浅谈正规子群与理想毕业论文.doc

1、1浅谈正规子群与理想一、正规子群是群论的核心部分，对刻画群的性质有十分重要的作用.下面给出正规子群的定义： 定义：一个群 的一个子群 叫做一个正规子群，假如对 的每一个元 来说，GNGa都有 .Na例 1、交换群 的任意子群 都是 的正规子群。因为对任意 ,有HG.|Hhaha由于正规子群仅要求 的两个形如 与 的子集相等，这与 中任何两个元aG素 , 可交换，即 ，是有区别的，关于这一点，要引起我们的注意.abb理想的定义：设 是环 的一个非空子集，如果IR(1)对任意 ,有aI(2)对任意 ,任意 ,有IrarR则称 是环 的一个理想.I由于（1） ，一个理想是一个加群。由于（2） ， 对

2、于乘法来说是闭的，所以一I个理想一定是一个子环，但（2）不仅要求 的两个元的乘积必须在 里，而且进一I步要求， 的一个任意元同 的一个任意元的乘积都必须在 里.IR例 1、 在整数环 中 ， , ,则 ,Z12|InZ2|IanZ()aZ1I是 的理想.2I二、下面我们给出正规子群与理想性质的比较（一）性质 1：设 是 的子群，则以下几个命题是互相等价的：HG(1)对任意 ,有 aa(2)对任意 ,任意的 ,有h1H(3)对任意 ,有 1(4)对任意 有 .aGH证明：(1) (2)：对任意 ,任意的 ,有ah11ahHhh(2) (3): ，推出a1H2(3) (4) 由对任意的 ，有 ，因

3、而也有，即 .故对aG1haH1aH任意的 ，有 ,所以 ，得 ，故hH1h1h1a(4) (1) 所以 .11()aaa例：设 ，则 对于矩阵的乘运算做成一个群，且|,00rsGQrG110rs令 ,容易验证 是 的一个子群。因为对任意的|1tHQHG,0rstG有 得 是 的正111 1000rstrsrtsrtrsHG规子群（这样验证正规子群要比利用其他条件方便些）.说明：当我们要检验一个子群是否是正规子群时，可用 4 条件之中的任何一个。通常用条件比（2）较方便。因为它比其他三个条件更具操作性。但对于理想的判定，通常用定义比较方便.2、 （1） 的正规子群 的正规子群 未必是 的正规子

4、群GHKG例：设 ，则 对于矩阵的乘法运算做成一个群，且|,001rsQr，令 由上面的例子可知 是 的正规子群.令 ，10rs1|tHG1|0nKZ容易验证 是 的一个子群.KH由于对任意 ,有:1,0stH10sttts3所以 是一个交换群，从而得 的任意子群必是正规子群。所以 也是 的正HHKH规子群。但是， 不是的 正规子群，例如，我们取 , , KG10k.510G则 .10.510.50.5k(2)环 的理想的理想未必是环 R 的理想R解，矩阵环 , 是环 的理|,abcdZc121,3434|kIkZR想. 是 的一个理想, 但 不是 的理想.121,3434|MaIM我们取矩阵

5、 ，取 ，0R1203、两个正规子群的交集还是正规子群证明：设 是群 的两个正规子群，且 , 设12,NG12,12N。由题意可知存在 ，则 , ，对于任意 ，又因为12nnaG是群 的正规子群。所以 , , .所以, 1a12a12N是群 的正规子群.12推论：群 的若干个正规子群的交仍是正规子群.G环 的两个理想的交仍是环 的理想.RR证明：设 是环 的两个理想。再设12,I 12I（1） 对于 ,则 , .又因为 是环 的两个理想,所以ab1I2ab,IR, 则， .1I2I（2） ,则 , ,对于任意 ,有 , .所以Ir12arI12,I, .即 . 所以根据理想的定义， 是环 的理

6、1arI12raIar R想.推论：环 的若干个理想的交仍是环 的理想.RR4、群 的一个正规子群与一个子群的乘积是一个子群，两个正规子群的乘积G4仍是一个正规子群.证明：（1）设 是 的正规子群， 是 的子群，任取NGHG,由于 ,故 ，从而 .同理(,)nhHhhnhNNH可证 ，因此 ,所以 是群 的子群.（2)设 是群 的正规子群， 是群 的正规子群，由上式知 是群 的KKG子群，对于任意 ,有 故aG()()()()Naaa是群 的正规子群.NK若 是环 的两个理想，那么 也是环 的一个12,IR121212|,IxIxR理想.证明：对于任意 , 任意 ,那么12,xyIr，有 12

