1、安庆师范学院数学与计算科学学院 2013 届毕业论文第 1 页矩阵迹的若干个性质与应用姓名：某某 指导老师：某某摘 要：根据矩阵迹的定义,首先给出了矩阵迹的性质,然后依据方阵的 范数定义Cauchy FSchwarz 不等式,给出了零矩阵,不相似矩阵,数幂矩阵,列矩阵,幂等矩阵及矩阵不等式的证法。矩阵的迹在解题中的应用给出了实例。关键词：迹 矩阵 范数 特征值1 引言矩阵的迹及其应用是高等数学的重要内容，也是工程理论研究中的重要工具。本文在前人研究的基础上，首先介绍了矩阵迹的相关性质，然后给出了零矩阵，不相似矩阵，数幂矩阵，列矩阵，幂等矩阵及矩阵不等式的证法，最后对矩阵的应用给出实例。2 预备
2、知识定义1 设 ,则 称为 的迹。nijCaA)(niatrA1定义2 设 ,记与向量范数 相容的 的 一范数为 :nij 2XAF211)(nijijFaA)0F(2) CKAK,(3) nFFBB,(4) ,(5) 22XAF引理：矩阵迹的性质 :1 trBtr)(证明：设则(a),()ijnijnAb111(),(),()()ininini iii itrAatrBbtrABab安庆师范学院数学与计算科学学院 2013 届毕业论文第 2 页又 11() ()iniiniiiiitrAtBaba所以 得证()ttrt2 ( 为任意常数)()rkk证明：设 则ijnAa()()()iiiit
3、rktkarAtr由（1）与（2）知 ()()(),mnBtrAntBmC3 )(trBt证明：设 a,()ijnijnAb则 ，其中 所以有()ijnc1kijikjca()ijtrABab其中 ，所以有()ijnBAd1knijikjb()ijt得证trt4 证明：矩阵取转置运算主对角线上的元素不变，所以等式很显然成立。5 jinijaAtr12)(证明：令（3）中 即可得证。B6 nijitr12)(证明：令（3）中 即可得证。A7 （ 是 的特征值）nitr1i安庆师范学院数学与计算科学学院 2013 届毕业论文第 3 页证明：由若当定理知10nAJ:因为相似矩阵迹相等，所以 itr1
4、8 niAtr122)(证明：设矩阵 的特征值为 1,.n则矩阵 的特征值为222则由（7）即可得证9 若 ,则 ;特别，ABtrtrATtr)(1（下面定理有证明）10 若 ， ，则 0|0tA有了上面关于矩阵的迹定义及性质的介绍，下面我们通过举例来看其在解题中的应用。3 解题中的应用例1 设 为同阶实对称矩阵，若 正定，则 和 不相似。BA, BA证：假设 相似 ,则由性质9 知 , tr再由性质1 得 0)(ttr故由性质10 知 不是正定阵 ,与已知矛盾 从而 , 和 不相似。BA!AB例2 设n阶矩阵 的对角线上元素全是1，且其特征值为复数，求证 |1A证：设 为 的全部特征值，且
5、则有(,.)i0,12,.i n1212|,().nnAtr又 的主对角线上的元素全是1，知 ()tA则 122.nnnr所以。12|.nA安庆师范学院数学与计算科学学院 2013 届毕业论文第 4 页例3 已知 阶方阵 ， 若对所有的 阶方阵 有 ,则 。nAnX0)(Atr证： 设 ，则有某 。作矩阵 ，使 , 时，00kma)(ijx1mk)(kji。ijx则矩阵 主对角线上的元素AXklaxCkmnssll ,01。 与已知矛盾 故)(1kmnllAXtr !0A例4 设 ， 的特征多项式为nija)(A，则 。011bbE trAn1证 因为 nnnnaaA 21222111Aan
6、det)1()(12所以 。trabnn 1例5 设 , , 都是 矩阵 ,且 , , ,则ABCCBAC存在不大于 的自然数 ,使得 。m0证：先证 . ( 为任意自然数 )0ktr(1)1kCABCABkk)()11由(1) 和性质1、3 得： 0trtr再证 的特证值都等于0。设 的特征值为 则存在可逆矩阵 ,使.,21n T安庆师范学院数学与计算科学学院 2013 届毕业论文第 5 页TTCn01所以 ),210(,1 knkk从而 （2）),(021 trCknkk不失一般性 ,设 的互异的非零特征值为 ,且重数分别为 。 则(2)s1 sr,21式变为 : ),(21 krrsk取
7、前 个等式 ,因为范德蒙行列式 ，因此 。即非零S 01221sss 021srr特征值都是0 重 ,故 的特征全为0 。C再证 。 由于 的每个若当块都形如m.,2101tiJini 因此 TJTCk1令: ，则tnm,21ax 01TJCmtm例6 满足 的矩阵 叫做幂等阵 ,试证：幂等矩阵的迹与秩相等。P证:设 阶阵 为幂阵,且 的秩 ,则 的特征值是0 或1 ,且 具有nrRPP个线性无关的特证向量,因而, 与对角阵相似。安庆师范学院数学与计算科学学院 2013 届毕业论文第 6 页故必有满秩阵 存在，使T 10011 TTP上式右端的对角阵的秩等于 的秩 ,即该矩阵中的对角元素 (
8、特征值)有 个为1 prPr， 个为0 。故由性质7 知rntP01例7 设有 阶实对称矩阵 ,若 ，则有 。A0trA证：因为 ,所以 半正定 ,故存在 阶矩阵Anu其中 是第 个行向量 ，使得),(1iniiqa i,21 Q于是 。02FQtr又因为 维列向量 有,),(1nRxX2XAX于是 axqxqQnnn ,111 由Cauchy - Schwarz不等式知， 2,Xaii所以 22112, QXaFniinii 即 XtrAtrQF222从而 EtA故有 Etr例7 设 为一个 阶矩阵， 的主对角线上所有元素的和称为 的迹，记作 .证明：n Atr如果对任意的 阶方阵 ，都有
