正交矩阵及其性质本科毕业论文.doc

1、本 科 毕 业 设 计 (论 文 )题 目 名 称 ： 正 交 矩 阵 及 其 性 质 学 院 ： 数 学 与 统 计 学 院 专 业 年 级 ： 数 学 与 应 用 数 学 学 生 姓 名 ： 班 级 学 号 ： 指 导 教 师 ： 二 O 一三年五月二十四日 I摘 要正 交 矩 阵 是 一 种 常 用 的 特 殊 矩 阵 , 在 矩 阵 论 中 占 有 重 要 地 位 , 有 着 非 常 好 的 性 质 , 并 具 有 广 泛 的 应 用 . 本 文 应 用 矩 阵 的 行 列 式 , 特 征 值 , 秩 等 概 念 , 深 入 研 究 了 正 交 矩 阵 的相 关 性 质 , 并 利 用

2、 这 些 性 质 解 决 实 际 问 题 . 关 键 词 : 矩 阵 ; 正 交 矩 阵 ; 特 征 值 ; 行 列 式 ; 秩IIAbstractOrthogonal matrix is a kind of commonly used matrix and plays an important role in matrix theory. Orthogonal matrix has many good properties. It is widely used. In this paper, we depth study the related properties of orthogona

3、l matrix by applying the concepts of determinant, eigenvalue, rank and so on in matrix, and using these properties solve some practical problems. Kerword: Matrix; Orthogonal matrix; Eigenvalue; Determinant; RankIII目 录摘 要 .IAbstract.II目 录 .III1. 引 言 .12. 正 交 矩 阵 的 定 义 及 其 性 质 .12.1 正 交 矩 阵 的 定 义 .12.

4、2 正 交 矩 阵 的 性 质 .13. 应 用 举 例 .5致 谢 .7参 考 文 献 .811. 引 言矩 阵 是 数 学 中 一 个 重 要 的 基 本 概 念 , 是 代 数 学 的 重 要 研 究 对 象 之 一 . 矩 阵 是 线 性 代数 中 的 核 心 内 容 , 而 正 交 矩 阵 作 为 一 种 特 殊 形 式 的 矩 阵 , 在 整 个 矩 阵 理 论 体 系 中 占 有 重要 地 位 , 有 着 非 常 好 的 性 质 1-4, 并 在 各 领 域 的 数 学 方 法 中 有 着 广 泛 的 应 用 , 对 其 本 身 的研 究 来 说 是 富 有 创 造 性 的 领

5、域 . 关 于 正 交 矩 阵 的 研 究 , 如 今 已 取 得 了 丰 富 的 成 果 , 文 献 5比 较 全 面 的 分 析 了 正 交 矩 阵 的 性 质 ; 文 献 6讨 论 了 正 交 矩 阵 的 特 征 值 与 行 列 式 的 关 系 ; 文 献 7阐 述 了 2 阶 正 交 矩 阵 有 哪 些 类 型 ; 文 献 8利 用 欧 式 空 间 的 理 论 得 出 了 正 交 矩 阵 的子 式 的 性 质 ; 文 献 9应 用 正 交 矩 阵 的 若 干 性 质 , 给 出 了 正 交 矩 阵 特 征 多 项 式 系 数 的 规 律 ; 文 献 10叙 述 了 正 交 矩 阵 在

6、近 世 代 数 中 的 应 用 . 国 内 还 有 许 多 学 者 研 究 了 正 交 矩 阵 的 性 质 和 应 用 , 为 矩 阵 理 论 的 发 展 做 出 了 重 大 贡献 , 对 于 研 究 学 习 高 等 代 数 有 重 大 的 理 论 意 义 . 但 他 们 都 是 从 正 交 矩 阵 的 某 个 性 质 出 发进 行 研 究 , 没 有 系 统 全 面 的 讨 论 正 交 矩 阵 的 性 质 , 所 以 , 在 此 基 础 上 , 本 文 对 正 交 矩 阵 进行 了 较 为 深 入 的 研 究 , 得 到 了 正 交 矩 阵 的 一 系 列 常 用 性 质 , 并 对 相 关

7、 性 质 进 行 了 概 括 , 改进 和 推 广 , 又 研 究 了 其 子 式 与 余 子 式 的 关 系 以 及 正 交 矩 阵 的 应 用 .2. 正 交 矩 阵 的 定 义 及 其 性 质2.1 正 交 矩 阵 的 定 义定 义 1 一 个 阶 实 矩 阵 叫 做 正 交 矩 阵 , 如 果nA.AE注 (1)一 个 阶 实 矩 阵 叫 做 正 交 矩 阵 , 如 果 . 1(2)若 阶 实 矩 阵 的 个 行 (列 )向 量 是 两 两 正 交 的 单 位 向 量 , 则 为 正 交 矩 阵 . nn A2.2 正 交 矩 阵 的 性 质性 质 11-2 设 , 均 为 正 交 矩

8、 阵 , 则AB2(1) .A(2) , , , 都 是 正 交 矩 阵 . 1*B性 质 25 设 为 正 交 矩 阵 , 则 其 特 征 值 的 模 等 于 1, 且 属 于 的 不 同 特 征 值 的 特 征A向 量 互 相 正 交 .证 设 为 的 特 征 值 , 是 的 属 于 的 特 征 向 量 , AA由 A, 而 , 故 , 即 的 模 等 于 1.01另 设 是 的 属 于 的 特 征 向 量 , A由 , , , 可 得E AA. 所 以 ,10而 , 从 而 , 故 , 即 与 互 相 正 交 .210性 质 36 设 为 正 交 矩 阵 ,A(1)若 , 则 一 定 有

