1、分类号 编 号 毕 业 论 文题 目 常系数非齐次线性微分方程的算子解法 学 院 数 学 与 统 计 学 院 姓 名 xxx 专 业 数 学 与 应 用 数 学 学 号 291010132 研 究 类 型 理 论 研 究 指 导 教 师 xxx 提 交 日 期 2013 年 5 月 原 创 性 声 明本 人 郑 重 声 明 :本 人 所 呈 交 的 论 文 是 在 指 导 教 师 的 指 导下 独 立 进 行 研 究 所 取 得 的 成 果 .学 位 论 文 中 凡 是 引 用 他 人已 经 发 表 或 未 经 发 表 的 成 果 、 数 据 、 观 点 等 均 已 明 确 注 明 出 处 .
2、除文 中 已 经 注 明 引 用 的 内 容 外 ,不 包 含 任 何 其 他 个 人 或 集 体 已经 发 表 或 撰 写 过 的 科 研 成 果 .本 声 明 的 法 律 责 任 由 本 人 承 担 .论 文 作 者 签 名 : 年 月 日 论 文 指 导 教 师 签 名 :常系数非齐次线性微分方程的算子解法王 东 云（天水师范学院,数学与统计学院,甘肃,天水,741000）摘 要 本文讨论了求常系数非齐次线性微分方程特解的算子解法,结果说明当非齐次项是指数函数、三角函数、幂函数及其混合函数时,用这种方法可以直接求出一个特解,运算简单.关 键 词 线性微分方程;算子方法;特解Differe
3、ntial operator method of inhomogeneous linear differential equation with constant coefficientWang Dongyun(School of mathematics and statistics, Tianshui NormalUniversity,Gansu,Tianshui,741000)Abstract This paper discusses the differential operator method for special solution of inhomogeneous linear
4、differential equation with constant coefficient, the results show that when the inhomogeneous term is exponential function, trigonometric function, power function or their mixed function, this method can be used to directly derive a special solution, simple operation.Keywords Linear differential equ
5、ation;Operator method;Special solution数学与统计学院 2013 届毕业论文11 引言微分方程在解决实际问题中有着广泛的应用,例如单摆运动、传染病的预防等方面都要用到常微分方程.教材中一般只介绍用待定系数法和常数变易法求解常系数非齐次线性微分方程,然而用上述的两种方法需经大量的运算,甚至涉及到求解线性方程组.基于上述的情况,本文讨论求解线性微分方程的算子解法.2 基本概念对于常系数非齐次线性微分方程(1) )(1 tfxaandtxdtxnn 其中 均为常数 . ia),32,1(n令 表示对 求微商的运算,称它为微分算子; 表示对 求 次微商的dtDx k
6、dtDxk运算.于是方程(1)化为(2)tfxaDannnn 121记 ,称为算子多项式.所以(2)的一个解可简nnaP121单的表示为 ,称 为逆算子.tfxP特别地, .dtftfD1kkkdtftf13 算子多项式3.1 性质设 是上述定义的算子多项式, 都是可导函数 ,则有如下的结论:DPtf21,1) tfDPtfDPtf 1221212) tftftfDP1以上两式的证明均可以由简单的积分来完成,从略.数学与统计学院 2013 届毕业论文2有关其他的性质可根据普通多项式的性质来类似给出,也可参见文献1,2,3.3.2 运算公式设 是上述定义的算子多项式, 是可导函数 , , 都是常