9、，则X()0trA证：设 ，取 ,则()ijAa安庆师范学院数学与计算科学学院 2013 届毕业论文第 7 页211()|0nnikiki itrAaa所以 . 即0,1,2ika 0例8 证明：不可能有 阶方阵 满足n,ABE证：设，11nnaA 11nnb 为任二 阶方阵，则 主对角线上的元素为AB121,nniiii iabab它们的和为 1njii同样， 的主对角线上元素的和为BA12111nnnjj jjjij jii ibaba亦即 与 的主对角线上元素的和相等，从而 的主对角线上元素的和为零.但ABAB是，单位方阵 的主对角线上元素的和为 因此E0,nE4 下面介绍一些有关矩阵迹
10、的定理定理1 Cauchy-Schwarz公式：设 都是n阶矩阵，则有,AB证明：设 ,12,.Tnaa12,.,Tnbb则由向量的内积定义式 ，其中 为 与 的夹角cosa安庆师范学院数学与计算科学学院 2013 届毕业论文第 8 页即 。21/21/1niiiabb推广到矩阵的迹的形式，即为 1/21/2()()()TTTtrABtrtrB定理2 schur不等式设设 是n阶矩阵，则有A2()Ttt证明：因为 22() ()T TTA又因为 是反对称矩阵，故有2()0(TtrAtr定理3 设 为 阶对称矩阵，则有,Bn21()()trABtr证明：由Cauchy-Schwarz公式可知21
11、/21/()()()trttr又 21/21/2()()trAtBAB即得 21()()trtr定理4 设 都是 阶实对称矩阵，则有,ABCn()()()()()()trtrtrAtrBCtrAtrCB证明：都是 阶实对称矩阵，又由引理2可得,n()()()()TTtrABtrtrBAtr又由引理3可得 ()()()tCttC同时有 ()()()trBAtrtrAB即可得结论。安庆师范学院数学与计算科学学院 2013 届毕业论文第 9 页定理5 设 阶矩阵 的所有特征值都是实数，且 ，若 恰有 个特征值，则nA20trAk2()trAk证明：设 的 个特征值为 。因为 ，由引理1 知n12,n
12、 20tr0k的特征值为 不为零，而其余的特征值221,n 22kn考察以下平方和 21()kiiMa其中 ，显然 且1atrAk0,2k由于 2221()0ki trAtk于是，有 2()trA定理6 设 都是 阶实对称矩阵，则有,ABn22()()trBt证明：由于 都是 阶实对称矩阵，且由Schur不等式和引理3，可得,2 22()()()()()TTtrABtAtrtrBAtr定理7 设 都是 阶实对称矩阵，且正定或半正定，则有,n()|()|trBtr证明：由cauchy-schwarz公式，且 都是n阶实对称矩阵，使得,A21/21/()()()trABttr设 的特征值为 的特征
13、值为 显然 的特征值均大于0.,21n B12,.,n,AB安庆师范学院数学与计算科学学院 2013 届毕业论文第 10 页又由定理4知，对 存在n阶正交矩阵 使得Ap110nPA所以2212122211()()()()niitrtPtrtrtr由此得 ，2|(|tAtr2|tBt故有 1122()()()|()|ttAtrtrAtB即 ()|()|tBt参考文献 1丁学仁. 工程中的矩阵理论M.天津：天津大学出版社,19882党诵诗. 矩阵论及其在测绘中的应用M.北京：测绘出版社,19803陈公宁. 矩阵理论与应用M.北京：高等教育出版社，19904牛华伟，张厚超.关于矩阵迹的性质与应用J.
14、宁波职业技术学院学报，2009年4月5宋占奎.矩阵的迹在解题中的应用J.陕西工学院学报，2001年3月Matrix trace of several properties and applicationAuthor：Cao min Supervisor:Dai linsongAbstract : On the basis of the definition of matrix traces ,this paper discusses their characteristics at first and then according to the norm of the F of square
15、matrix and Cauchy - SchwarzInequality gives how to prove the zero matrix, unsimilar matrix，number cloth matrix , column matrix idempotent matrix and non - equality matrix. The application examples of the matrixt races in solving problems was given.Key words : traces ；matrix；norm；characteristic value