9、 特 征 值 .1(2)若 , 且 为 奇 数 ， 则 一 定 有 特 征 值 1.nA证 (1) 由 AEE,可 得 E, 即 ,2=0A0由 特 征 方 程 的 定 义 可 知 , 一 定 有 特 征 值 . 1(2) 由 AEEA, 这 里 为 奇 数 , 可 得n=-1 n, 即 , 20A0E3由 特 征 方 程 的 定 义 可 知 , 一 定 有 特 征 值 1.A性 质 4 设 是 阶 正 交 矩 阵 , 是 欧 式 空 间 中 的 列 向 量 , 则 . nnR2A证 因 为 , A,所 以 .2A性 质 5 设 是 阶 正 交 矩 阵 ， 则 对 任 意 阶 正 交 矩 阵

10、， 有 .nnBTrArB证 是 阶 正 交 矩 阵 , 由 得 ,而 由 引 理 37知 ,AE1, 其 中 为 阶 可 逆 矩 阵 , 1TrPBrp故 对 任 意 阶 矩 阵 , 有 .n性 质 6 (1)设 为 对 称 正 交 矩 阵 , 则 必 为 对 合 矩 阵 , 从 而 的 特 征 值 只 能 等 于 .AAA1(2)设 为 上 (下 )三 角 的 正 交 矩 阵 , 则 必 为 对 角 矩 阵 , 且 主 对 角 线 上 的 元 素为 .证 (1)显 然 成 立 . (2)不 妨 设 为 上 三 角 的 正 交 矩 阵 , 则 , 所 以 只 能 是 对 角 矩 阵 .A1A

11、从 而 是 对 称 矩 阵 , 由 (1)知 , 的 特 征 值 只 能 等 于 , 故 的 主 对 角 线 上 的 元 素 为 .1性 质 7 设 为 非 对 称 的 正 交 矩 阵 , 则 的 特 征 值 不 可 能 全 为 实 数 .证 反 证 若 的 特 征 值 均 为 实 数 , 则 存 在 正 交 矩 阵 , 使 得Q8,nnAQ002121 所 以 合 同 于 对 称 矩 阵 , 从 而 为 对 称 阵 , 矛 盾A故 的 特 征 值 不 可 能 全 为 实 数 .定 义 2 在 一 个 级 行 列 式 中 任 意 选 定 行 列 . 位 于 这 些 行 和 列 的 交 点 上n

12、Dkn的 个 元 素 按 照 原 来 的 次 序 组 成 一 个 级 行 列 式 , 称 为 行 列 式 的 一 个 级 子 式 . 当k MDk时 , 在 中 划 去 这 行 列 后 余 下 的 元 素 按 照 原 来 的 次 序 组 成 的 级 行 列 式nk 称 为 级 子 式 的 余 子 式 . M4定 义 3 设 的 级 子 式 在 中 所 在 的 行 , 列 指 标 分 别 是 . DkMDkkjjii,;,2121则 的 余 子 式 前 面 加 上 符 号 后 称 做 的 代 数 余 子 式 . M kkjjii 2121 M性 质 89 设 为 正 交 矩 阵 , A(1) 若

13、 , 则 的 任 意 子 式 与 其 代 数 余 子 式 相 等 .(2) 若 , 则 的 任 意 子 式 与 其 代 数 余 子 式 仅 差 一 个 符 号 .证 (1)记 为 中 阶 子 式 , kkjjiiA1A为 的 代 数 余 子 式 . kjjii1由 于 为 正 交 矩 阵 , , 故 当 有A1A kkkkkk iijjAiijjAjjii 111. kkjjjj 11(2)当 时 , 由 (1)直 接 可 得A.kkkkjjiiAjjiiA 11性 质 9 设 是 阶 实 矩 阵 , 则ijAa2n(1) 若 , 则 为 正 交 矩 阵 的 充 要 条 件 是 , 其 中 是

14、njiAaij 21,ijA在 中 的 代 数 余 子 式 .ija(2) 若 , 则 为 正 交 矩 阵 的 充 要 条 件 是 . A jiij ,证 只 证 (1) 5必 要 性 : 当 时 , 由 得 , 1A*AE1*为 正 交 矩 阵 ， 则 , 从 而A, *即 . njiaij 2,1,充 分 性 : 若 , 即 . 则ijijaAnjiji 2,1, *1A于 是 为 正 交 矩 阵 .A3. 应 用 举 例例 1 设 , 是 两 个 正 交 矩 阵 , 为 奇 数 , 证 明 .ABn0BA证 BA,又 BA,ABABn 1于 是 ,n1由 是 奇 数 知 . n0BA例

15、2 证 明 : 不 存 在 正 交 矩 阵 , 使 . 22BA证 反 证 设 有 正 交 矩 阵 A, B 使 , 则, 以 及 , 都 是 正 交 矩 阵 10, 且1A12 , . 2从 而 由 知 : EB, ABEBA.26由 此 二 式 得 , 矛 盾 , 故 得 证 . E42例 3 设 为 正 交 矩 阵 , 是 的 复 特 征 值 , 为 其 对 应 的 特 征 向 量 , AiA0yix证 明 , 的 模 长 相 等 且 互 相 正 交 . xy证 令 , , 则 , 于 是iyix, A由 得2 A, 即 , 010212i由 性 质 2 知 , 所 以 得2, 02i而 , , 所 以 , 从 而00,即 , 这 样 就 有2 yixx及 , yx 0故 , 的 模 长 相 等 且 互 相 正 交 . xy致 谢