1、 2011 届 本 科 毕 业 论 文常微分方程的奇解的求法学 院 ：数学科学学院 专 业 班 级 ：数学 07-4（实验）班学 生 姓 名 ：哈丽古丽.穆塔力菩指 导 教 师 ：伊里夏提 答 辩 日 期 ：2011 年 5 月 10 日 新疆师范大学教务新疆师范大学 2011 届本科毕业论文1目 录1 引言 .12 奇解的定义 .13 不存在奇解的判别法 .14 自然法 .25 拾遗法 .26 包络线及奇解的求法 .26.2 C-判 别曲线 .36.3 P-判别曲线 .56.4 C-P 判别法 .7总结 .8参考文献 .1致谢 .2新疆师范大学 2011 届本科毕业论文2常微分方程的奇解的求
2、法摘要：该文章我们主要讨论的是常微分方程奇解的求法。一个常微分方程有没有它的奇解，有了奇解怎么求是该文章的主要目的。在这里我们讨论不存在奇解的判别法。如果方程有了它的奇解，一般有五种方法可以求它的奇解，即自然法，拾遗法，C -判别曲线(C-消去法)，P-判别曲线（P-消去法） ，C-P 判别法。我们最常用的，方便的方法是后面的三个，在这里对这三个方法进行详细的讨论。关键词：奇解，判别式，包络线。新疆师范大学 2011 届本科毕业论文11 引言我们看到对某些微分方程，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这方程的积分曲线族。 但是，在这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和它在此
3、点相切。在几何学上，这条特殊的积分曲线称为上述积分曲线族的包络。在微分方程里，这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解。若一个微分方程它有奇解，那我们怎么求它的奇解是该文章主要讨论的问题。2 奇解的定义 定义 如果方程存在某一节，在它所对应的积分曲线上每一点处，解的唯一性都被破坏，则称此解为微分方程的奇解。奇解对应的积分曲线称为奇积分曲线。3 不存在奇解的判别法每一个微分方程都有它的奇解吗？答案是：不一定。那我们怎么知道，微分方程有没有它的奇解呢？下面我们介绍不存在奇解的两种判别法。方法 1假设方程（1）(,)dyfx的右端函数 上有定义，如果 在 上连续且2),(RDyxf在 区 域 ),
4、(yxfD在 上有界（或连续） ，那么由解的存在唯一性定理，方程的任一解是),(fy唯一的，从而在 内一定不存在奇解。例 1 判断方程 2yxd是否存在奇解。解：方程2yxd右端函数 ， 均在全平面上连续，故该方程在全平面2(,)fxy(,)yf上无奇解。方法 2 如果存在唯一性定理条件不是整个 有定义的区域 D 内成立，那么奇),(yxf解只能存在于不满足解的存在唯一性定理条件的区域上，若能进一步表明在这新疆师范大学 2011 届本科毕业论文2样的区域上不存在方程的解，那么我们也可以断定该方程无奇解。例 2 判断方程2xyd是否存在奇解。解：方程2xyd的右端函数 在区域 上有定义且连续，
5、在(,)fxyxxyxyfy12上有定义且连续，故不满足解的存在唯一性定理条件的点集只有 ，y即若该方程有奇解必定是 ，然而 不是该方程的解，从而该方程无奇解。4 自然法找出方程不满足唯一性条件的点集合 ，例如， ，再验L(,)|fxy证它是否是奇解。5 拾遗法在求通解过程中，方程两边约去的不含导数的因式，令其为零，可能得到奇解。6 包络线及奇解的求法6.1 包络线的定义定义 设给定单参数曲线族（2）():,)0Cxyc其中 为参数， 对所有变量连续可微，如果存在连续可微曲线 ，在其上任cL一点均有 中某一曲线与 相切，且在 上不同点， 与 中不同曲线相切，()CL()C那么称此曲线 为曲线族