7、122,()xyyI 1212()()xyxyI; 12()rrI12(xrrrI所以 是环 的一个理想.12IR若 是环 的两个理想，那么 也是环 的理想., 1I2R5、设 是群 的正规子群， 也是群 的正规子群，则 未必是群1NGNG12N的一个正规子群.G设 是环 的一个理想， 也是环 的一个理想，则 未必是环 的一个1IR2IR1I2R理想.解：在整数环 中， , 都是 的理想，Z1|InZ23|InZ但 ，对于 ，则 。所以 不是 的理想.12I,326、 包含群 的所有以下性质的元 ， ,不管 是 的哪一个元。那么NGaG是 的一个正规子群.因为 ，所以 是非空的，又e12122

8、12,nnan111nanaa这就是说， , 是 的一个子群。22,;NNNG但 的每一个元 都可以同 的每一个元 交换。我们显然有 。即 是Gna的正规子群.这个正规子群叫做 的中心.G5设 是一个环， 的中心 是 的一个子环，R|,CcRxcxR对 任 意 的但 不一定是 的理想.C例如：当 为交换环时，则有 是 的一个理想。但在下面的例子中，就不是 的一个理想.例： ， 则 是 的一个子环.但2RP数 域 上 所 有 阶 矩 阵 A=|P0abAR不是 的一个理想，因为，取 有A11,R110A7、特例：指数为 2 的子群必是正规子群.证明：设 是群，H 是群 的子群，且 。取 , ,G

9、G:H=2 a/H=.由陪集的性质得 ,所以 是群 的正规子群.=aa/一个除环只有两个理想，即单位理想和零理想.证明：假定 是环 的一个理想而 不是零理想，那么 且 不等于零。由IRIaI理想的定义， .因而 的任意元 这就是说1a1bIR对于域来说，也只有两个理想，即单位理想和零理想.三、正规子群之所以重要，其根本原因在于这种子群的全体陪集对于子集的乘法来说又可以作成一个新的群。设 是群 的一个正规子群， 表示 的所有HG/GH左陪集作成的集合，即 ，则 关于运算：对任意的G/=a|/, 作成一个群.,/aHb()()b证明：事实上，这里所有定义的运算与两个子集的乘积是一致的。因为，根据子

10、集的乘积运算满足集合律，有由于 是 的子群，则有 .所以,()()()ababHHGH. 首先我们来证明运算的定义是合理的H如果 , ,即， , , 那么，存在ab，使得 ， 从而有 ,12,h1ah2b1212()()hah6由于 是 的正规子群，则 , 所以，存在 , 使得 , HG1hbH3hH13hb得 ， , 由此我们得到1232()()aba32()()abab, 即其运算结果与代表元的选取无关。()其次，再来证明 作成一个群。由于集合的乘积满足结合律，故 关于/ /G上述代数运算满足集合律. 又对任意的 ，有 /aHG()()()(eaHeaeHae故 是 的单位元；且e/11(

11、)()aae即 的逆元为 从而证明了 关于陪集的乘法运算作成一个H1()H /GH群.由群 G 的正规子群 H 的所有陪集作成的商的集合 作成的群，叫做 关于/G正规子群 的商群，其代数运算为：对于任意的()()aHb,/abGH我们举一例来加以直观描述例：设 ， , 则 含有两个元素，3S(1),23()A3/SA.3/,(12)SA有下面的表述我们可以看出理想在环论里所占的地位同正规子群在群论里所占的地位类似设 是环 的一个理想，我们可知 是 的正规子群.由以上可知， 对IR(,)I,)RR于 的商集 关于陪集的加法构成一个群/|a其中 |xI进一步，在 中，利用 的乘法运算规定 ： ,对

12、于任意的/Rab.,/abI下面来证明上述规定的乘法是 的代数运算，即需要证明运算结果与代表元/RI的选取无关.设 , ，故有 , ，从而得 1a1b1ax1(,)byxI7，其中 ，即有1()abxyabxyabZayxbI. 1于是上述规定的乘法运算是合理的 .又，对于任意的 ,/abcRI故 是半群.()()()()abcabcac(,)R由于 ()()()bc abc同理有 aa综上所述， 作成一个环(/,)RI设 是环 的一个理想，商集 关于运算 , ,对I /RIbaba于任意的 所作成的环，叫做 关于理想 的商环,/abII我们举一例来加以直观描述。例：关于整数环 的主理想(4)

13、，由于 ，而 ，Z(4)|kZ/(4)|aZ其中 .(4)|4|axakZ即 是由一切被 4 除余 的整数组成的集合，所以 只能是 ， ，a ， 其中之一，故 一般地,有/()0,12,3./()0,1Zm 四、在正规子群，商群与同态映射之间存在几个极端重要的关系。知道了这几个关系，我们才能看出正规子群和商群的重要意义。定理 1：一个群 同它的每一个商群 同态.G/GN证明：我们规定一个法则这显然是 到 的一个满射,对于 的任意两个元 和 来说，()aN/ ab所以它是一个同态映射.()bab定理 2：假定 和 是两个群，并且 与同 态，那么这个同态满射的核 是GGN的一个正规子群， 并且 .

