1、三阶非自治电路中负阻对混沌性质影响的研究北京大学电子学系 98 级 鄢毅阳摘要本文利用 PSPICE 电路仿真软件来模拟混沌系统，从一个已有的三阶非自治电路出发，分析了电路中负阻的具体实现方法，通过对改变负阻参数后所得到的电路的模拟，研究了负阻在该电路中的作用，并对该电路进行了简化，得到了一个新的更为简单的混沌电路。本文的研究表明，用 PSPICE 电路仿真软件模拟混沌系统，是分析混沌特性的一种有效方法。一 引言利用 PSPICE 电路仿真软件来模拟混沌系统，不但可以分析混沌系统的特性，也为混沌系统的设计提供了一种新的思路。利用负阻来实现混沌系统的例子已经很常见，但目前还较少见到有文章对其在电
2、路中的作用作详细的分析。本文主要从一个已有的电路出发，利用 PSPICE 软件，来对一类三阶非自治电路中负阻对混沌特性的影响做一个定性的研究。二 负阻的实现为建立混沌电路中非线性元件的模型，一般要用到运算放大器等一些有源器件来实现。最常见的负阻实现方式如图 1 所示，图 2 为其特性曲线。负阻的特性主要由其负阻区的阻值，正阻区的阻值，以及突变点的位置决定。本文通过一系列模拟，找到了各元件参数与负阻之间的关系，这样，对于任意指定的负阻，都可以通过选择适当的元件参数得到。模拟结果如下：(一) 负阻区阻值大小基本与 R3 相等，特别是当 R3 较大时，而其他特性与无关。(二) 正阻与负阻突变点的位置
3、随电源电压的增加而远离原点，两者成线性关系。其他特性与无关。(三) 正阻区的阻值大小基本与 R1 或 R2 相等，同时突变点位置随 R1 或 R2 增大而靠近原点。其他特性与或无关。由上可见，只要选定适当的元件参数，即可实现一个在各区间分别为线性关系的负阻。虽然根据运算放大器的电路模型分析仍可得到该电路的性质，但用 PSPICE 模拟的方法具有简洁直观的特点，其结果又可以作为理论分析的验证。三 关于负阻在三阶非自治电路中影响的实验性研究U1uA7413274615+-V+V-OUTOS1OS2R21kR31kR11k图 1 负阻电路图 2 负阻特性曲线IUABm0m1E-E如图 3 所示，这是
4、一个典型的三阶非自治电路，每个运算放大器分别构成一个负阻，电路中共含有三个负阻，分别设为 R1, R2, R3。在 PSPICE 模拟中，其简化的电路图如图 4 所示。对于该电路，可以写出其状态方程： XZRCtEvYRCGYZL 0220223 1131 )()()其中，X=V C1,Y=VC2 ,Ev(t)为正弦电源电压，非线性电阻 R3 为：VmVG)()(1013由文献，对于该电路，选择适当的元件参数，如 C1=0.035uF, C2=0.012uF, R1= 9.252 K,R 2=649.4, L=0.001H, R 0=3.80 K, m0=3.8910-3A/V, m1=0.8
5、8210 -4 A/V, =18472.56rad/s，可观察到混沌现象。根据电路，可以写出其状态方程，然后根据方程来判断电路的性质。常用的方法如用龙格库塔算法进行数值积分，观察震荡状态，或用 FFT 方法作谱分析，以及对方程所确定的相空间吸引子计算李雅普诺夫指数等等。用这些方法，不仅可以定性，而且可以定量的研究电路的性质，准确的判断在某一状态下系统的响应，但是这种方法需要用到较多的数学工具，分析态方程也是一个比较繁的过程。因此，利用 PSPICE 电路仿真软件，通过改变电路的参数来研究各元件对系统性质的影响也不失为一种比较理想的办法，特别是在只需定性了解系统性质的时候，更能显出其方便快捷的优
6、势。由文献,混沌系统的主要特征有：1. 系统行为表现为类似噪声的非周期性震荡，震荡信号的频谱为宽带连续谱，某些频率上出现尖峰。2. 相空间中系统相邻近的轨线之间呈现出彼此排斥的趋势，并以指数率相分离。3. 在轨线存在的相空间有界部分内，轨线表现出遍历性和混合性。因此，以上特征和奇异吸引子是用 PSPICE 定性判断是否为混沌系统的主要依据。改变元件的各个参数，系统的混沌特性会发生明显变化。下面仅讨论该电路中三个负阻的变化对混沌性质的影响。(一) 其他元件参数不变，Em=1.3V ，改变 R1 的阻值。R1 从 -9.6 K 增加到-25 K，系统的响应只是低频成分略有减少。图 3 一个三阶非自
