1、混沌、非线性与哲学 _,山东理工大学 | 边宁,背景,“非线性科学”是很时髦的一个词汇，要知道非线性科学的出现是近30年的事，但却标志着人类认识自然的一次巨大飞跃。非线性科学揭示了一些新现象、新事实、新规律，如：随机性、混沌、分形、孤立子、自组织、复杂性,非线性的例子：分形,只要你计算的点足够多,不管你把图案放大多少倍,都能显示出更加复杂的局部.这些局部既与整体不同,又有某种相似的地方,好像着梦幻般的图案具有无穷无尽的细节和自相似性,分形（混沌吸引子）与纺织品设计,数学不是一门只有加减乘除等计算的学科，某种意义上讲，数学已更像一门哲学：Hilbert旅馆的故事芝诺悖论,其实在20世纪之前，哲学
2、家就开始研究数学中的哲学问题。到20世纪初，集合论悖论引起数学基础危机，数学家和逻辑学家为了消除这场危机，从各自的数学观出发，提出了不同解决方案，这标志着数学哲学第一次从哲学母体中分离出来。当然，数学哲学的研究对象是相当广泛的，今天只谈混沌与非线性科学中的哲学问题。,今天有一个关于混沌与数学哲学的报告。 明年的今天，将会有一场暴雨 这是一个很有秩序的世界，这些话你很可能会相信，也许你不会认为我不是乱说。我想问的是：我们到底能预测什么？有没有不可预测的事情发生？,问题的提出,从理论上讲，我们中学时代学的牛顿力学就足以表明，所有事物运动发展的状态都是可以预言的，包括某个时刻你的哪根指头会怎样运动都
3、是可以知道的！暂时你不要觉得荒谬，也不要惊讶。这就是数学和力学特别是经典牛顿力学的“威力” ！一位伟大的数学家Laplace ，他的确定论原理，将经典牛顿力学发扬光大。,Laplace,牛顿力学在天文上处理最成功的是两体问题，如地球和太阳的问题，两个天体在万有引力作用下围绕它们共同质心作严格的周期运动。但太阳系不止两个成员，第三者的存在会否动摇这样的稳定和谐？拉普拉斯曾用一种所谓的“摄动法”来修正三体运动的轨道，证明三体运动的稳定性。据说拿破仑曾问他此证明中上帝起了什么作用，他回答：“陛下，我不需要这样的假设”。拉普拉斯否定了上帝，但他的结论却是错的。因为三体运动中存在着混沌。,确定性原理,L
4、aplace曾说：“假设有一位智者，它能知道在任一给定时刻作用于自然界的所有的力，以及构成世界的一切物体的位置。假定这位智者的智慧高超到有能力对所有这些数据做出分析处理，那么它就能将宇宙中最大的天体和最小的原子的运动包容到一个公式中。对于这位智者来说，再没有事物是不确定的了，过去和将来都历历在目。”,分析,毫无疑问，这位智者是存在的上帝！ 初始条件也是可以确定的，比如说我们可把某一时刻作为初始时刻，根据确定性原理，以后任何时刻的事情我们都了如指掌！,Laplace的信息源于这样的一种信念：,世界是统一的，所有复杂性都是表面现象，复杂性可分解为简单现象，在充分理解简单现象之后，复杂现象也就得到了
5、规律，整体等于部分之和。,悖论？！,对此你会产生怀疑吗？宇宙是有秩序的，我们也千方百计地制订一些规则，为我们人类，也为整个宇宙！ 然而，假设你是我们校园里最听话的学生，给你安排好了此时你做这个，下一刻你做那个，那该是多么枯燥！要知道，我们的世界可是丰富多彩的，也许在某一天，别人叫你往东走，你故意要往西走！ 这回完了，最乖的学生打破了宇宙的秩序！,问题出在哪里？,回到刚才的话，整体等于部分之和： 这种孤立的、线性的思维方式，的确带来了科学的巨大进步，但现在看来，是否有些太简单化了？,19世纪末，伟大的法国数学家Poincare在研究“太阳系的稳定性问题”之后，吃惊地发现太阳系前途未卜：初始条件的
6、微小差别在最后的现象中产生极大的差别，预言变得不太可能了，而我们在宇宙中有的是偶然发生的现象！,Henri Poincare,通过数学推理发现混沌的第一人 ，公认真正研究混沌的第一位科学家。,Poincare的思想太超前了，当时很少有人重视。直到1960年，前苏联数学家 Kolmogorov，Arnold，Moser 提出了著名的KAM理论。该理论证明了Poincare的创见：动力系统初始条件无论出现多么小的扰动，都将为随机性和不可预测性大开方便之门！,Chaos,For want of a nail, the shoe was lost;For want of a shoe, the hor
7、se was lost;For want of a horse, the rider was lost;For want of a rider, a message was lost;For want of a message the battle was lost;For want of a battle, the kingdom was lost!,似乎这首民谣背后真的掩藏着什么秘密：丢失一个钉子，坏了一只碲铁；坏了一只碲铁，折了一匹战马；折了一匹战马，伤了一位骑士；伤了一位骑士，输了一场战斗；输了一场战斗，亡了一个帝国。这就是典型的混沌思想。,混沌的特性,对初值条件的依赖性 y=2x2-
