1、石河子大学毕业论文题 目： 数学高考创新试题剖析及对策 院 （系）： 师范学院 专 业： 数学与应用数学 学 号： 2009010212 姓 名： 庞 萍 指导教师： 孙 凤 军 完成日期： 2013 年 6 月 1数学高考创新试题剖析及对策姓名：庞萍 学号：2009010212 指导老师：孙凤军（新疆石河子大学师范学院 邮编：832000）摘 要：高考数学创新试题形式多样，内容丰富，旨在考查学生的创新意识和探究能力。通过对近几年数学高考创新试题的分析、研究，选择有效的方法和手段对创新题的信息进行剖析研究，发现高考创新题可以划分成四类：定义型、类比联想型、开放型、探究型。 综合而灵活地应用所学
2、的数学知识、思想和方法， 进行独立的思考、探索和研究， 提出解决数学高考创新试题的思路。针对创新题在教学中的应用提出可行性意见。关键词：创新意识；数学创新试题；数学思想；解题对策高校要选拔具有创新潜质的人才，高考数学就必须重视对学生创新意识的考查，因此，设计创新题是选拔高素质人才的必然要求。而且数学作为一门基础学科，解题是它的一个核心环节，解题素养的高低，解题策略的优劣，将会直接反映到数学考试的成绩上，它是评判一个学生数学学习的客观标尺。在数学高考考场上，在有限的考试时间里，在有容量，有难度的考试内容上，更是对学生的解题素养，解题策略有着更高的要求。多年来，一再强调“要从学科整体意义和思想含义
3、上立意，注重通性通法，淡化特殊技巧” ，提出了不拘泥于中学教学大纲的要求，力图考出考生能力和创新意识。据此，命题所受束缚减少，自主发挥的空间增大，所命制的试题往往内涵丰富，立意新颖，表述脱俗，背景鲜活，设问独特，让人赏心悦目，回味无穷，纵观近几年全国各地高考数学试卷，出现了许多的创新题，无论是试题形式的设计，考试内容的选择，考查思维的深度，问题情境的创设等，都给人耳目一新的感觉，呈现了“重点突出，焦点集中，亮点璀璨”的特色，准确阐释了高考命题的思想和原则，对中学教学有良好的导向。认真研究创新题的特点，可以揣摩命题教师的设计意图，深刻领会“能力立意”的命题指导思想，准确把握考试大纲的要求，找到快
4、速准确解答数学创新题的对策，对搞好高中数学教学和复习备考是十分有益的。 特别是一些令人津津乐道的优秀创新题，还可研究其独特的教学功能，既可作为教学的例题、练习题、测试题，更可用作研究性教学的问题加以开发。本文通过对近几年数学高考创新试题的分析、研究，选择有效的方法和手段对2创新题的信息进行剖析研究，发现高考创新题可以划分成四类：定义型、类比联想型、开放型、探究型。然后针对每一种题型找到相应的解决方法。1、数学创新题的界定通过查找文献，我发现针对数学创新题的界定不同的人有不同的看法：我国著名的数学家、数学教育家张奠宙教授这样界定中学数学原创题。简单地说，中学数学原创题是指原创的有关数学的问题，原
5、创题的界定标准如下:原创题首先要首创，其次是创新，最后是有教育价值。一般地说，这类题都有特定的背景，它的背景可以是实际背景，也可以是数学情景。原创题的知识内容大致是中学数学教学大纲和数学课程标准中所涉及的主体内容而不是一些带有竞赛性或者是初等数学研究性的难题。原创题的类型没有限制，可以是思考题、技巧题、开放题、情景题、应用题等等。韦莉、张兵（韦莉、张兵：2009 年高考创新题的欣赏与品位1）认为创新题是指以考生已有的知识为基础，并给出一定容量的新的定义信息，通过阅读获取有关信息，捕捉解题资料，发现问题的规律，找出解决方法，并应用于新问题解答的一类题目。马老二（马老二：高中数学创新题编拟研究2）
6、认为数学创新性试题是指相对于特定使用对象而言，在试题背景，试题形式，试题内容或解答方法等具有一定的新颖性与独特性的数学试题，其基本目的在于培养或诊断特定使用对象的数学创新意识与创新能力；数学创新题是指相对于特定使用对象而言，在题目背景、题目形式、题目内容或解答方法等方面具有一定的新颖性与独特性的数学试题，其基本目的在于培养或诊断特定使用对象的数学创新意识与创新能力。数学创新题的形式、内容都比数学创新试题要丰富，数学创新试题是数学创新题的一部分。 “数学创新题”首先是数学题，因此它必须具备有科学性，在保证科学性的基础上还须具备:(1)新颖性。创新的一个显著的特点是题目本身的新颖性与新异性，可以是
