1、模糊数学方法,处理现实的数学模型可分为三大类：,确定性数学模型：背景对象具有确定性或固定性， 对象具有必然的联系。,二. 随机性数学模型：背景对象具有或然性或随机性。,三. 模糊性数学模型：背景对象及其关系均具有模糊性,概率与统计数学将数学的应用范围从必然现象扩大到随机现象，模糊数学则将数学的应用范围从清晰现象扩大到模糊现象的领域。,二十世纪六十年代，产生了模糊数学这门新兴学科。,现代数学是建立在集合论的基础上。集合论的重要意义在与它把数学的抽象能力延伸到人类认识过程的深处。一组对象确定一组属性，人们可以通过说明属性来说明概念（内涵），也可以通过指明对象来说明它。符合概念的那些对象的全体叫做这
2、个概念的外延，外延其实就是集合。从这个意义上讲，集合可以表现概念，而集合论中的关系和运算又可以表现判断和推理，一切现实的理论系统都可能纳入集合描述的数学框架。,模糊数学的产生,经典集合论只能把自己的表现力限制在那些有明确外延的概念和事物上，它明确地限定：每个集合都必须由明确的元素构成，元素对集合的隶属关系必须是明确的，决不能模棱两可。,各门学科，尤其是人文、社会学科及其它“软科学”的数学化、定量化趋向把模糊性的数学处理问题推向中心地位。,但是，在客观世界中还普遍存在着大量的模糊现象。由于现代科技所面对的系统日益复杂，模糊性总是伴随着复杂性出现。,更重要的是，随着电子计算机、控制论、系统科学的迅
3、速发展，要使计算机能像人脑那样对复杂事物具有识别能力，就必须研究和处理模糊性。,在日常生活中，经常遇到许多模糊事物，没有分明的数量界限，要使用一些模糊的词句来形容、描述。比如，比较年轻、高个、大胖子、好、漂亮、善、热。在人们的工作经验中，往往也有许多模糊的东西。,我们研究人类系统的行为，或者处理可与人类系统行为相比拟的复杂系统，如航天系统、人脑系统、社会系统等，参数和变量甚多，各种因素相互交错，系统很复杂，它的模糊性也很明显。从认识方面说，模糊性是指概念外延的不确定性，从而造成判断的不确定性。,模糊数学的研究内容,模糊数学的研究内容主要有以下三个方面：,第一，研究模糊数学的理论，以及它和精确数
4、学、随机数学的关系。 查德提出用“模糊集合”作为表现模糊事物的数学模型。并在“模糊集合”上逐步建立运算、变换规律，开展有关的理论研究，能够对看来相当复杂的模糊系统进行定量的描述和处理的数学方法。,在模糊集合中，给定范围内元素对它的隶属关系不一定只有“是”或“否”两种情况，而是用介于0和1之间的实数来表示隶属程度，还存在中间过渡状态。,第二，研究模糊语言学和模糊逻辑。人类自然语言具有模糊性，人们经常接受模糊语言与模糊信息，并能做出正确的识别和判断。,为了实现用自然语言跟计算机进行直接对话，就必须把人类的语言和思维过程提炼成数学模型，才能给计算机输入指令，建立合适的模糊数学模型.,如果我们把合乎语
5、法的标准句子的从属函数值定为1，那么，其他文法稍有错误，但尚能表达相仿的思想的句子，就可以用以0到1之间的连续数来表征它从属于“正确句子”的隶属程度。这样，就把模糊语言进行定量描述，并定出一套运算、变换规则。,第三，研究模糊数学的应用。模糊数学是以不确定性的事物为其研究对象的。模糊集合的出现是数学适应描述复杂事物的需要，查德的功绩在于用模糊集合的理论找到解决模糊性对象加以确切化，从而使研究确定性对象的数学与不确定性对象的数学沟通起来，过去精确数学、随机数学描述感到不足之处，就能得到弥补。,在模糊数学中，目前已有模糊拓扑学、模糊群论、模糊图论、模糊概率、模糊语言学、模糊逻辑学等分支。,模糊数学的
6、应用,模糊数学是一门新兴学科，它已初步应用于模糊控制、模糊识别、模糊聚类分析、模糊决策、模糊评判、系统理论、信息检索、医学、生物学等各个方面。在气象、结构力学、控制、心理学等方面已有具体的研究成果。然而模糊数学最重要的应用领域是计算机职能，不少人认为它与新一代计算机的研制有密切的联系。,目前，世界上发达国家正积极研究、试制具有智能化的模糊计算机.,模糊集合论的基础知识,定义11.1 从论域U到闭区间0,1的任意一个映射： ，对任意uU， 那么 叫做U的一个模糊子集， 叫做u的隶属函数，也记做 。,所谓模糊集合，实质上是论域U到0,1上的一个映射，而对于模糊子集的运算，实际上可以转换称为对隶属函
