1、德州学院 数学系 2007 届 信息与计算科学专业 毕业论文1微分方程数学建模应用的探究 李正祥（德州学院,山东 德州 253023）摘要：本文首先介绍了微分方程和数学建模，接着介绍了二者相结合的特点及其结合后解决实际问题的一般性步骤，后有在不同领域，通过模拟近似法、微元分析法建模、规律类建模三种方法解决现实中的微分方程建模问题，实际探究了微分方程在数学建模中的应用关键字：微分方程，数学建模，模拟近似法建模，微元分析法建模，规律类建模1 引言微分方程是研究未知函数的导数及自变量之间关系的方程，更是研究函数变化规律的得力工具在军事中的导弹弹道计算与飞机飞行中的稳定性研究和化学中的稳定性研究都可以
2、用微分方程来求解，而海王星的发现也得益于微分方程数学建模是关于部分现实世界为一定目的而作的抽象的、简化的数学结构它是用数学的语言公式、符号、图表等刻画和描述一个实际问题，然后经过数学的处理计算、迭代等得到定量的结果，以供人们作分析、预报、决策和控制2 微分方程建模的一般步骤微分方程建模是用数学中微分方程解决实际问题的桥梁，具有极大的普遍性、有效性和非常丰富的数学内涵，并在物理学、力学、工程学、生物学、医学、经济学、军事学等各个领域中有着广泛应用应用微分方程理论针对各种实际问题建立的数学模型，一般而言都是动态模型，其结果极其简明，但整个推导过程却有点繁杂，不过还是能给人们以合理的解释因此，选准切
3、入点，将微分方程和数学建模的内容有机的结合才能充分体现微分方程建模的思想意图当我们描述实际对象的某些特性随时间（或空间）而演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来状态、研究它的控制手段时，通常要建立动态模型而针对不同的实际对象的动态模型，进行微分方程建模的一般性步骤是：（1）用较精练的语言叙述待解决的问题德州学院 数学系 2007 届 信息与计算科学专业 毕业论文2（2）要根据建模的目的和对问题的具体分析做出简化假设（3）按照对象内在的或可类比的其他对象的规律建立目标函数的关系式并提出此微分方程有解的相关条件，即列出微分方程组（4）求出这个微分方程的解（5）用所得的结果来解释实际问题（或现象
4、） ，或对问题的发展变化趋势进行预测下面以具体的实例来探究微分方程在数学建模中的应用3 模拟近似法建模在生物、经济等学科的实践问题中,常要用模拟近似的方法来建立微分方程数学模型,这是因为生物、医学、经济中的一些现象的规律性我们不是很清楚,即使有所了解也是及其复杂的,因此要用数学模型研究它们时只能在不同的假设下去模拟实际的现象,这个过程当然是近似的,这样模拟近似所建立的微分方程从数学上求解或分析解的性质,再去同实际情况对比,看这个微分方程模型能否刻划、模拟、近似某些实际的现象3.1 人口预测模型由于资源的有限性, 当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长为了得到人口预测模型，必须首先搞清影响人口
5、增长的因素，而影响人口增长的因素很多，如人口的自然出生率，人口的迁移，自然灾害，战争等诸多因素如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手因此，先把问题简化，建立比较粗糙的模型，再逐步修改，得到较完善的模型例 1 (马尔萨斯 M al thus 模型 )英国人口统计学家马尔萨斯 ( 1766- 1834)在担任牧师期间,查看了教堂 100 多年人口出生统计资料，发现人口出生率是一个常数，于 1798 年在人口原理一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型他的基本假设是在人口自然增长过程中，净相对增长率(出生率于死亡率之差)是常数，即单位时间内人口的增长量与人口成正比，比例系数设为 在此假设下，推导
6、并求解人口随时0r间变化的数学模型解 设时刻 的人口为 ，把 当作连续、可微函数处理 (因人口ttNt德州学院 数学系 2007 届 信息与计算科学专业 毕业论文3总数很大，可近似地这样处理，此乃离散变量连续化处理) ，据马尔萨斯的假设，在 到 时间段内，人口的增长量为tttrNttN并设 时刻的人口数为 ，于是0t00Ntrd这就是马尔萨斯人口模型，用分离变量法易求出其解为 0tret此式表明人口以指数规律随时间无限增长模型检验：据估计 1961 年地球上的人口总数为 ，而在以后的 7 年9106.3中，人口总数以每年 2%的速度增长。这样， ， ，t 9106.3N，于是02.r19602