7、题目组织形式的新颖，或者是解题方法的新颖等；(2)价值性。数学创新题应具备比较突出的科学价值和审美价值。具体表现在“数学创新题”具有较强的探索性、启发性、应用性、简洁性、趣味性及发散性；（3)多样性。综合借鉴了以上观点，我认为，高考数学创新试题指的是:根据高考数学命题要求，依托相关数学素材，通过施行数学推理衍生、整合、建模等命题技术，编制3出的新题。大多数高考数学试题都是原创性的，其中情境创新、知识内容创新、结构创新等是编制原创高考数学创新性试题的命题形式或方法。2、高考创新试题实例剖析创新试题主要有定义型、类比联想型、开放型、探究型等几种类型。2.1 定义信息型创新试题定义型问题是给出一个新
8、定义，新运算，新概念，要求学生利用其解决问题，这种问题不能利用以往的公式、定理，把考察的方向由死记硬背转向学生的能力应用。定义型试题背景新颖、构思巧妙，主要通过定义一个新概念或约定一种新运算，或给定一个新模型来创设新的问题情境，要求考生在阅读理解的基础上，依据题中提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，从而顺利地解决问题，能有效地区分考生的思维品质和学习潜力.定义信息型创新题在近年来高考中出现频率较高，其主要特征是其背景新颖，构思巧妙，因而备受高考命题专家的青睐。例 1 （2006福建）对于直角坐标平面内的任意两点 A(x ，y )、B(x ，y )，12定义它们之间的一种“距离”：
9、 =|x x |+|y y |。AB1212给出下列三个命题：若点 C 在线段 AB 上，则 + = ；C在ABC 中，若C=90，则 + = ；A2B2A2在ABC 中， + 。AB其中真命题的个数为A0 B1 C2 D3评析: 本题以新定义的“距离”为背景，颇具新意，突出考查考生将新颖的信息，通过“形”的角度去理解代数式的意义，这个“距离”实际就是两点横坐标之差的绝对值与这两点纵坐标之差的绝对值的和。由此将题目中的数据全部构造在一个熟悉的直角三角形中，以此为桥梁，对三个命题逐一判断，即可得到正确答案。从而考查学生学习数学的潜能和数学解题的基本素养。例 2（2004 北京）定义“等和数列”:
10、在一个数列如果每一项与它的后一项的和都为一个常数， 那么这个数列叫做等和数列， 这个常数叫做该数列的公和， 4已知数列a 是等和数列， 且 a =2， 公和为 5， 则 a 的值为_， 这个数列n 1 18的前 n 项和 S 的计算公式为_。评析: 由等和数列的定义知 a =2， a =3， a =2 ，a =3，1234奇数项为 2， 偶数项为 3， 易求得 a =3， 18当 n 为偶数时 S = ； 当 n 为奇数时， S = 。n5n251定义型创新试题解题策略：（1）对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号；（2）细细品味新定义的概念、法则，对新定义所提取的信息进行加工，探求解决
11、方法，有时可以寻找相近知识点，明确它们的共同点和不同点；（3）对新定义中提取的知识进行转换，有效的输出，其中对定义信息中的提取和化归转化是解题的关键，也是解题的难点。如果是新定义的运算、法则，直接按照运算法则计算即可；若是新定义的性质，一般就要判断性质的适用性，能否利用定义外延；也可用特殊值排除等方法。2.2 类比联想型创新试题类比是将解题方法、式子结构、运算法则、问题结论等或引伸、或推广、或迁移，由已知探索未知，由旧知探索新知，有利于培养学生的创新思维。归纳是从若干特殊现象中总结出一般规律。这两种推理可有效锻炼学生的创造性思维，培养学生的创造精神和创造能力。因其思维含量高、知识覆盖面广、综合
