1、线性变换在多变量函数积分学中的应用在多变量函数积分学中,合理进行变量代换,能起到化繁为简的作用,常用的变量代换,有球坐标,极坐标代换,或类似此类的代换。而事实上，线性代数为我们看问题提供了一个非常好的视角。线性变换用于多重积分，曲面，曲线积分中，往往更为灵活，并不是如球坐标等代换较易看出。下作讨论。在 O-XYZ 坐标系中，将一组基（X，Y ，Z）乘一个矩阵 M33，转化为另一组基（U，V，W） ，这时 Jacob 行列式为 =detM = ，特别地,当 M 为正交),(wvuzyx1det矩阵，即进行正交变换，Jacob 行列式为 1，在进行线性变换时，要合理选择 M。1 合理选择 M，化复
2、杂区域为简单区域。如计算由平行六面体 , 11hzcybxa22hzcybxa围成的体积, 线性变换后,此空间不规则区域可化为标准长方体,33hzcybxa只需另 ， , ,u11 vzcyx22 wzcyx33易确定-h1uh1, -h2vh2, -h3wh3, = 。),(u332211cba于是 V= dxdydz= dw=。 。v123hhdvu332211cba3322118cbah这样看问题，避免了为确定积分限而进行的复杂计算，而且 x,y,z 地位等价，化为累次积分，往往计算量很大。2 合理选择 M，将复杂的空间曲线转化为某个平面上的规则曲线。在曲线积分中，若易找出 r(t),则
3、计算简便，但若曲线由很一般的曲面交线给出，如果曲线在“倾斜”的平面上，线性变换可化到 O-XYZ 平面上，便于研究。如计算 ， :球面 与 交线。dlxl2 22azyx0zyx分析此问题，由于 x,y,z 对称，可考虑本文不再讨论，事实上，观察知， 是lll dz,31)(312222 l平面上的圆，半径为 圆心在原点，考虑变换到 O 坐标系0zyxaUVW中，使此圆落在 平面内，圆方程为 。ouv0,12wvu在 O-XYZ 系中，三个基向量 ，在 O 系中，三个基向量为 ，kji,UVW321,e令 ，则 圆所在平面。再找 ，利用正交性，可令33kjie3e21,e于是 被完全确定为 。
4、至此,622ji132ji于是， =,6,03yxuzyxvzyxw dlxl2，再令 易得结dlvdlul 22)()62( ,sin,coavu果。3 最后，举一例作为正交变换应用的说明求 其中,22dxyeczbyax 0,2acb分析：这与 似乎有关系，如何转化？2因为 定正。cbyxcbyxcbxya ,)(22 故 正交，使 即 正交，使得 且P, PyA,021Aa，1det,2212 yxcbxa原式= 。21 2212)()(221 bacyey 从以上的讨论看出：必须注意观察已知条件，才能合理进行线性变换，当积分区域，被积表达式具有某种线性的特征时（也即可表为变量的线性组合）往往可以考虑线性变换，而定正矩阵的应用可视为一种技巧。学科交叉可以给我们更多的思考。
