1、1二次函数图像及性质一、二次函数的定义一般地，形如 （ 为常数， ）的函数称为 的二次函数，其中 为自变量，2yaxbca， ， 0axx为因变量， 、 、 分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数y注意：和一元二次方程类似，二次项系数 ，而 、 可以为零二次函数的自变量的取值范围bc是全体实数二、二次函数的图象1二次函数图象与系数的关系（1） 决定抛物线的开口方向a当 时，抛物线开口向上；当 时，抛物线开口向下反之亦然00a决定抛物线的开口大小： 越大，抛物线开口越小； 越小，抛物线开口越大a温馨提示：几条抛物线的解析式中，若 相等，则其形状相同，即若 相等，则开口及形状相a同，若 互为相
2、反数，则形状相同、开口相反a（2） 和 共同决定抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴： ）b 2bx当 时，抛物线的对称轴为 轴；0y当 、 同号时，对称轴在 轴的左侧；a当 、 异号时，对称轴在 轴的右侧（3） 的大小决定抛物线与 轴交点的位置（抛物线与 轴的交点坐标为 ）c y0c，当 时，抛物线与 轴的交点为原点；0y当 时，交点在 轴的正半轴；当 时，交点在 轴的负半轴2.二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数 化为顶点式 ，确定其开口方向、对称轴及顶2yaxbc2()yaxhk点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图一般我们选取的五点为：顶点、与 轴的交y点 、以及 关
3、于对称轴对称的点 、与 轴的交点 ， （若与 轴0c， 0c， 2hc， 10x， 2， x没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与 轴的交点xy3.点的坐标设法 一次函数 （ ）图像上的任意点可设为 .其中 时，该点为直线与yaxb01ab， 10x轴交点.y 二次函数 （ ）图像上的任意一点可设为 . 时，该点为2c 211c， 1抛物线与 轴交点，当 时，该点为抛物线顶点1xa 点 关于 的对称点为 1xy， 2， 2121xy，4.二次函数的图象信息 根据抛物线的开口方向判断 的正负性 根据抛物线的对称轴判断 的大小ba 根
4、据抛物线与 轴的交点，判断 的大小yc 根据抛物线与 轴有无交点，判断 的正负性x24 根据抛物线所经过的已知坐标的点，可得到关于 的等式abc， ， 根据抛物线的顶点，判断 的大小4ab2三、二次函数的图象及性质1 二次函数 的性质：2yax0（ ）抛物线 的顶点是坐标原点（0，0） ，对称轴是 （ 轴） 0xy函数 的图像与 的符号关系2当 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点；当 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点；a2二次函数 的性质2(0)yaxc3 二次函数 或 （ ）的性质2yaxbc0a（ ） 2()yaxhk0a开口方向： 向 上向 下对称轴： （或 ）2bxaxh顶点坐标：
5、（或 ）24(,)c(,)k最值： 图1图2 Oyx时有最小值 （或 ） （如图 1） ； 时有最大值 （或 ） （如图 2） ；0a24acbk0a24acbk单调性(单调性的概念无需掌握 )：二次函数 （ ）的变化情况（增减性）2yxbc0如图 1 所示，当 时，对称轴左侧 ， 随着 的增大而减小，在对称轴的右侧0，2bxa随 的增大而增大；y的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0向上 0， 轴y时， 随 的增大而增大； 时，0xyx0x随 的增大而减小； 时， 有最小y值 0向下 ， 轴时， 随 的增大而减小； 时，随 的增大而增大； 时， 有最大xx值 的符号 开口方向 顶点坐标
6、对称轴 性质0向上 c， 轴y时， 随 的增大而增大； 时，0xyx0x随 的增大而减小； 时， 有最小y值 c向下 ， 轴时， 随 的增大而减小； 时，随 的增大而增大； 时， 有最大xx值 3如图 2 所示，当 时，对称轴左侧 ， y 随着 x 的增大而增大，在对称轴的右侧0a2bxa，bx随 的增大而减小；y与坐标轴的交点：与 轴的交点：（0，C） ；与 轴的交点：使方程 （或yx20axbc）2()axhk成立的 值例题精讲一、二次函数的概念【例 1】 已知函数 2yaxbc当 ， ， 是怎样的数时，它是一次函数？当 ， ， 是怎样的数时，它是正比例函数？当 ， ， 是怎样的数时，它是
7、二次函数？二、二次函数的图象及性质1、画出函数 的图象，并指出图象顶点坐标、对称轴及函数最值28yx2、画出函数 的图象，并指出图象顶点坐标、对称轴及函数最值3()1【例 2】 已知 的图象如下左图所示，则 的图象一定过（ ）2yaxbyaxb第一、二、三象限 第一、二、四象限A. B.第二、三、四象限 第一、三、四象限CD【例 3】 已知二次函数 的图象如下右图所示，则点 在第 象限.2yaxbcPabc，【例 4】 函数 与 的图象可能是( )1yax210yxba1A xyO1B xyO1C xyO1D xyO【例 5】 在同一直角坐标系中，函数 和函数 （ 是常数，且 ）的图象ymx2