12、性强，这类创新题在高考中频频亮相，成为高考又一热点。例 3（2007福建）中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等，如果集合 A 中元素之间的一个关系“ ”满足以下三个条件：(1)自反性：对于任意 a A，都有 a a ；(2)对称性：对于 a ，b A，若 a b，则有 b a；(3)传递性：对于 a ，b，c A，若 a b，b c，则有 a c。则称“ ”是集合 A 的一个等价关系，例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系(自反性不成立)，请你再列出三个等价关系_ 。评析：本题是类比归纳型创新题，由已知“相等关系”、“平行关系”，得到共同的特点：自反性
13、、对称性、传递性。如方程(方程组，不等式，不等式组)同解，5三角形全等，三角形相似，角终边相同，向量平行，两整数和(差)为偶数，向量(复数)模相等，数列极限相等都是等价关系。例 4（2005北京）已知 n 次多项式 (x) = + + + 。如果nPnxa01xan1n在一次算法中， 计算 ( k=2， 3， 4，n) 的值需要 k- 1 次乘法， 计算kx0( )的值需要 9 次运算( 6 次乘法， 3 次加法 ) ， 那么计算 ( )的值共需3P0x nP0要_次运算。评析: 因为 (x )= + + + ，其中计算 需要 3 次乘3P03ax2010xa330ax法运算，计算 需要 2
14、次乘法运算， 计算 需要 1 次乘法， 再加上 3 次21x 2加法， 共 9 次运算。在计算 的时候， 类比 (x )可知， 计算 要做)(0n 3P0n0n 次运算， 计算 要做 n- 1 次乘法运算， 依次类推， 计算 需要 1 次10na 1xa乘法运算， 还要做 n 次加法， 共做 n+( n- 1) +1+n= 次运算。n(3)2+类比联想型创新试题的解题策略：一般来说，“求同存异”、“逐步细化”、“先粗后精”是求解类比联想型创新题的基本技巧。关键在于确定类比物，建立类比项，并对数学结论的运算、推理过程等进行类比分析，从解题的思想方法、思维策略等层面寻求内在的关联；求解归纳推理问题
15、的关键是从一些特殊的例子中寻找共同的规律。2.3 开放型创新试题开放型创新试题主要是指或条件不完备、或结论不明确、或答案不唯一，给学生留有较大探索空间的题目这一类问题以其复杂多变、形式新、解法活、综合性强、知识覆盖面宽，对灵活选择方法的要求较高，注重考查探索精神和创新意识等特征而逐渐成为高考一大热点。例 5（2005福建）把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：若函数f(x) = 3 + 的图象与 g(x) 的图象关于_对称，则函数 g(x) =_ x2log。(注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形)评析：把一些比较常规的陈题改编成开放题，是高考数学考查创新
16、能力的又一策略。本例条件不完备，结论也不明确，要求学生把不完整的命题补充完整，并使之成为真命题，给考生解答带来很大的创造空间。例 6 ABC 中，若 ，则ABC 是直角三角形， 现在请你研究：若22c=ab+6(n2)，则ABC 为何种三角形? 为什么?nncab=+评析: 由于本题的条件比较抽象， 若直接从条件入手， 难以得出结论， 不妨从特例入手， 然后再“执果索因”、推证猜想是否正确。令 n=3 a=1 b=1 则 ，画(1、1、1.26) 为边的三角形草图， 易观3=2.6c察知是锐角三角形。上述用特值试验的结论具有一般性， 证明如下: (n2) nncab+ ca cb c 是ABC
17、 的最大边 要证ABC 为锐角三角形， 只要证又又 cos C0 即可 22-cosabcC=要证 cos C0 只要证 ，只要证22+22(a)()nnbcab+即要证 即可2()nnabcab-而 222()()0nnc故 cos C0 ，ABC 是锐角三角形。开放型创新试题解题策略：开放型创新试题的明显特征是问题本身具有不确定性，对于条件开放的创新题往往采用分析法， 从结论和部分已知条件入手， 执果索因，导出所需的条件。这类问题所求的一般是充分条件而不是必要条件， 而结论开放的创新题， 结论是不确定或不惟一的， 要注意等价转化， 数形结合等思维方法。直觉、联想、较好的洞察力， 有助于解答
