥,对立,事件运算的性质,定义,概率：在一次实验中事件A发生的可能性大小的度量称为事件A的概率，记作P(A),概率的定义,概率的可列可加性,概率的性质,n 个事件和的情况,定义,等可能概型 (古典概型),设试验 E 的样本空间由n 个样本点构成, A为E 的任意一个事件,且包含 m 个样本点, 则事件 A 出现的概率记为:,古典概型中事件概率的计算公式,称此为概率的古典定义.,古典概型的典型问题: 摸球问题、质点入盒(投球问题)与随机取数,摸球问题是指从n个可辨认的球中按照不同的要求(是否放回，是否计序),一个一个地从中任取m个，从而得
6、到不同的样本空间，然后在各自的样本空间中计算某事件的概率.,摸球模型一般可分为四种情况，各种情况的基本事件数如下表：,例 袋 中有a只白球，b只红球，k个人依次在袋中取一只球,(1)作放回抽样(即前一个人取一只球观察颜色后放回袋中，后一人再取一只球)，(2)作不放回抽样(即前一个人取一只球观察颜色后不放回袋中，后一人再取一只球)，求第i(i=1,2,k)个人抽到白球(记为事件)的概率(设ka+b),解,(1) 作放回抽样,定义 当随机试验的样本空间是某个区域，并且任意一点落在度量 (长度、 面积、体积) 相同的子区域是等可能的，则事件 A 的概率可定义为,说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多
7、个时,就归结为几何概型.,几何概型,条件概率,同理可得,为在事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率.,(1) 条件概率的定义,(2) 条件概率的性质,条件概率的计算,2)从加入条件后改变了的情况去算,1) 用定义计算:,P(B)0,P(A|B）=,B发生后的缩减样本空间所含样本点总数,在缩减样本空间中A所含样本点个数,乘法定理,样本空间的划分,全概率公式与贝叶斯公式,全概率公式,贝叶斯公式,称此为贝叶斯公式.,事件 A 与 B 相互独立是指事件 A 的概率与事件 B 是否出现无关.,说明,事件的相互独立性,(1)两事件相互独立,(2)三事件两两相互独立,注意,三个事件相互独立,三个事件
8、两两相互独立,(3)三事件相互独立,重要定理及结论,请问：如图的两个事件是独立的吗？,即: 若A、B互斥，且P(A)0, P(B)0,则A与B不独立.,反之，若A与B独立，且P(A)0,P(B)0, 则A 、B不互斥.,而P(A) 0, P(B) 0,故 A、B不独立,我们来计算：,P(AB)=0,设A、B为互斥事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：,前面我们看到独立与互斥的区别和联系，,1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A)3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B),设A、B为独立事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：,1.
9、 P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A)3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B),再请你做个小练习.,则 C与A、B之间的运算仍然独立,A,B,C相互独立,利用独立性的概念简化计算,(1),(2),贝努里概型,1、贝努里试验,若试验E只有两个可能的结果：A及 ，称这个试验为贝努里试验 。,2、贝努里概型,设随机试验E具有如下特征：,1）每次试验是相互独立的 ；,2）每次试验有且仅有两种结果：事件A和事件,3）每次试验的结果发生的概率相同即P（A）=p， P（ ）=1-p=q 。,称试验E表示的数学模型为贝努里概型。若将试验做了n次，则这个试验也称为n重贝努里试验。记为
10、。,；,第二章、主要内容,随 机 变 量,离 散 型随机变量,连 续 型随机变量,分 布 函 数,分 布 律,密 度 函 数,均匀分布,指数分布,正态分布,两点分布,二项分布,泊松分布,随机变量的函数的 分 布,定义,教学基本要求,掌握：二项分布 、泊松（Poisson）分布、均匀分布 、指数分布、正态分布及其应用。熟悉：计算与随机变量相联系的事件的概率，求随机变量函数的分布。理解：随机变量的概念，分布函数的概念及性质，离散型随机变量及其概率分布的概念，连续型随机变量及其概率密度的概念。了解： 01分布，几何分布，超几何分布，泊松定理的结论和应用条件，用泊松分布近似表示二项分布。重点：二项分布