7、数,则有如下的结DPtva论:1) tte2) 22cosatPatP3) insiD4) tvetve证明 1) ttnntnnt ePaeaDaP 112) 因为 , ，titeiatscotiteitsco所以 22 iatittiatiateDPe211itit22aeitiatcostP3) 由 2)式证明可类似推之.4) 根据莱布尼茨公式,有tvDeCtveDkmtkmk0tkkmt 0tvet数学与统计学院 2013 届毕业论文33.3 逆算子运算公式设 是上述定义的算子多项式, 是可导函数 , , 都是常数,则有如下的结论:DPtva1) (3)tte10P2) (4)atPa
8、tDcoscos222a3) (5)ttin1in12202P4) (6)tvDPetvPt5)设 ,则0,10 nkk atbtbtf(7)tfQtfDkk1其中 是将 按 的升幂排列后去除 1 在第 步kk Dcc210 Pk得到的结果.)当 时, （ 为重数） (8)P1estts)当 时,不妨设 ,而 .则02a 22DQaDPs02a(9)!Re1cos122 sitQtDPia(10)atin2!Im2itsia)当 时, ,此时 而 则0Pkk tbtbtf10 sDQP0(11)tfDQtfksk1证明 以上 1)、2)、3)式的推导可参见文献1.4) tvDPetvPett
9、11数学与统计学院 2013 届毕业论文4= tve5)用 1 除以 得到的商是 次多项式 时,余式中的各项最起码是 次的,即DPkDQk 1k1= RPk其中 ,上式两边同时作用 得nkkccR1 tfkDQtfkkfRtfPkk由于上式中的 至少是 次的,故 .DR1k0tfD)不妨设 ,而 .由(6)可得PPs1ett 11DPst1est)由于 ,所以22QaDPsatDatscosco1222ts122而 1122 siatits aiDeD= ssiati1数学与统计学院 2013 届毕业论文5= !21staieit故有 !2Re1cos122 siataQtDPi同理有 !2I
10、m1sin122 siateati)显然成立.4 题例类型 当 时,可采用公式(3)或(8)求得(2)式的特解.tef例 1 求 的特解.tx23解 若采用常数变易法,需先求出特征值,写出通解,然后再解方程组得出变易系数,进而得到特解.而用算子法可简单求解如下:由于 , .故特解为 = .132DP03PteDPx21t3例 2 求 的特解.tex26解 ,故 ,从而特解为2230Dext13= t25类型 当 时,可以用公式(4)或(9)求得(2)式的特解.attfcos例 3 求 的特解.x3in解 若用文献4中提供的解法,我们需将 分开来求解,然后由解的性质可tcosin得到原方程的特解
11、.而采用算子解法则可直接求出特解,具体如下:,故特解12DP tDPtx3cs)(1si)(数学与统计学院 2013 届毕业论文6tt2cos10sin2例 4 求 的特解.txsin解 （算子解法）由于 ,故方程转为解 ,它的特解为2aPitexD224iteDx241= 122iit= ieit412故原方程的特解为 .txcos41(常数变易法)特征方程为 ,特征根为 ,对应齐次方程的通解为02i2,设非齐次方程的特解为 ,则有以下方程组tCt2sinco1tCtxsincos1ttC22sin inco1解得 ttt 4sin1,4cos 21 积分得 11si6CtttC224co故
12、特解为 .ttxsin162co4类型 当 时,可以用公式(5)或(10)求得(2)式的特解.fk例 5 求 的特解.43tx解 不管是采用待定系数法还是用常数变易法都可以求出方程的解,但是求解过程比较复杂,采用算子解法可简解如下42312tDx= 9t数学与统计学院 2013 届毕业论文7= 923t例 6 求 的特解.21tx解 （算子解法） 221tD= = 32t= 241tt(待定系数法)特征方程 ,故特征根为 , ,所以02302113对应的线性无关解为 .由于 ,故可设特解的形式 ,te, tetf cbtatx2带入方程后整理得 22 1641tcbtat 比较两边的同次项系数有 ,0,解得 ,所以特解为 .23,1,2cba 23412ttx类型 当 是指数、三角、幂函数的混合函数时,可采用上述恰当的公式求得tf（2）式的特解.例 7 求 的特解.tex解 若用待定系数法,必须先求出方程的特征根,此外方程是三阶的,计算待定系数比较麻烦,用算子法可简化计算.teDx12= tet2= tt = tte8341