7、数的运算：,假设给定有限论域 ，它的模糊子集可以用查德给出的表示法：,表示一个有n个元素的模糊子集。“+”叫做查德记号，不是求和。,例1：设论域 ,，,，,例2：设以人的岁数作为论域U0,120，单位是“岁”，那么“年轻”，“年老”，都是U上的模糊子集。隶属函数如下：,“年轻”(u),“年老”(u),40岁的人，隶属函数值,例： 有一组线段共30根， 第一根长30厘米， 第二根比第一根短1厘米，依次下去， 选出长的线段。,解： 论域U u1,u2,., u30, 因为线段长度按线性递减， 所以长线段的隶属函数A(ui)是条数i的线性函数。,选A(u1)=1, A(u30)=0, 由两点式有,第
8、i条线段相对于长线段的隶属度为,隶属函数的值的确定，虽然有各种方法，本质上应该是客观的，但实际上常常带有主观性，对同一论域上的模糊集合，不同的人或用不同的判断标准，所得出的各元素的隶属度也不尽相同，那么，有没有办法来比较哪一个更正确些呢，这就涉及到怎样来度量模糊性的问题。,怎样度量模糊性,例假定有甲乙两个顾客商场买衣服，他们主要考虑三个因素：花色式样（x1）, 耐穿程度（x2）, 价格（x3）；,究竟谁的观点正确呢？看来没法确定。因为各人有各人的经验，各人有各人的道理，这就是怎样度量模糊性的问题。解决这个问题的研究途径很多，目前用得较多的大致有“距离”，“贴近度”两个。,用“距离”来度量模糊性
9、,在有限论域X上有两个模糊子集 和 ， 和 的汉明距离定义如下：,绝对汉明距离：,相对汉明距离：,。,在有限论域X上有两个模糊子集 和 ， 和 的欧几里得距离定义如下：,绝对欧几里得距离：,相对欧几里得距离：,怎样用距离来描述一个模糊集合的模糊程度呢？要定义一个跟 最贴近的集合，这个集合用来 表示，如果 里某元素的隶属度0.5， 的相应元素的隶属度为1，如果=B=C=0,上述五种类型是U上的模糊集，它们的隶属函数分别规定为：,等腰三角形：I(u)=1-1/60 min(A-B, B-C),直角三角形：R(u)=1-1/90 |A-90|,等腰直角三角形IR(u)=1-max1/60 min(A
10、-B, B-C),1/90 |A-90|,非典型三角形T(u)=1/180 min3(A-B),3(B-C),2|A-90|,A-C,应为近似直角三角形,三.手写文字的识别,1.方格矩阵法,对于一个印刷体字母，首先把它局限在一个框框内，然后把这个框框分成很多个小方格，在每个小方格上按线条出现的清晰程度给予适当的隶属度uij, 而i,j是该方格所在的行数和列数。这样可构成一个模糊关系矩阵，约定,Uij=表示这一格上线条清晰出现，并填上黑色。,Uij=表示这一格上线条不出现，并填上白色。,这些矩阵叫做标准矩阵。使用电脑识别文字时，通常先把37个文字（包括26个字母，10个数字，一个空白）对应的标准
11、矩阵置于内存中，将待识别的文字表示成75阶模糊矩阵做为输入。由于打印时着色不均匀及可能产生的污点，因而使得通过传感器获得的信息不一定清晰，即不一定为0或1，往往介于0,1之间，与标准矩阵不一定一致。为了得到正确的结果，采用下述方法。,先把模糊矩阵化为模糊向量，矩阵的第i行放在第i个分量上，字母H对应的分量为H=(10001 10001 10001 11111 10001 10001 10001),于是文字可用向量表示，37个标准矩阵都可以化为标准向量。设有文字向量,计算数值,假设电脑收到文字向量r=(r1,r2,.r35),只要算出r与37个标准向量的接近程度W(r,A),W(r,B)w(r,
12、0)，便可根据择近原则判定r究竟是什么。,我们把打印缺陷等偶然因素叫做噪声，实验结果是：在噪声达到31.43%的情况下，正确识别率大于90。,识别手写文字或图象可采用上述类似的方法，不过因为手写文字和图象比印刷文字复杂的多，所以须将框框分成更多的小方格，因而对应的文字向量的维数也大的多，这就使计算变得非常困难。,2. 模糊方位转换识别技术,所谓方位，就是把待识别的文字固定在一个方框框内，框框的位置不能倒置，然后确定各方向的编码。,3=(3 2 2 7 7 1 1 0 7 7 6 6 5) 2=(3 2 2 1 7 7 7 7 7 0 0 2 2 2)7=(3 2 2 2 7 7 7 7 7 7