8、ymx0m可能是（ ）yxOyxO DCBAxyOxyOxyOOyx4【例 6】 在同一坐标系中一次函数 和二次函数 的图象可能为（ ）yaxb2yaxbAO xy BO xy CO xy DOxy【例 7】 下左图所示为二次函数 的图象，则一次函数 的图象不经过（ ）2yaxbcbyaxc第一象限 第二象限 第三象限 第四象限.D.【例 8】 已知，如图所示为二次函数 的图象，则一次函数 的图象不经过（ 2yaxbcyaxbc）第一象限 第二象限 第三象限 第四象限A.B.C.D.【例 9】 已知二次函数 的 与 的部分对应值如下表：2yaxbcyx 1013 3则下列判断中正确的是（ ）A
9、. 抛物线开口向上 B. 抛物线与 轴交于负半轴yC. 当 时， D. 方程 的正根在 与 之间4x0y20axbc34【例 10】 若二次函数 （ ， 为常数）的图象如右图，则 的值为（ ）22axbaA.2B.C.1D.2【例 11】 设二次函数 图像如图所示，试判断20yaxbcOyxOyxyxO xy0 1-15O xy-111Oyx-1 1的符号24abcabca、 、 、 、 、【例 12】 二次函数 的图象如下左图所示，判断 ， ， ， ， ，2yaxbcabc24acb， 的符号abc【例 13】 已知二次函数 的图象如图所示，有以下结论： ；2yaxbc 0abc； ； ；
10、其中所有正确结论的序号是1abc0c401ca（ ）ABC D【例 14】 已知二次函数 的图象如图所示，则下列结论2()0yaxbc； 方程 的两根之和大于 0；0ac 2axbc随 的增大而增大； ，y x其中正确的个数（ ）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个【例 15】 已知二次函数 的图象如图所示，下列结论：20yaxbc ； ； ； ，其中正确结论的个数0abc00ac为（ ）A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个【例 16】 如下右图所示，二次函数 的图象经过点 ，2(0)yaxbc12，且与 轴交点的横坐标分别为 ， ，其中 ， ，下列x11x2x结论： ；
11、； ； 420abc0284bac其中正确的有（ ）个 个 个 个A.1B.C.3D.【例 17】 二次函数 在其图象对称轴的左侧， 随着 的增大而减小，则 的值为23()myxyxm_【例 18】 二次函数 在其图象对称轴的右侧， 随着 的增大而减小，则 的值为251_yxO1-11 Oy x21-1-2yxO6【例 19】 已知点 ， 是函数 上两点，则当 时，函数值 y= .15Ax， 2Bx， 23yx12x【例 20】 已知 ，当 取不同的值 ， 时函数值相等，则当 时的值（ 2934y1 x）与 的函数相等 与 的函数相等. .0与 的函数相等 与 的函数相等C14xD94x【例
12、21】 若二次函数 有最大值，则 _2myxm【例 22】 若二次函数 有最小值，则 _1【例 23】 二次函数2()的图象上最低点的坐标是 （ ）A （-1，-2 ） B （1，-2） C （-1，2） D （1，2）【例 24】 抛物线 的顶点坐标是（ ） 3yxA B C D1,3,1,8,8【例 25】 已知 ，点 ， ， ， ， ， 都在函数 的图象上，则（ a(1)y(a2)y(3)y2yx）.123y.32.321.213【例 26】 已知二次函数 的图象过点 若点 ，2axbc57ABC， ， ， ， ， 12My， 也在二次函数 的图象上，则下列结论正确的是（ ） 2N， 3
13、8Ky， yaxbcA B C D13y213312y132y【例 27】 若 ， ， 为二次函数 的图象上的三点，则14， 54， 4， 45x， ， 的大小关系是（ ）123A B C Dy213y312y132y【例 28】 已知二次函数 和 分别有最大值、最小值，则这两个20axb50xa二次函数的图像有 个交点【例 29】 已知抛物线 的对称轴为直线 ，且经过点 ， 试2yc12y， ， ，比较 和 的大小： _ （填“”， “”或“=”）1y212y【例 30】 已知二次函数 的图象的开口向上，顶点在第三象限，且交于3mxm轴的负半轴，则 的取值范围是_【例 31】 设抛物线为 ，根据下列各条件，求 的值2ykk 抛物线的顶点在 轴上； 抛物线的顶点在 轴上； 抛物线经过点 ；(1,) 抛物线经过原点； 当 时， 有最小值；xy 的最小值为 y【例 32】 已知点 与点 关于原点对称，求函数 的顶点坐标5Aab， 13Bab， 2yxab【例 33】 设 ， 当 取任意实数时， 恒为非负数，求 的取值范围；23yxaxya7【例 34】 设直线 与抛物线 的两个交点的横坐标分别是 ，且直线与 轴的交点的横ykxb2yax12,xx坐标为 ，求证： 3123