11、 、正态分布及其应用，离散型随机变量及其概率分布，连续型随机变量及其概率密度。难点：随机变量函数的分布,随机变量的概念,1.定义,下图给出样本点w与实数X X (w )对应的示意图,离散型随机变量的分布律,(1)定义,(2)说明,用这两条性质判断一个函数是否是分布律,练习 设袋中装有6个球，编号为1,1,2,2,2,3，从袋中任取一球，记取到的球的编号为X，求：（1）X 的分布列；（2）编号大于1的概率,X 的分布列为:,设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分布律为,则称 X 服从(0-1)分布或两点分布.,两点分布,二项分布,产生背景：n 重伯努利试验,二项分布定义：,二项分布的应
12、用,用二项分布解决实际问题的步骤 （1）首先判别要解决的问题是否是n重伯努利试验 （2）若是重伯努利试验，则首先确定试验次数n和事件发生的概率 （3）最后用二项分布求解有关的实际问题,二项分布与0-1分布之间的关系,参数为p的0-1分布就是n=1时的二项分布b(n,p);反之，设n重伯努利的每次试验中事件A发生的概率为p，以 表示第i次试验中事件A发生的次数，有 令则X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，则有因此，服从二项分布的随机变量可以视作n个取值相互独立的服从参数为p的0-1分布随机变量之和。,泊松分布,泊松定理,数,有,(2)说明,随机变量的分布函数,(1)定义,分布函数主要研究随机
13、变量在某一区间内取值的概率情况.,即任一分布函数处处右连续.,(3)性质,以上4条也是分布函数必须要满足的性质，也是判别某个函数是否为分布函数的充分必要条件.,练习：判别下列函数是否为分布函数,例题：下列函数为随机变量的分布函数，求参数a和b,重要公式,例,由概率的有限可加性分布函数为：,解,分布函数,分布律,离散型随机变量分布律与分布函数的关系,定义,概率密度的概念与性质,probability density function.,注：(1)由定义知道，改变概率密度f (x)在个别点的函数值不影响分布函数F(x)的取值，因此概率密度不是唯一的.,(2)连续型随机变量的分布函数是连续函数.,(
14、2)性质,同时得以下计算公式,注： 设X为连续型随机变量，对于任意可能值 a ,证明,由此知,连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关,例1 设连续型随机变量X具有概率密度,例,故有,解,(1) 因为 X 是连续型随机变量,均匀分布,(1)定义,(2)分布函数,分布函数,指数分布,正态分布(或高斯分布),(1)定义,正态概率密度函数的几何特征,标准正态分布的概率密度表示为,标准正态分布的分布函数表示为,(2)标准正态分布,(3)重要公式,例：若随机变量 且 则,例：设随机变量 ，且二次方程 无实根的概率为0.5，则,例：在电源电压不超过200伏，在200-240伏，和超过240伏三
15、种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.0001,0.2。假设电源电压服从正态分布 ，试求（1）该电子元件损坏的概率 （2）该电子元件损坏时电源电压在200-240伏的概率,随机变量的函数的分布,(1)离散型随机变量的函数的分布,由分布函数的定义,先求Y=g(X)的分布函数:,FY(y)=P(Yy)=P(g(X)y),求Y=g(X)的概率密度的一般方法(分布函数求导法):,然后求上式对y的导数,得Y的概率密度:,fY(y)=FY(y),在求P(Yy) 的过程中，关键的一步是设法从 g(X) y 中解出X,从而得到与 g(X) y 等价的X的不等式 .,定理,试证 X 的线性函数 Y=
16、aX+b (a 0) 也服从正态分布.,证 X 的概率密度为,例 设随机变量 X(, 2 ),显然 y = g(x) = a x+b可导且g =a 保号,Y=aX+b 的概率密度为,由定理知, Y = aX+b (a +b, (|a| )2 ),即,注 取 , 验证函数可导且单调, 求反函数及其导数, 代入定理公式即得函数的密度,注意取绝对值,有 , 确定y的取值范围,先转化为分布函数, 再求导,已知 X 的概率密度为,求Y = sinX 的概率密度.,练习,利用分布函数求概率密度：,函数 y = g(x) = sinx 在0,上为非单调函数，,解,故不能用定理求.,x0, 时,y 0 时,0