8、1以只差0.001的初始值迭代2. 混乱中 的秩序,什么是混沌？,混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性不可重复、不可预测。进一步研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象，表现为它对于初始条件的敏感依赖性。牛顿确定性理论能够充分处理的多为线性系统，而线性系统大多是由非线性系统简化来的。因此，在现实生活和实际工程技术问题中，混沌是无处不在的。混沌，也是英文的chaos，在现代汉语中，“浑沌”(混沌)主要有如下四种含义：(1)混乱(贬义)；(2)混合、中介；(3)自然，淳朴，未分化(褒义或中性)，不懂事；(4)
9、朦胧，模糊，糊涂。近些年来除了受到数学、物理学等学术研究领域的关注外，在音乐、艺术、美工设计等方面的应用更加普遍。采用计算机作图技术，根据混沌等式可以画出奇妙无比的图形。,人们何时开始认识到混沌？,然而，混沌思想真正大放异彩的地方，首先是在天气预报的研究。天气预报是人们长期的梦想。1922年，英国物理学家Richardson提议：聚集一批专家，在统一的指挥下计算影响天气变化的各种数据，但他估计可能要64000个计算快手才能使天气预报不落后于实际的天气。,计算机和气象卫星的发明才真正给天气预报带来了希望。20世纪60年代初，计算机只是真空管构件，Lorenz(数学家、物理家、气象学家)决定在计算
10、机上探究天气的奥秘。Lorenz把气象问题进行了大刀阔斧的简化，得到12个方程，表示温度、压力、风速之间的关系。当然，他在思考时也秉承了牛顿力学决定论哲学的思想。,一切都很正常，直到有一次他为了节省时间，把前一次运算中的数据作为新的初始值输入计算机。没想到，这个不经意的举动却种下了科学的种子。打印出来的天气走势天差地别，就像两次完全不同的天气，相当令人吃惊！长期与变幻莫测的气象打交道的经验使Lorenz确信：最初的误差会带来长期的灾难，长期天气预报是不可能的！,作为一个数学家，Lorenz并没有止步。最终，他找到了一组简单的三元微分方程组（三个方程），可以产生他想要的复杂性。这些方程是非线性的
11、，也就是说，各变量之间不再满足线性的叠加关系。,于是，一个新的哲学诞生了：一个可以用确定性方程描述的确定性系统，因为初始条件不可避免的误差，经过非线性因素的搅和，得出永不重复的非周期性结果 这正是混沌！,接下来1979年，Lorenz在一次会议上向听众抛出如下问题：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀会在得克萨斯引起龙卷风吗？旨在强调非线性系统对初始条件的敏感依赖性。后来，“蝴蝶效应”成了混沌的代名词。,Lorenz和他的蝴蝶型吸引子,MITWeather systemMeteorologist,就严肃的物理学理论而言，爱因斯坦的相对论指出，的确存在不违背已知的物理法则改变时间的可能性。但更多的只是一种科学
12、幻想。为了解决“时间悖论”，也有多种假设，比如比较盛行的“平行宇宙”假说，认为我们的这个世界在宇宙中还有许多相似的“克隆世界”，当某人回到过去时，他就进入了另一个平行世界（即未来因为他的行动已经改变的世界），再也不可能回到原来的世界。,蝴蝶吸引子平行宇宙,更多的混沌,另外，流体力学中的湍流理论也是一个例子。 （湍流：流体无规则，游走不定的状态）例如：流水经过桥墩后形成的纠结的旋涡,湍流,前苏联物理学家Landan在1944年提出一种模态： 更多的能量或扰动进入流体，激发出“越来越多”的周期运动 ，流体变得不规则，当模态数量达到“一定程度”时，流体就被搅成一锅混沌之粥。,类似这样的话，物理学家是
13、可以讲的，数学家是不能这样讲的。物理学家更加关心物理现象，但数学家关心为什么会这样，会试图用一套数学上严格的语言加以论证。 阿基米德、牛顿、高斯、黎曼,到目前为止，我们对经典力学和确定论的某些质疑，相信混沌的产生。,问题研究混沌的方法,非线性科学，如动力系统、偏微分方程。,数学家对混沌的研究,尽管很多数学家都没有就此罢休，但对于混沌的机制，至今还是很大的open problem，仅有的结果，是1971年荷兰数学家Takens与法国物理学家Ruelle合写了论湍流的本质。,思考,类似的现象表明，复杂性与简单性其实是统一的，可见某些复杂的现象后面蕴含着简单的秩序。这种秩序的产生，是否正是上帝的最大秘密之一！？,爱因斯坦曾说：“上帝不掷骰子。”而混沌理论的传教士福特纠正道：“上帝的确掷骰子，但是灌了铅的骰子。”,的确，上帝不再是造物主，而是宇宙的精神。我们正在经历一个根本性转变，从确定论转向复杂性、非线性。这样，我们就需要找到新的方法和思维方式对新问题进行研究。,混沌与分形(fractal)和孤子(soliton)是非线性科学中最重要的三个概念。混沌理论隶属于非线性科学，只有非线性系统才能产生混沌运动。据1991年出版的混沌文献总目统计，已收集到与混沌研究有直接关系的书269部、论文7157篇。到现在，还不断有新的混沌研究成果发表。,