14、G/N证明：我们用 来表示给的同态满射。假定 和 是 的任何两个元，那么在abN8之下， , aeb因此， = 这就是说 . 是 的一个子群11e1,abNNG假定 , ，而且在 之下， 那么在 之下,nNG, 推出 这就是说， , 有a1ne1na1是 的一个正规子群现在我们规定一个法则 : = ( ) aNa)G我们说，这是一个 与 的同构映射，因为：/G（1） = =aNb11beb这就是说，在 之下 的一个元素只有一个唯一的象/（2） 给了 的一个任意元 ，在 里至少有一个元 满足条件 ( )= ，aaa由 的定义，： 给的 , 这就是说， 是 到 的满射aN/GN（3) 11babe

15、ab（4)在 之下， = 这样 /G例：如果 , 分别为 阶的循环群，证明：当且仅当 时，G,mnnm:证明：设 是群 到 的同态满射，由上述定理知 / 由于 的阶f kerf为 ，故 的阶也为 ，即 中含有子群 ，使 : = ，而n/kerGkerf=| |= : *| |= *| | 得 ，反之，如果 ，由于mfkerfnrf/n/n与 都是循环群，我们可设 , 令 ， ，G ()a()b:fGkab则 是 到 的映射，因为：f/()/()klkl klklaemklnle 也就是说，对于 中的每一个元素，不论其表示法如何，在 之下的象总是唯Gf一的，故 是 到 的映射，显然 为满射，且

16、保持运算，从而得fffG:理想在环论里所占的地位同正规子群在群论里所占的地位类似，以下两个定理9与群论里的两个相当定理完全平行.定理 1：假定 是一个环， 是它的一个理想， 是所有模 的剩余类作成的RIRI集合，那么 本身也是一个环，并且 与 同态.R证明：映射 a显然是 到 的一个同态满射，所以 与 同态，而 是一个环定理 2：假定 同 是两个环，并且 与 同态，那么这个同态满射的核 是R I的一个理想，并且R/I证明：我们先证明 是 的一个理想，假定 那么由 的定义，在给,aIbI的同态满射 之下， , , 这样a0b- = .ab0kerI假定 是 的任意元，而且在 之下， , 那么 ,

17、 =rRrra0ar00, .raIrI现在我们证明 ，我们规定一个法则 : = ( )/aa我们说，这是一个 与 间的同构映射，因为:RI= - = = . 是一个 到 的映射，但abab0b/RI显然也是一个满射，并且 0Iaab是一个 与 间的一一映射。由于 = /RI 是同构映射.abab以上两个定理充分地说明了理想与正规子群的平行地位.例：设 是实数域 R 上的多项式环，I=( +1) 那么 /I .x 2xRxC证明:令 : , , 对于任意的 不难证明 是C()fxfi()f到 的一个满同态，即 。因此，只需证明 =I=( +1), 事实上，Rx:ker2对任意的 ，则， = =

18、0, 得 是 的一个根，既有()fker()ffii()fx| . 由于实系数多项式复根成对出现，从而- 也是 的一个根，即有()i(x+ )| 。从而, 得(fx10+1= | 即 = ( +1) ( +1) 故 I=( +1)，2x()ix()f()fxq22xker2x反之，对任意的 ( +1)=I 则 = ( +1) 从而 ( )= f2 ) )f( ( +1)= ( +1)=0)q2)qi即 , 得 =( +1) ,所以 =( +1)= 由环同fxkerI2xkerI2xker态基本定理得/()/RIrC五、在一个同态满射之下，一个群的若干个性质是不变的，现在让我们看一看，同态满射对

19、于正规子群会发生那些影响.定理 1：假定 和 是两个群，并且 与 同态，那么在这个同态满射之下GG（一） 的一个正规子群的 的象 是 的一个正规子群N（二） 的一个正规子群 的逆象 是 的一个正规子群证明：我们用 来表示给定的同态满射1、假定 ， 是 两个任意元，并且 在之下，a ,b ( ) 其abHab,aH中 是群 的子群， 是 在 下的象G那么在 之下11但由于 是子群， , 因此由于 是 的在 之下的象， ,这abH1ab样， , , 是 的一个子群abH1即是的 一个正规子群，由上面可知， 是 的一个子群，假定 是 的任NGNGG意元， 是 的任意元，而且在 之下n, , ( , )anan那么在 之下，11但由于 是 的正规子群， . 因此,由于 是 在 之下的象， NGNNa.这样， , , 是 的一个正规子群n1aana1G2、假定 是 的子群， 是 在 之下的逆象，假定 是 的两个任HH,abH意元，并且在 之下， , , 那么由于 是 的逆象， ,ba因而 ，但之 下， .所以 。这样，b1ab11a1