7、治电路V2L1R70R12R0R6D112U1uA7413274615+-V+V-OUTOS1OS2D212V1R8 R9R4R5R1R3C1 U2uA7413274615+-V+V-OUTOS1OS2R13R10U3uA7413274615+-V+V-OUTOS1OS2C2R11R2EmCoswt图 4 在 PSPICE 中的电路图 R1 从-9.6 K 减少，响应的低频成分迅速增加，当 R1 减少到-1.3K 左右时，响应成为多周期震荡。(二) 其他元件参数不变，Em=1.3V ，改变 R2 的阻值随着 R2 从-649.4 增加，响应的混沌状态消失，R2=-850 时为频率以 21 KH
8、z 为主的多周期震荡，当 R2 为-1 K 是，只有频率为 2.9KHz的单周期震荡。当 R2 从-649.4 减小时，响应的低频成分迅速增加。当R2 减小到-360 时，PSPICE 的计算已不收敛。(三) 其他元件参数不变，Em=1.3V ，改变 R3 的负阻区阻值R3 的负阻区阻值从-11.3 K 逐渐减小，响应的低频成分增加，幅值增大，当减小到-11 时，PSPICE 模拟已不收敛。增加 R3 的负阻区阻值，到约 18K 时，成为多周期震荡。(四) 其他元件参数不变，Em=1.3V ，改变 R3 的正阻区阻值R3 的正阻区阻值从 256 减小，响应从以 22KHz 震荡为主，各频率分量
9、增多，在 3KHz 的 1、3、5倍频率处出现尖峰。阻值从 256 增大，响应变成 22KHz 的单频震荡。(五) 其他参数不变，Em=1.3V ，改变 R3 的正阻与负阻区突变点位置R3 的正阻区与负阻区的突变点位置从 1.7V 逐渐减小，响应的低频成分增多，并主要向 3KHz 的 1、3、5倍频率处集中，减小到约 0.3V时，成为多周期震荡。从 1.7V 逐渐增加，响应的混沌现象迅速消失，到2V 时成为以 21KHz 为频率的单周期震荡。由上可见，通过对改变元件参数的模拟，对各参数对于系统混沌性质的影响可以有一定性的了解。通过模拟，可粗略判断出在某一给定条件下系统何时进入与退出混沌，以及改
10、变参数时混沌的变化趋势。四 对该电路的简化和改进在如图 3 所示的三阶非自治电路中，共有 3 个有源器件，用于形成 3 个负阻，电路的形式较为复杂。可以证明，二阶非自治电路和三阶自治电路是实现混沌的最低条件。对于该三阶非自治电路，显然满足该条件，只要保证电路中有负阻存在，在取消一个负阻，甚至在一个负阻变成正阻时，应该仍有可能产生混沌现象。对此，本文通过了一系列模拟加以验证。(一） 去掉 R1 以及将 R1 变为正阻的模拟如取 R2=-500,去掉R1,Em=2.2V，C 1=0.035uF, C2=0.012uF, R1= 9.252 K,R 2=649.4, L=0.001H, R0=3.8
11、0 K, 图 5 去掉 R1 时VC2 的波形 ) V 图 7 去掉 R1 时 VC2V C1 时相图 V 图 6 去掉 R1 时 VC2 的频谱 z z z m0=3.8910-3A/V, m1=0.88210 -4 A/V, =18472.56rad/s 图 5 为 VC2 的混沌电压波形，图 6 为 VC2 的混沌频谱，图 7 为 VC2V C1混沌相图。可见，将该电路改造成为只有两个负阻时，也可以实现混沌。用这种方法，我找到了一个更为简单的混沌电路，新的混沌电路如图 8 所示。将 R1 从 9K 逐渐减小，如取R1 分别为 6K,3K,2K,1.5K 时，可观察到系统的 s 低频成分逐