17、y1时,= P(0 X arcsin y)( -arcsin y X ),y 1时,= P(0 X 0 时，,所以，X 的边缘密度函数为,(3) 当y0 时，,所以，Y 的边缘密度函数为,(1) 离散型随机变量的条件分布,随机变量的条件分布,同理可定义,定义,连续型随机变量的条件分布,联合分布、边缘分布、条件分布的关系,联合分布,例,解,例,随机变量的相互独立性,(1) 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为,习题解95页,已知 (X, Y) 的分布函数为,求联合概率密度，边缘分布函数，边缘概率密度，并判断X与Y是否独立。,随机变量函数的分布,(1)离散型随机变量函数的分布,由上式及概
18、率的加法公式，有,特别，若X与Y相互独立, 则,设 X B (n1, p), Y B (n2, p), 且独立，,具有可加性的两个离散分布,设 X P (1), Y P (2), 且独立，,则 X + Y B ( n1+n2, p),则 X + Y P(1+ 2),当 X, Y 独立时,(2)连续型随机变量函数的分布,结论: 两个独立的正态分布的随机变量的和 仍服从正态分布.,X1+X2N(1+ 2,12+ 22),正态分布的可加性,.即:若X1N(1,12), X2N(2,22), X1,X2独立,则,有限个独立正态变量的线性组合仍服从正态分布.,更一般地, 可以证明:,推论: 有限个独立的
19、正态分布的线性函数 仍服从正态分布.,即:若XiN(i,i2), (i=1,2,.n), X1,X2, .Xn相互独立,实数a1,a2,.,an不全为零,则,特别, 若X1,X2, .Xn独立同正态分布N(,2) ,则,记:,则有,解,二、主要内容,数学期望,方 差,离散型,连续型,性 质,协方差与相关系数,二维随机变量的数学期望,定 义,计 算,性 质,随机变量函数的数学期望,定 义,协方差的性质,相关系数定理,教学基本要求,掌握：常用分布的数字特征。熟悉：会运用数字特征的基本性质，求随机变量函数的数学期望。理解：随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、协方差、相关系数、矩）的概念，二维正
20、态分布中参数的概率意义。 了解：切比雪夫不等式，二维正态分布，理解其中参数的概率意义。重点：常用分布的数字特征。难点：切比雪夫不等式，随机变量的数字特征。,离散型随机变量的数学期望,连续型随机变量的数学期望,随机变量函数的数学期望,离散型随机变量函数的数学期望为,则有,则有,数学期望的性质,1. 设C是常数, 则有,2. 设X是一个随机变量, C是常数, 则有,3. 设X, Y 是两个随机变量, 则有,4. 设X, Y 是相互独立的随机变量, 则有,二维随机变量的数学期望,同理可得,则,则,常见离散型分布的数学期望小结P107,常见连续型分布的数学期望小结,方差的定义,方差的计算,离散型随机变
21、量的方差,连续型随机变量的方差,方差的性质,1. 设 C 是常数, 则有,2. 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有,切比雪夫不等式,证明,取连续型随机变量的情况来证明.,切比雪夫不等式,契比雪夫,协方差与相关系数的定义,协方差的计算公式,协方差的计算公式,性质,(1) Cov(X,X)= D(X),(4) Cov(X,C)= 0, C为常数；,相关系数定理,若 ，称X和Y不相关。,定理：若随机变量X与Y的方差都存在，且均不为零；则下列四个命题等价。,（1） ；,（2）cov(X ,Y) = 0；,（3）E(XY)=EXEY；,（4）D(X Y)=DX+DY。,前面，我们已经看到：,若
22、X与Y独立，则X与Y不相 关，,但由X与Y不相关，不一定能推出X与Y独立.,二维正态分布,一、二维正态分布及其边缘分布,置换积分变量,故二维正态分布的两个边缘分布都是正态分布，且有,大数定律,二、主要内容,中心极限定理,定理一,定理二,定理三,定理一的另一种表示,定理一,定理二,定理三,契比雪夫定理的特殊情况,定理一的另一种表示,伯努利大数定理,辛钦定理,独立同分布的中心极限定理,德莫佛拉普拉斯定理,总 体,个 体,样本,常用统计量的分布,分位点,概率密度函数,二、主要内容,统计量,常用统计量,性质,关于样本和方差的定理,t 分布,F 分布,分布,关于样本和方差的定理,教学基本要求,掌握：正态