7、.6.3tetN这个公式非常准确地反映了在 1700- 1961 年间世界人口总数因为，这期间地球上的人口大约每 35 年翻一番，而上式断定 34.6 年增加一倍但是，后来人们以美国人口为例，用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较，却发现有很大的差异尤其是在用此模型预测遥远的未来地球人口总数时，发现更加令人不可思议的问题，如果按此模型计算，到 2670 年，地球上将有 3 万 6000 亿人口如果地球表面全是陆地 (事实上，地球表面还有 70%以上被水覆盖) ，我们也只能互相踩着肩膀站成两层了这是非常荒谬的！因此，这一模型应该修改例 2 (逻辑 Log ist ic 模型 )1838 年，荷兰生
8、物数学家韦尔侯斯特 ( V erhu lst)引入常数 ， 用来mN表示自然环境条件所能容许的最大人口数(一般说来，一个国家工业化程度越高，它的生活空间就越大，食物就越多， 就越大)，并且假设净增长率等于mN德州学院 数学系 2007 届 信息与计算科学专业 毕业论文4，即净增长率随着 的增加而减少，当 时，净增长率mNtr1tNmNT趋于零。按此假设建立人口预测模型解 由韦尔侯斯特假定,马尔萨斯模型应改为01Ntrdm上式就是逻辑模型该方程可分离变量，其解为010trmeNt下面，我们对模型作简要分析（1）当 时， ，即无论人口初值如何，人口总数趋向于极tmt限值 ；mN（2）当 时， ，这
9、说明 是时间 的单mN001mNrdt tNt调递增函数；（3）由于 ,所以当 时， ，rdt m212 2m02dt单增；当 时， 单减, 即人口增长率 由增变减，在dtNmNdtNt02tN处最大，也就是说在人口总数达到极限值一半以前是加速生长期，经过这2m一点后，生长的速率逐渐变小，并且迟早会达到零，这是减速生长期；（4）用该模型检验美国从 1790 年到 1950 年的人口，发现模型计算的结果与实际人口在 1930 年以前都很吻合自从 1930 年以后，误差愈来愈大，一个明显的原因是在 20 世纪 60 年代美国的实际人口数已经突破了 20 世纪初所设的极限人口由此可见，该模型的缺点之
10、一是 不易确定事实上，随着一个mN国家经济的腾飞，它所拥有的食物就越丰富， 的值也就越大；德州学院 数学系 2007 届 信息与计算科学专业 毕业论文5（5）逻辑模型来预测世界未来人口总数某生物学家估计， ， 又029.r当人口总数为 时，人口每年以 的速率增长。由逻辑模型得9106.3%2mNrdt即 9106.3029.1从而得986.mN即世界人口总数极限值近 100 亿3.2 新产品的销售模型对于纯粹的市场经济来说,商品市场价格取决于市场供需之间的关系,市场价格能促使商品的供给与需求相等(这样的价格为(静态)均衡价格)也就是说,如果不考虑商品价格形成的动态过程,那么商品的市场价格应能保
11、证市场的供需平衡但是,实际的市场价格不会恰好等于均衡价格,而且价格也不会是静态的,应是随时间不断变化的动态过程例 3 一种新产品(像电脑、空调等)问世，人们对其功能尚不熟悉，所以销售速度较慢随着销售数量的增加，人们对于其越来越了解，销售速度也增加，但这类商品销售到一定数量时，因人们不会重复购置，而使销售速度减慢设计一个数学模型描述产品销售速度需求量有一个上界 ，用 表示 时刻已售产品数量，则尚未售出量约为Pty；进一步分析知，产品的销售速度 与销售量 和 ，的乘积tyPdtytytP成正比，比例系数为 ，则 ，解此方程得销售数量 ，kkdt kPCe1其中 是任意常数：为讨论销售速度的变化情况
12、，需求出销售速度的加速度，C于是再对方程求导得： ，因而，当yPdtkyPtykt 22 时，加速度 ，即销售速度达到最大值从而求得 ，使 ；2Py02dty 0t20Pt德州学院 数学系 2007 届 信息与计算科学专业 毕业论文6从模型得到结论，当 时，销售速度逐渐增大，当 时，销售速度逐渐减小；这表明，0t0t在销售量小于最大销售量的一半时，销售速度是不断增大的，销售量达到最大销售量的一半时，产品最为畅销，其后销售速度开始下降4 微元分析法建模用微积分的微元分析法建立微分方程模型，实际上是寻求一些微元之间的关系式在建立这些关系式时也要用到已知的规律或定理与第一种方法不同之处在于这里不是直
13、接对未知函数及其导数应用规律和定理来求关系式，而是对某些微元来应用规律4.1 流体混合数学模型我们在生产和实验中常常遇到如下问题：容器内装有含物质 A 的流体设时刻 时,流体体积为 物体 A 的质量为 (浓度已知)今以速度 0t 0V0x(单位时间的流量 )放出流体，而同时又以速度 注入浓度为 的流2v 1v1c体试求时刻 时容器内物质 A 的质量及流体的浓度这类问题称为流体混t合问题，必须用微分方程来解决首先，我们用微元法列出方程设在时刻 容器内物质 A 的质量为 ，浓度为 ，经过时间 后，t tx2cdt容器内物质 A 的质量增加了 dx于是,有关系式dtvctvct2121将 代入上式得
