1、 分类号 TP3 编 号 2015060101 毕 业 论 文题 目 线性调频 Z 变换及其应用 学 院 电子信息与电气工程学院 姓 名 包亚飞 专业班级 11 级电信一班 学 号 20111060101 指导教师 刘保童 提交日期 2015.5.22 天水师范学院 2015 届毕业生论文 原 创 性 声 明本 人 郑 重 声 明 ： 本 人 所 呈 交 的 论 文 是 在 指 导 教 师 的 指 导 下 独立 进 行 研 究 所 取 得 的 成 果 。 学 位 论 文 中 凡 是 引 用 他 人 已 经 发 表 或未 经 发 表 的 成 果 、 数 据 、 观 点 等 均 已 明 确 注 明
2、 出 处 。 除 文 中 已 经注 明 引 用 的 内 容 外 ， 不 包 含 任 何 其 他 个 人 或 集 体 已 经 发 表 或 撰 写过 的 科 研 成 果 。本 声 明 的 法 律 责 任 由 本 人 承 担 。论 文 作 者 签 名 ： 年 月 日 论 文 指 导 教 师 签 名 ：天水师范学院 2015 届毕业生论文 目录1 引言 .12 傅立叶变换的应用 .12.1 离散傅立叶变换（DFT） .22.2 快速傅里叶变换（FFT） .33 CZT 变换 .33.1 CZT 变换理论分析 .33.2 CZT 变换的实际应用 .53.3 CZT 变换的运算结果仿真 .64 结语 .7
3、参考文献 .8致谢 .9天水师范学院 2015 届毕业生论文 线性调频 Z 变换及其应用包亚飞(天水师范学院，电子信息与电气工程学院，甘肃天水 741000)摘要：在频谱分析领域，有多种运算方法，主要有离散傅立叶变换（DFT）算法、快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform ， FFT）算法、线性调频 Z 变换等。但是，由于 FFT 算法反映不出精确的信号的频谱特性，对此，在这里我们主要讨论一种建立在 DSP 上的，采用 FFT 算法的变换方法对实序列进行离散傅里叶变换（DFT）计算的方法，即线性调频 Z 变换（CZT）。对于一样的数据序列，使用 CZT 运算的效率是 FFT
4、 变换运算的 23 倍，其运算结果和FFT、DFT 的一样。线性调频 Z 变换（CZT）可以用任意长度的采样序列，并非一定要求基-2FFT 的长度，从而，可以使得系统得到最有效的采样率和频谱分辨率。关键词：线性调频 Z 变换；傅立叶变换；频谱分辨率；数据处理天水师范学院 2015 届毕业生论文 Chirp Z transform and its applicationBao Yafei(School of Electronic information and electrical engineering, Tianshui Normal University,Tianshui 741000,C
5、hina)Abstract: There are many operation methods in the field of spectral analysis, mainly has discrete Fourier Transform (DFT) algorithm and Fast Fourier Transform, Fast Fourier Transform, FFT) algorithm, chirp Z Transform, etc. But, as a result of the FFT algorithm does not reflect the precise sign
6、al spectrum characteristics, and for this issue we mainly discuss a kind of based on DSP, the transform method by using FFT algorithm compaction sequence of discrete Fourier transform (DFT) calculation method, namely the chirp Z transform (CZT). For the same data sequence, using CZT operations the e