13、 7 7),显然沿着给定文字的方向，与给定的八个方向不完全一致，所以所示的方向都是模糊的。,取论域U=-22.5, 337.5是角度区间，那么八个方向0，1，2，3，4，5，6，7就是U上的模糊集，它们的隶属函数规定如下：,为了识别手写数字，可以先把10个数字的各个字的模糊方向用隶属度给出，叫做号码串模糊向量，再存储到计算机中作为标准向量。将待识别的字的号码串模糊向量输入到计算机中与标准向量比较，按就近原则，就可辨别是什么字了。,确定隶属函数的原则,隶属函数的确定过程，本质上应该说是客观的，但是事实上现在还没有一个完全客观的评定标准。在许多情况下，常是初步确定粗略的隶属函数，然后通过“学习”和
14、时间检验逐步修改和完善化，而实际效果正是检验和调整隶属函数的依据。,模糊统计是确定隶属函数的一种主要方法，它需要做大量的试验，因此工作量是比较大的。,四. 模糊相似选择,例题 由10名专家组成评比小组对某一行业中的三家企业甲、乙、丙的综合效益进行评比，企业的综合效益是一个复杂系统，包括经济效益，社会效益，环境效益等，而每个专家考虑问题的角度不同，观点不同，使得难以排出一个整体的优劣次序。如发生以下情况：,7人认为甲比乙好，3人认为乙比甲好；6人认为乙比丙好，4人认为丙比乙好；8人认为丙比甲好，2人认为甲比丙好；,则如何确定一个整体上的优劣呢？,给出一个模糊选择矩阵：,即优越程度一样,对,把甲乙
15、丙分别设为x1,x2,x3,第一步：令 ，得,第二步：取 （ ），写出 截矩阵 ，如本例中可取 ，得,第三步：令 减小，当下降到某一值时，第一次出现 中某一行除对角线外全为1，认为该行对应的元素是U中相对最优的元素。本例中当取 时， 则丙的综合效益最好。,第四步：划去xk所在第k行第k列元素，得n-1阶矩阵。本例中划去第3行第3列元素，得2阶矩阵为,第五步：继续上述过程，逐个选出相对最优元素，即得优劣次序。 ，因此甲第二好。,整体优劣为丙、甲、乙。,例题 用生产工人的劳动生产率，每万元固定资产、容纳职工人数和技术管理人员在职工中的比重三项指标作为衡量一个企业技术密集程度的指标体系。,五. 模糊
16、聚类,这6家企业关于上述三项指标的数值依次是：,现有6家企业构成论域：,评价这6个企业的技术密集程度。,建立模糊相似矩阵,其中,取水平,时，将U分成6个等价类,取水平,，,，,，,将有公共元素的类进行合并，得水平 下U的分类为 说明在这一水平下可以认为第三，五，六家企业的技术密集程度是相同的。,最后取水平,，,，,，,将所有具有公共元素的类合并，得到水平 下的U分类为,所有企业的技术密集程度属于同一类，说明在这一水平下可以认为6家企业的技术密集程度是相同的。,模糊综合评价的一般步骤如下：,六. 模糊综合评价,（4） 综合评价。,（1） 确定评价对象的因素集,（2） 确定评语集,（3） 作出单因
17、素评价；,例题 评价某种牌号的手表， ，其中x1表示外观式样，x2表示走时准确，x3表示价格，x4表示质量。,评语集为 ，其中y1表示很满意，y2表示满意，y3表示不满意。,例如，对外观式样有70的顾客很满意，20的顾客满意，10的顾客不满意，那么,则这个问题的单因素评价矩阵为,由于各个因素在综合评价中的作用不同，为此给出一个U的模糊集合 ，满足条件 在综合评价中，将A称为综合评价的权重向量，假设如果某类顾客评价手表的权重为 即对四个方面的重视程度为40，20，30，10%。,说明很满意，满意，不满意的隶属度依次是0.4，0.3，0.2，根据最大隶属原则，可以认为这类顾客对这种手表“很满意”,
18、例： 某广告公司领导班子需要增配一名懂经营的领导者，现有甲、乙、丙三位候选人可供选择，选择的原则是合理兼顾以下几个方面思想品德、经营业绩、组织能力、文化程度、年龄大小、身体状况。请用模糊综合评价法对三人进行排序，给出最佳人选。,解：首先，确定评估项目的评价因素集UU=思想品德u1，经营业绩u2，组织能力u3，文化程度u4，年龄大小u5，身体状况u6,第二，确定评语等级集VV=优秀v1，良好v2，中等v3，及格v4，不及格v5,第三，建立模糊关系矩阵R通过民意检测，得出各个评价因素对甲、乙、丙的评价向量，记为R(ui)，甲、乙、丙分别为：R(u甲)（0.35，0.25，0.15，0.20，0.0