14、tvVxc2102dtvxcd2101或1210vcxtvVdtx德州学院 数学系 2007 届 信息与计算科学专业 毕业论文7（1）这是一个线性方程求物体 A 在 时刻的质量问题就归结为求方程（1）满t足初始条件 的解的问题0x例 4 某厂房容积为 立方米。经测定，空气中含有 2 %的 654CO2开动通风设备，以 的速度输入含有 0.05%的 的新鲜空气，同sm/362CO时又排出同等数量的室内空气问 30 分钟后室内所含 的百分比解 设在时刻 车间内 的百分比为 ，当时间经过 之后，室t2CO%txdt内 的改变量为2COtxdtdx3605.036154于是有 或t.036t.4初始条
15、件为 2.x将方程分离变量并积分，初值解满足dtxdox2.2.045求出 x，有 te451.将 t= 30 分= 1800 秒代入，得 0.x即开动通风设备 30 分钟后，室内 的含量接近 0. 05 % ，基本上已是2CO新鲜空气了例 5 现有 A，B，C 三个容纳盐水的盐水罐，其中分别可以容纳 20 升，40升，50 升的盐水，初始状态时，A 罐盐水含盐量为 15 克，B、C 罐含盐量为 0克各盐水罐中盐水的变化为：将 的清水注入 A 罐中，把 A 罐中液体min/10L以 注入 B 罐中，把 B 罐中液体以 注入 C 罐中，再把 C 罐中液min/10L i/体以 排除研究各盐水罐中
16、盐量的变化情况德州学院 数学系 2007 届 信息与计算科学专业 毕业论文8解 设 时刻，三个盐水罐的盐量分别为 。根据图 l 中t txt321,A，B，C 三个盐水罐的盐量变化情况，建立微分方程为：323121.05.xx应用微分方程组的求解方法，得到满足初始条件的解为：tttt eetxt 2.025.05.03.25.01 135 根据规律建模类模型学生已经学习了许多经过实践或实验检验的规律或定律,如牛顿运动定律、 牛顿冷却定律、曲线的切线性质、虎克定律、基尔霍夫定律、物质放射性规律等,它们都涉及到函数的变化率,必然可以和导数或微分联系起来,进一步建立相关的微分方程5.1 目标追踪模型
17、例 5. 设位于坐标原点的甲舰向位于 x 轴上点 A（1,0）处的乙舰发射导弹，导弹始终对准乙舰如果乙舰以最大的速度 （ 是常数）沿平行于 y 轴的直0v线行驶，导弹的速度是 5 ，求导弹运行的曲线又乙舰行驶多远时，导弹将0v它击中？解 设导弹的轨迹曲线为 ，并设经过时间 ，导弹位于点 ，xytyxP,乙舰位于点 由于导弹头始终对准乙舰，故此时直线 就是导弹的轨tvQ0,1 Q迹曲线弧 在点 处的切线，即有 ，亦即OPxtvy10tv0又根据题意，弧 的长度为 的 5 倍，即AQtvdxyx0021由此得德州学院 数学系 2007 届 信息与计算科学专业 毕业论文9dxyyxx02151整理得
18、2并有初值条件 ，解得0,0y24518564xx当 时 ，即当乙舰航行到点 处时被导弹击中被击中时间1x2y,为 若 ，则在 时被击中 045vto1o21.0t5.2 物体冷却模型在一个冬天的晚上，警方于 20:20 接到报警，立即与第一时间赶到现场，法医在晚上 20:30 测得尸体体温为 32.2 度，案发现场气温始终为 23 度，据死者王某家属称，20:15 回家时发现空调一直开着，并设定在 23 度上，警方经过初步排查，认为张某具有较大嫌疑，现在要确定张某有没有作案时间，有确凿的证据说明 18:00 之前的整个下午张某一直在岗位上，但 18:00 以后谁也无法作证张某在何处，而张某的
19、岗位到凶案现场只有步行 5 分钟的路程请你根据牛顿冷却定理，确定能不能从时间上排除张某的作案嫌疑(人正常体温 36.7度)解 设时刻 尸体温度为 ，由于被害人死亡时间不确定，设死亡时ttT刻到法医第一次测体温的间隔为 小时，则到第二次测体温的间隔为 小x 1x时根据冷却定律：把温度 物体放在温度 的物体恒温室内，它的冷却速度T0T与温差 成正比0T列微分方程和相关解条件德州学院 数学系 2007 届 信息与计算科学专业 毕业论文102.347.602310xttTKkdT解方程得ktCe23把 代入上式得7.60tT.1即kteT7.32把 , 代入上式中，有4.3xtT1xt2.37.41xkte解得（小时）5.248.由此可知，被害人遇害的准确时间为 18:15（20：30 减去 2 小时 15 分钟) ，而张某在 18:05 完全可以赶到凶案现场所以，不能从时间上排除张某的嫌疑6 结束语通过以上例子，我们对微分方程在数学建模中的应用做了简单的探究在这其中，我们不难看出，建立一种数学模型，就是数学理论更好的指导实际生活的过程，体现了数学学科和社会学科的交汇这给人们提供一种新的思维和解决问题的方式，把人们从理论知识型向能力型转变正因为微分方程建模的这种重要意义，才使它在将来的应用中会越来越广泛参考文献