7、fficiency of the FFT transform operations of 2 3 times, its computational results is equal to FFT and DFT. Chirp Z transform (CZT) can use the sampling sequence of arbitrary length, does not have to request the length of the base 2-FFT, thus, can make the system to get the most effective sampling ra
8、te and the spectral resolution.Key Words: Chirp Z transform;Fourier transform; Spectral resolution; The data processing0线性调频 Z 变换及其应用1 引言随着世界电子领域的高速发展，集成电路的应用也越来越广，其主要在计算机、自动控制到航空、通信等各种个人电子产品中。在这些应用中，为了确保产品的质量，从而需要对其一些参数进行测试，其中大多数参数都是混合信号，所以要对这些混合信号的数据就行采样。采样得到的信号为连续时域信号，在根据傅里叶变换把采样得到的信号转换成频域表示。可以根据
9、变换的结果得到原信号的相位谱和幅度谱。傅里叶变换频谱分析，已经成为一个不可缺少的数据分析工具，主要有快速傅里叶变换和离散傅里叶变换。这两种变换得到的结果是一样的，不同的是它们的变换速度。对于某一序列 ，用离散傅立叶变换 运算，则需要大量的时间处)(nx)(DFT理数据，如果采用快速傅里叶变换（FFT）就可以避免处理时间过长的问题，但是，由于 FFT 对有限序列的长度有限制。对此，为了解决上面在时间和序列长度方面的问题和限制，有人就提出了一种新的运算法则，即线性调频 Z 变换（CZT ）出现了，。FFT 的频谱是等间隔抽样的离散序列。若采样频率为 ,抽sf样点数为 ,则频域抽样间隔 ,如果在两谱
10、线间频谱有很大变化时，则NNfFs/0无法将其检测出来。当 保持不变时，为了减小频率抽样间隔，提高频率分辨sf率，只能增加抽样点数，这将使得运算量大为增加 1。基于上面讨论的问题，在本文中，我主要学习了线性调频 Z 变换，并作出一定的理论和仿真。2 傅立叶变换的应用离散傅立叶变换 是连续傅立叶变换在离散系统中的表示形式，因为)(DFT离散傅立叶变换 的计算量大，所以其应用受到了很大的限制。在这些问题的存在下，在 1956 年由库利（Cooley）和图基（Tukey）年发现了快速傅立天水师范学院 2015 届毕业生论文 1叶变换（FFT）算法。FFT 证明是非常适合于高效的数字实现，并且它将计算
11、变换所需的时间减少了几个数量级 2。尽管快速傅里叶变换（FFT）能减少数据处理时间，但是速傅里叶变换（FFT）的结果只会取得取样点的频谱值，却取不到取样点之间的频谱信息。当实际频谱的峰值落在频谱取样点之间时，从 FFT计算结果中得不到该峰值的真实频率、幅值和相位。如果把 FFT 谱的峰值作为真实频谱的峰值，必然带来频率、幅值和相位误差。2.1 离散傅立叶变换（DFT）一般在傅立叶变换中，由频域表示的各个分量，主要由复指数函数和正弦和余弦函数交叉来表示频域中的各个分量。假定任何一个数据波形都可以用正余弦交叉来表示，根据 DFT 的定义可以得到得:)1,.0()2sin)(co10 NkjNknX
12、Nk )1(在目前的一些测试系统中，通过离散傅立叶变换（DFT）可以从上面的这些正余弦分量中直接计算出有限序列的频率。而这样一种可以在每一个点计算的方法，就好比是一个对振幅和相位都可调的滤波器。如果在某一个频带内，对有限序列进行测试，则这个可调滤波器，就可以运算出在每一频率 时正余kX弦的输出。假定将所有的余弦输出相加定义为实部，所有的正弦输出相加定义为虚部，则实部和虚部就可用下面的两个式子来表示： )1,0()2)(cosRe10 NknXNnk )2(),()(iIm10 nk )3(这时，在频率 的采样处，其功率频谱可定义为：kX22ImRekkkXpowr)4(在频率 的采样处，其相位
13、频谱定义为：k)eI(tan1kkXphse )5(但对每一个 ，要得到 DFT 结果都需要进行 次复数乘运算和 次复k N1N数加运算，所以对于 个 分量的总的 运算数据的结果共需要 次的复NDFT2天水师范学院 2015 届毕业生论文 2数乘运算和 次的复数加运算。可见这样的运算量是很大的，尽管我们)1(N才用数列 的各种对称性，这样可以加快 的运算效率，但是这样会花费nx DFT更大的代价，在现实生产中这种方法往往是不能采用的。2.2 快速傅里叶变换（FFT）快速傅立叶变换(FFT)，一般采用基-FFT 分蝶形运算。对 N 个分量，需要完成 个蝶形运算，因此需要做 复数乘法和 次2/N)