19、5） （0.37，0.23，0.16，0.10，0.14） （0.33，0.25，0.16，0.20，0.06） （0.28，0.32，0.20，0.10，0.10） （0.33，0.24，0.20，0.13，0.10） （0.29，0.25，0.23，0.11，0.12）,R(u乙)（0.41，0.20，0.19，0.13，0.07） （0.37，0.16，0.21，0.16，0.10） （0.45，0.21，0.11，0.23，0.10） （0.34，0.25，0.15，0.15，0.11） （0.32，0.21，0.33，0.04，0.10） （0.49，0.11，0.20，0.05，0
20、.15）R(u丙)（0.19，0.15，0.35，0.11，0.30）（0.25，0.33，0.12，0.12，0.18）（0.20，0.10，0.30，0.10，0.30）（0.23，0.27，0.12，0.18，0.20）（0.35，0.15，0.13，0.17，0.20）（0.23，0.24，0.23，0.25，0.05）,于是可以写出对甲、乙、丙的模糊评价矩阵R分别为：0.35，0.25，0.15，0.20，0.050.37，0.23，0.16，0.10，0.14R甲=0.33，0.25，0.16，0.20，0.060.28，0.32，0.20，0.10，0.100.33，0.24，0
21、.20，0.13，0.100.29，0.25，0.23，0.11，0.12,R乙=0.41，0.20，0.19，0.13，0.07 0.37，0.16，0.21，0.16，0.10 0.45，0.21，0.11，0.23，0.10 0.34，0.25，0.15，0.15，0.11 0.32，0.21，0.33，0.04，0.10 0.49，0.11，0.20，0.05，0.15 0.19，0.15，0.35，0.11，0.30 0.25，0.33，0.12，0.12，0.18R丙=0.20，0.10，0.30，0.10，0.30 0.23，0.27，0.12，0.18，0.20 0.35，0.
22、15，0.13，0.17，0.20 0.23，0.24，0.23，0.25，0.05,第四，确定评估因素的模糊权重向量A通过公司内部调查及广泛征求行内专家意见，确定模糊权重分配为A（0.13，0.28，0.22，0.15，0.1，0.12）。,第五，建立模糊综合评估的数学模型BAR可得甲、乙、丙的模糊综合评价结果为：,甲（0.28，0.23，0.16，0.13，0.14） 乙（0.28，0.21，0.21，0.23，0.12）丙（0.25，0.28，0.22，0.15，0.22 ),第六，进行归一化处理：B甲=（0.28/0.94，0.23/0.94，0.16/0.94，0.13/0.94，0
23、.14/0.94）=（0.30，0.24，0.17，0.14，0.15） 取最大值0.30，评价等级为优秀。,B乙=（0.28/1.05，0.21/1.05，0.21/1.05，0.23/1.05，0.12/1.05）=（0.27，0.2，0.2，0.22，0.11）取最大值0.27，评价等级为优秀。,B丙=（0.25/1.12，0.28/1.12，0.22/1.12，0.15/1.12，0.22/1.12）=（0.22，0.25，0.20，0.13，0.20） 取最大值0.25，评价等级为良好。,从最大值相对应的评语等级看，甲、乙都对应到优秀，但丙的最大值只对应到良好，排除丙，甲的次最大值为0.24，对应到良好，乙的次最大值为0.22，对应到及格，所以，排除乙，甲为最佳人选。,例: 现有三个家庭, 每个家庭至少由四至七人组成, 每人一张照片, 共十六张, 通过照片按相貌相似程度分类, 把三个家庭区分开来.,建立相似关系: 任意取两张照片, 请若干中学生按相貌相似程度打分, 取平均数再折合成隶属度, 得到相似关系的模糊矩阵,1, 13, 16, 6, 82, 5, 7, 11, 144, 9, 12, 10 , 153,取,1,13 2,5,7,11,14,4,9,12,15,10, 6,8,16 ,3,谢谢!,