18、开放型创新题。2.4 探究型创新试题探究型创新试题往往是探究问题的解决方法，常常以实际背景出现，以考察学生的综合素质与创新精神，是学生创造力的体现。随着高中新课程标准、新教材的使用，高考对考生应变能力、创新能力和创新意识的要求逐步提高，因此能力探究型试题在各地区的高考数学试题中频频出现。这类试题要求考生能综合灵活运用所学数学知识和思想方法。例 7（2004福建）已知 在区间1，1上是增函数。32()4()xfxaR(I)求实数 a 的值组成的集合 A； 7(II)设关于 x 的方程 的两个非零实根为 ， 。试问：是否存3()2xf=+1x2在实数 m ，使得不等式 ，对任意 a A 及 t 1
19、，1恒成立？212|tm若存在，求 m 的取值范围；若不存在，请说明理由。评析：本题的第二问以方程为“外衣”，综合考查不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力。由 ，得 x = 0，或 ， ， 是方程33214xax20xa-=1x2的两个非零实根，求出 的最大值为 3 后，当且仅当20-=12|-3 对 任 意 t 1，1 恒 成 立 ， 即 对任意 t 1mt 2mt 1，1恒成立。这样的问题已是学生所熟悉的问题。探究型创新试题解答策略：解答时应注意抓住有限的题设条件， 通过联想， 创造性的运用知识， 设计出解决问题的方法， 化归与转化是解决这
20、类问题常用的数学思想。解决探究型问题还应注意三个基本问题:认真审题，确定目标；深刻理解题意；开阔思路，发散思维，运用观察、比较、类比、联想、猜想等带有非逻辑思维成分的合理推理，以便为逻辑思维定向。方向确定后，借助逻辑思维，进行严格推理论证。3、高考创新试题与常规试题型的关系3.1 高考创新试题都源于常规试题其实大多数高考创新试题都源于常规试题，都创新于常规试题，只要同学们强化内功，夯实基础，就能化平凡为神奇，从而达到轻松解题的效果。例 8（2012全国卷）设点 P 在曲线 上，点 Q 在曲线 上，则1y2xe=ln(2)yx=|PQ|的最小值为 （）A .1-ln2 B . C . 1+ln2
21、 D.2(1ln)- (1l)+评析:审完题后，学生们肯定会这样解答：设 P(a， )，Q(b，ln(2b)，则2ae|PQ|= ，至此就做不下去了。其实，每道题都有相应的题22()ln()abeb-+-眼，在本题中， 与 2、指数函数与对数函数就是两个非常重要的题眼。为什么是18与 2，而不是 与 3 呢？为什么是指数函数与对数函数，而不是指数函数与二次11函数呢？这样思考的话，肯定能猜想两者之间具有反函数关系，于是尝试着由反解得 ，故反函数为 ，从而可知本题中两个函数是反y2xe=ln(2)y=ln(2)yx=函数关系，图像关于 y=x 对称，所以|PQ|最小值肯定有直线 PQ 垂直直线
22、y=x，故|PQ|的最小值就是点 P 到直线 y=x 最小距离的两倍。此时，问题就变成了“求函数上的点 P 到直线 y=x 最小值” ，而这个问题在高考复习中是常规题，同学们1y2xe=必定做过类似的问题。3.2 常规试题的创新解法数学中的有些题目，若按常规的方法去求解则较为困难，但通过把问题转化为相应的数学模型问题来求解，便可打破各章节的知识局限，使原来狭小的思维空间豁然开朗，这样不仅使复杂的问题简单化，而且还能沟通数学知识间的联系，从而更好地培养和提高分析问题、解决问题的能力，培养学生的想象能力和创新意识。例 9 求函数 的值域。2sin3cos4xy+-=评析: 这道题的常规解法是：先将式子变为，再化为si()cs2xyxy-=- 24(3)sin()42yxyj+-+=-因为 ，所以n12136解得 。3y下面再看这道题的创新解法：先将式子变为 ，令 ， ，2sin()cos42xyxy+-=-(,3)ay(sin,co)bx ab 242(3)yy 结果是: 。1|