14、(log2/N)/(log2复数加法。利用 算法和利用 算法直接计算的结果相比，它们所需的复FTDFT数乘法的次数之比为：NM22log1log )6(而它们所需的复数加法的次数之比分别为： NA22ll )7(从上面两个式子可以得出，采用 运算要比采用 的运算减少很大的FTDFT运算量。但是，我们知道 对有限长数列的长度有严格的要求，这也是它最大的局限性所在。它的采样数据的个数必须为 2n 个，即 。同时)n21864(， 我们又知道采样序列的长度与 谱谱分辨率成反比，即 FFT 频谱分辨率=采T样频率/采样数。从这个式子出发，在信号的检测中，我们必须要将信号的采样频率做出一定的调整，才可以
15、使采样数据满足上面的条件，但是这样的采样频率却会影响混合信号电路的检测。3 CZT 变换Chirp-z 变换是一种可以有效计算数据序列的功率谱和相位谱的方法，它采用螺线抽样，可适用于更一般情况下有 到 快速算法，这种用卷)(nx)kZX积来计算 DFT 变换的方法称为线性调频 Z 变换，简称 CZT3。在对一数据进行相同的采样的情况下，运用 变换的运算结果和 变换的CTFT、D运算结果是一致的，但是 对信号序列的长度要求有很大的限制，而F变换对信号序列长度可以使任意的。CZT3.1 CZT 变换理论分析天水师范学院 2015 届毕业生论文 3在这里我们将一长度为 的有限序列 ，使用 表示它的
16、变换，)1(N)(nx)(zXZ利用 运算法则，然后计算给定点 上的 ，令：CZTkZk， 其中 ，经过一定的推论可得：),.10(MkAWk 0jeW)1,.() 2)1022 NkAnxXnNKk )8(研究某一组采样数列 ，主要按照下面的步骤进行分析：)（1）选择一个最小的数 ，使其满足 且 ，以便用基-2FFTLML2)1(算法来求得 与 的卷积 4。)(ngh（2）令 补上零值点变为 L 点序列，并利用 FFT 法求 序2nWAx )(ng列的 点 DFT：L)10()(210rengrGmjNL )9(（3）对相关序列 进行补零加长后，其周期延拓成 点的序列，即：hL2)(20)(
17、nLn10LnNM)10(（4）利用 FFT 方法求 序列的 DFT：)(h10102LrenrHLLj )1(（5）将列长为 的二序列 和 逐点相乘得到的是列长任为 的频域离)(GL散序列 。)(rrQ（6）将 做 点离散傅立叶反变换，这样就得到L, 由于只有 M 点相关，故在这里只对前 点序)()()( khgkhgkq M列进行采样。天水师范学院 2015 届毕业生论文 4（7）最后求 ：)(kZX)1,0)()(2NkqWk )12(从上面的公式我们可以得出，对于一组任意长度的采样数据序列， 变CZT换运算法则可以通过补零点的方法将数据序列转换成长为 的序列后直接进行L运算处理，这样便
18、解决了 变换对数据序列长度的限制，且 变换也可以FT表示为离散卷积，其根据是利用快速傅立叶变换和快速傅立叶逆变换实现的，从而能保证对数据序列的运算速度。CZT 运算相对于 FFT 变换需要进行更多次的变换，运算次数和 成正比例，变换时间是 FFT 变换时间的 23 倍。N2log对一输入信号波形 进行采样，设采样周期为 ，采样频率为 ，频)(fi nfs率分辨率为 ，样本大小为 ，则可得到下面的两个公式：fresmfsre/)13(ni 4对上面的两个公式（13）、（14）合并后可得：fism/* )15(对于在一定频率下的采样数据，其输入信号的最高频率必须满足是其采样频率的一半，这称为奈奎斯
19、特速率。对于那些高于奈奎斯特速率的数据频率都是采样不到的数据频率，或者称为失真的数据频率，如果不进行特定的调整，这些采样不到的信号将会使得 变换在低频下的测试结果误差偏大，从而失DFT去了采样的意义。为了更好地运用 变换运算，我们必须要使采样数据的频率宽度小于奈奎斯特速率。如果要测量频率高的数据，就必须要采用更高的采样频率。根据公式（14）式可以得出：是由数据的数量多少决定了数据频率的分辨率，即为取如果分辨率越大，则其取样就越多。而由式（15）知：采样周期为 ，采样n频率为 ，频率分辨率为 ，样本大小为 等都处在一个动态平衡中，如果fsfresm想要得到准确的采样数据，就必须要设置合理的参数。