23、总体的样本均值、样本方差的抽样分布。熟悉：查标准正态分布、 分布、 分布和 分布的数值表。了解：总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，标准正态分布、 分布、 分布和 分布得上侧 分位数，经验分布函数的概念和性质。重点: 正态总体的样本均值、样本方差的抽样分布。难点： 分布、 分布和 分布,根据定义得:,统计量,常用统计量,(1)样本平均值:,(2)样本方差:,(3)样本标准差:,常用统计量,(4)样本 k 阶(原点)矩:,(5)样本 k 阶中心矩:,常用统计量的分布(一),分布的性质,性质1,性质2,常用统计量的分布(二),t 分布又称学生氏(Student)分布.,常
24、用统计量的分布(三),正态总体的样本均值与样本方差的分布,定理一,定理二,证明,且两者独立, 由 t 分布的定义知,定理三,定理四,矩估计量,估计量的评选,第七章、主要内容,最大似然估计量,最大似然估计的性质,似然函数,无偏性,正态总体均值方差的置信区间与上下限,有效性,置信区间和上下限,求置信区间的步骤,相合性,教学基本要求,基本要求：掌握：矩估计法（一阶矩、二阶矩）和极大似然估计法，正态总体均值、方差、标准差的置信区间的求法。熟悉：两个正态总体的均值差和方差比的置信区间的求法。了解：参数的点估计、估计量与估计值的概念，建立未知参数的（双侧和单侧）置信区间的一般方法。重点: 正态总体均值、方
25、差、标准差的置信区间的求法。难点：极大似然估计法。,矩估计量,用样本矩来估计总体矩,用样本矩的连续函数来估计总体矩的连续函数,这种估计法称为矩估计法.,矩估计法的具体做法:,说明,1 通常有几个未知数就相应列出几个方程,2 矩估计可能不存在，存在也可能不唯一，由于选择的函数不同，可能得到的矩估计也不同。常用的矩估计一般只涉及一、二阶矩。,总体均值与方差的矩估计量的表达式不因不同的总体分布而异.,一般地,最大似然估计量,似然函数,求最大似然估计量的步骤:,费舍尔,最大似然估计法是由费舍尔引进的.,最大似然估计法也适用于分布中含有多个未知参数的情况. 此时只需令,对数似然方程组,对数似然方程,说明
26、,1 如果上述方程组解唯一，则就是最大点。,2 极大似然估计可能不存在，存在也可能不唯一，,3 通过似然方程（组）求最大值点的方法并不总是有效的。比如，不可导。具体问题具体分析。,无偏性,有效性,由于方差是随机变量取值与其数学期望的偏离程度, 所以无偏估计以方差小者为好.,相合性,正态总体均值与方差的区间估计,置信区间和置信上限、置信下限,求置信区间的一般步骤,正态总体均值与方差的单侧置信区间,正态总体均值与方差的单侧置信区间,原假设与备择假设,常见的假设检验,单边检验拒绝域,单边、双边检验,第八章、主要内容,检验统计量,拒绝域与临界点,两类错误,正态总体均值的检验,正态总体均值差的检验,正态
27、总体方差的检验,置信区间,教学基本要求,基本要求：掌握：单正态总体的均值和方差的假设检验，双正态总体的均值和方差的假设检验熟悉：假设检验的基本步骤。理解：假设检验的基本思想。了解：假设检验可能产生的两类错误。重点：单正态总体的均值和方差的假设检验，双正态总体的均值和方差的假设检验难点：单侧检验,单边、双边假设检验,原假设与备择假设,假设检验问题通常叙述为:,检验统计量,拒绝域与临界点,当检验统计量取某个区域 C 中的值时, 我们拒绝原假设 H0, 则称区域 C 为拒绝域, 拒绝域的边界点称为临界点.,两类错误,1. 当原假设H0为真, 观察值却落入拒绝域, 而作出了拒绝H0的判断, 称做第一类错误, 又叫弃真错误, 这类错误是“以真为假”. 犯第一类错误的概率是显著性水平,2. 当原假设H0不真, 而观察值却落入接受域, 而作出了接受H0的判断, 称做第二类错误, 又叫取伪错误, 这类错误是“以假为真”.,正态总体均值的检验,利用 t 统计量得出拒绝域的检验法称为 t 检验法.,正态总体均值差的检验,故拒绝域为,正态总体方差的检验,(1) 双边假设检验:,拒绝域为,(3) 左边检验问题:,拒绝域为,(2) 右边假设检验:,拒绝域为:,(1) 检验假设:,拒绝域为,(2) 检验假设:,拒绝域为,(3) 检验假设:,拒绝域为,祝各位同学取得一个好的成绩，开心过暑假！,