12、渐减少，在时域上的表现就是波形上下跳动的时间间隔变大。当 R1 进一步减小到1.4K 时，混沌状态消失，出现只有19KHz 和 3KHz，以 19KHz 为主的的多周期震荡。继续减小 R1 到 1K 时，只有频率为 2.9KHz 的单周期震荡。(二） 去掉 R2 以及将 R2 变为正阻的模拟在其他参数不变的条件下，改变 R2 的阻值，未观察到混沌现象。(三） 去掉 R1 以及 R2 的模拟在只取 R3 一个非线性电阻时，其他参数不变时，改变 R3，经过多次模拟，得到的结果都是多周期震荡，频率分别为 3KHz 的 1、3 、5、倍。如图 11 所示。可见，当对于实现混沌来说，三个负阻并不是必要的
13、，在 R1 为正电阻时，也可以实现混沌现象。而去掉R2 时未观察到混沌现象，也远不能说明这种情况不能实现混沌。五 结语PSPICE 电路仿真软件，是研究混沌系统性质的一种行之有效的方法。本文中以一个三阶非线性自治电路为例，分析了负阻的实现方法及其在一定条件下对系统混沌特性的影响。文中最后提出了对该电路有效简化方案，找到了一个更为简单的混沌电路，也说明了用 PSPICE 分析混沌系统上的重要作用。 致谢在这里，我首先应该感谢泰兆奖助金，它为我提供了这样一个可以实现我的理想的良好机会。在这个项目中，不仅能够得到有经验的导师的直接指导，而且它创造了相应的条件，使我有机会得以对当今某些较前沿的问题有了
14、一个图 9 R .时 VC2 的波形 ) 图 10 R.时 VC2 的频谱 z z z z ) V 图 11 去掉 R1 及 R2 时 VC2 的频谱 yz 图 8 简化的电路初步的了解。我还要感谢我的老师余道衡教授，他在百忙之中，抽出时间关心我的研究情况，给予我很多指导和帮助，不仅是如何做学问，还有如何做人，他的言传身教使我受益非浅。此外，我还要感谢学校和电子学系的各位老师的辛勤工作，在他们的帮助下，我的工作才能顺利完成。参考文献 徐云，电学中的混沌，东北师范大学出版社，1999 李建芬，李农，利用 PSPICE 模拟混沌系统，电路与系统学报，Vol.2，No.1，1997，68-71 夏承
15、铨，三阶非自治电路中的混沌诊断，电路与系统学报，Vol.2，No.2，1996，25-31 陈予恕，唐云，非线性动力学中的现代分析方法，科学出版社，1992 王照林，运动稳定性极其应用，高等教育出版社，1992 G.Gielen W.Sansen，Symbolic Analysis for Automated Design of Analog Integrated Circuits，Kluwer Academic Publishers，1991作者简介鄢毅阳，北京大学电子学系信息与电子科学专业 98 级本科生，同时也是北京大学中国经济研究中心经济学双学位和北京大学理科试验班学生，在校期间多次获
16、得学校和系内的奖励。在过去的几年里，我充分感受到了北大这一中国最著名的高等学府中的浓厚的学术气氛，在这种氛围的影响之下，我决定参与其中。从二年级开始，我逐渐开始在电子学系的试验中心和卫星与无线通信实验室承担了一定的工作。在 2001 年的全国大学生电子设计竞赛中，我与其它同学合作，取得了优异的成绩。感悟与寄语我对于在导师的指导下，进行具有一定创新性的探索和研究，有着浓厚的兴趣。这次泰兆奖助金，正是为我提供了这样一个舞台，使我能够在其间，按照自己的意愿和兴趣，发挥自己的潜能。良好的学术氛围，导师的言传身教，置身其中，虽偶感寂寞，其乐倒也融融；尤其在有新的发现之时，那种愉快的心情，那种成功的喜悦，都是平常很难体会到的。参加这次泰兆基金的时间虽然不长，所作的工作也不算多，但它对我的影响，我相信将会伴随我的一生。希望北大能够为学生提供更多的机会，使我们有条件在科学殿堂中更进一步。指导教师简介余道衡，北京大学电子学系和现代通信研究所教授、博士生导师。是中国电子学会会士、电路的系统分会委员、图论与系统优化专业委员会付主任、非线性电路与系统专业委员会付主任、中国神经网络委员会委员、中国航空学会信号与信息处理分会委员。还是 IEEE 高级会员和世界科技研究与发展杂志编委。