6、 的包络线或简称包络。L()新疆师范大学 2011 届本科毕业论文3(c)l定理 1 方程（1）的积分曲线族 的包络线 是（1）的奇积分曲线。()CL证明：只需证明 的包络线 是方程（1）的积分曲线即可。 ()CL设 为 上任一点，由包络线定义，必有 中一曲线 过 点，且与),(yxpL()lp相切,即 与 在 点有公共切线。由于 是积分曲线，它在 点的切线应与Llpl方程（1）所定义的线素场在该点的方向一致，所以 在 点的切线也就与方程L（1）在该点的方向一致了。这就表明 在其上任一点的切线与方程（1）的线L素场的方向一致。从而 是（1）的积分曲线。证毕。L6.2 C-判别曲线定理 若 是曲
7、线族（2）的包络线，则它满足如下的 C-判别式L（3）(,)0cxy反之，若从（3）解得连续可微曲线 且满足非蜕化条件：:(),()cy0)(22c和),(),(22 cyx 则 是曲线族的包络线。证明：在 上任取一点 ，由包络线的定义，有（C）中一条曲线 在L),(p l点与 相切，设 所对应的参数为 ，故 上的点坐标 和 均是 的连续可plcLxyc微函数，设为)(),(yx新疆师范大学 2011 届本科毕业论文4又因为 在 上，故有恒等式),(yxpl（4）0),(cyx在 点的切线斜率为L)(cxkL在 点的切线斜率为lp),(cyxkyl因为 为 在 点相切，故有 ，即有关系式lLp
8、lL（5）0)(),()(),( cycxcxycxy另一方面，在（4）式两端对 C 求导得),()(,)()(,)( cxcyx此式与（5）式比较，无论是在 和 同时为零还是不同时为零的,cxyx,情况下，均有下式 0),(yc成立。即包络线满足 C-判别式（3） 。反之，在 上任取一点 则有)(,)(ccq,0()c成立。因为 不同时为零，所以对（2）在 点利用隐函数定理可确定一条连续可yx, q微曲线 （或 ）它在 点的斜率为：)(:h)(xk),(cy（8）另一方面， 在 点的斜率为：q)(ck新疆师范大学 2011 届本科毕业论文5（9）现在，由（7）式的第一式对 C 求导得0)(,
9、)()(,)( cccyx （10）因为 和 分别不同时为零，所以，由（10） ， （9）和（8）推出)(,cyx,，即曲线族（2）中有曲线 在 点与曲线 相切。因此， 是曲线族k q（2）的包络线。例 3 求方程21ydx的奇解。解： 21ydx2dxdxy21该方程的通解为 。)sin(cy由 C-判别式 sin()0coyx的第二式解出， 2xck,21k代入第一式，得到 .因为 ， ，故 为方程的1y0y 0)(c1y奇解。6.3 P-判别曲线由存在唯一性定理可知，如果 关于 连续可微，则只要),(yxFyx,就能保证解的唯一性，因此，奇解（存在的话）必须同时满足下列方程0yF， 0)
10、,(yx 0),(yx于是我们有下面的结论：方程新疆师范大学 2011 届本科毕业论文60),(xyF（11）的奇解包含在由方程组（12）(,)0PyFxp消去 而得到的曲线中，这里 是 的连续可微函数。此曲线称为p),(P,方程（11）的判别曲线，P-判别曲线是否是方程的奇解，尚需进一步验证。例 4 求方程 01)(2ydx的奇解。解：从 210py消去 ，得到 -判别曲线pP；y下面验证， 是不是该方程的解。1y该微分方程的通解为);sin(cx而 也是该微分方程的解，且正好是通解的包络。 1y例 5 求方程 2)(dxyy的奇解。解：从 20ypx消去 ,得到 -判别曲线pP2xy但 不
11、是方程的解，故此方程没有奇解。2xy新疆师范大学 2011 届本科毕业论文76.4 C-P 判别法对方程（3） ， （11） ， （12）而得的 中，寻得公共的 单0),(),(yxyx因式，令其为零，一般就是（3）得奇解。例 6 求 的奇解。327894yyx解：方程即 ，32p从 2348970()xyp消去 ，可得p，274,xy原方程的通解式，3)()(c按 C消去法，从 232cxy消去 C ，得 。因此， 是两种消去法的公共因式，故它是274xy74奇解。总结常微分方程奇解的求法有五种，但我们最常用的方法是：C -判别曲线(C-消去法)，P-判别曲线（P-消去法） ，C-P 判别法。求奇解之前我们判断该方程到底有没有奇解，就是用不存在奇解的判别法来判断该方程有没有奇解，如果有了奇解，刚才提的三种方法中，任用一个可以求它的奇解。
