1、目录题型五 二次函数与几何图形综合题 .2类型一 与特殊三角形形状有关 .2类型二 与特殊四边形形状有关 .8类型三 与三角形相似有关 .18类型四 与图形面积函数关系式、最值有关 .23类型五 与线段、周长最值有关 .29题型五 二次函数与几何图形综合题类型一 与特殊三角形形状有关针对演练1. (16 原创)如图，已知抛物线 y=-x2+bx+c 的对称轴为 x=1,与 y 轴的交点第 1 题图 C 为（ 0,3） ，与 x 轴交于点 A、B，顶点为 D.（1）求抛物线的解析式；（2）求 A、B、D 的坐标，并确定四边形 ABDC 的面积；（3）点 P 是 x 轴上的动点，连接 CP，若CB
2、P 是等腰三角形，求点 P 的坐标.2. （15 长沙模拟）如图，抛物线 y=ax2+bx+c 的图象过点 M（-2, ） ，顶点为3N（-1, ） ，与 x 轴交于点 A、B （点 A 在点 B 的右侧） ，与 y 轴交于点 C.43（1）求抛物线解析式；（2）判断ABC 的形状，并说明理由；（3）若点 Q 是抛物线对称轴上一点，当QBC 是直角三角形时，求点 Q 的坐标.3. （16 原创）如图，抛物线 y = - x2+mx+n 与 x 轴交于点 A、B 两点，与 y 轴1交于点 C，其对称轴与 x 轴的交点为 D，已知 A（-1,0） ，C（0,2）.（1）求抛物线的解析式；（2）判断
3、ACD 的形状，并说明理由；（3）在抛物线对称轴上是否存在一点 P，使得 PBC 是以 P 为直角顶点的直角三角形，若存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由 .4. 如图，已知二次函数 L1:y=x2-4x+3 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左边） ，与 y 轴交于点 C.（1）写出 A、B 两点的坐标；（2）二次函数 L2:y=kx2-4kx+3k(k0),顶点为 P.直接写出二次函数 L2 与二次函数 L1 有关图象的两条相同的性质；是否存在实数 k，使 ABP 为等边三角形？如果存在，请求出 k 的值；如不存在，请说明理由；若直线 y=8k 与抛物线 L2 交于
4、E、F 两点，问线段 EF 的长度是否会发生变化？如果不会，请求出 EF 的长度；如果会，请说明理由.答案1. 解：（1）抛物线 y =-x2+bx+c 的对称轴为 ，12bx解得 b=2， 抛物线过点 C（0,3） ，c=3 ，抛物线解析式为 y=-x2+2x+3；（2）由抛物线 y=-x2+2x+3，令 y =0 得，-x 2+2x+3=0，解得 x1=-1,x2=3，点 A（-1,0 ） ，点 B（3,0） ，当 x=1 时，y=-1 2+2+3=4,点 D 的坐标为（1,4）.如解图，过 D 作 DMAB 于 M，则 OM =1，DM =4，S 四边形 ABDC =SAOC +S 四边
5、形 OMDC+SBMD= AOOC + （OC+ MD）OM + BMDM1212= 13+ （3+4 ）1+ 42=9.（3）设点 P 的坐标为（t,0） ，则 PC 2=t 2+32，PB 2=(3-t)2，BC 2=32+32=18，若PBC 是等腰三角形，则有PC 2=PB 2，即 t 2+9=(3-t)2，解得 t =0，此时点 P 的坐标为（0,0） ；PC 2=BC 2，则 t 2+9=18，解得 t =3（舍）或 t =-3，此时点 P 的坐标为（-3,0） ；PB 2=BC 2 则(3-t) 2=18，解得 t =3+ 或 t =3- ，32此时点 P 的坐标为（3+ ,0）
6、或（3- ,0）.2. 解：（1）由抛物线的顶点为 N（-1, ） ，故设抛物线的顶点式为 y=a(x+1)432+ ，43将点 M（-2, ）代入解析式得，a(-2+1)2+ =3，43解得 a = ,抛物线的解析式为 y = - (x+1)2+ .343即 y= x2 x + .3（2）对于抛物线 y= x2- x + ，令 y = 0,33得 x2- x + =0，3解得 x1=1,x2=-3，点 A（1,0） ，点 B（-3,0） ，令抛物线 x=0,得 y= ，3点 C 的坐标为（0, ）.AB 2=42=16,AC 2=12+( )2=4,BC 2=32+( )2=12,3AB 2
7、=AC 2+BC 2,ABC 是直角三角形.(3)由抛物线顶点 N（-1, ）知抛物线的对称轴为 x =-1，43设点 Q 的坐标为（-1,t） ，则 BQ 2=(-3+1)2+t 2=4+t 2,CQ 2=(-1)2+(t- )2=t 2- t+4，BC 2=12.3要使BQC 是直角三角形，() 当BQC 90，则 BQ 2+QC 2=BC 2,即 4+t 2+t 2- t+4=12，3解得 t1= + ,t2= - ，此时点 Q 的坐标为（-1， + ）或（-1，3321- ） ；32（）当QBC90 ，则 BQ 2+BC 2=QC 2，即 4+t 2+12=t 2- t+4，解得 t=
8、- ，此时点 Q 的坐标为（-1，- ） ；3323（）当BCQ = 90时，则 QC 2+BC 2=BQ 2，即 t 2- t+4+12=4+t 2，解得 t = ，此时点 Q 的坐标为（-1, ）.综上，当QBC 是直角三角形时，点 Q 坐标为（ -1， ） ， （-3121， ）233. 解：（1）点 A（-1,0） ，C（0,2）在抛物线上， ，解得02mn32n抛物线解析式为 y=- x2+ x+2；1（2）ACD 是等腰三角形.理由：抛物线 y=- x2+ x+2 的对称轴为直线 x = ，332点 D（ ,0） ，3A（-1,0） ， C（0,2） ，AC = ， AD =1+
9、= ,CD = ，5325235()AD=CD AC，ACD 是等腰三角形；（3）令抛物线 y=- x2+ x+2=0，得 x1=-1,x2=4,13点 B 的坐标为（4,0） ，则 BC = ，5取 BC 的中点为 S，则点 S 的坐标为（2,1） ；设点 P（ ,t） ，32则 PS = BC = ，即(2- )2+(t-1)2=5，153解得 t1=1+ ,t2=1- ，91存在这样的点 P，其坐标为（ ,1+ ）或（ ，1- ）.321932194. 解：（1）当 y=0 时，x 2-4x+3=0，x 1=1，x 2=3，即：A(1，0),B(3，0);（2） 二次函数 L2 与 L1
10、 有关图象的两条相同的性质：（）对称轴都为直线 x=2 或顶点的横坐标都为 2；（）都经过 A(1，0),B(3，0)两点；存在实数 k，使ABP 为等边三角形.y=kx 2-4kx+3k=k（x -2） 2-k,顶点 P（2，- k）.A(1，0)，B(3，0) ，AB = 2，要使ABP 为等边三角形，必满足|-k|=3，k=3；线段 EF 的长度不会发生变化.直线 y=8k 与抛物线 L2 交于点 E、F 两点，kx 2-4kx+3k=8k,k0, x 2-4x+3=8,x 1=-1，x 2=5，EF =x 2-x1=6，线段 EF 的长度不会发生变化且 EF6.类型二 与特殊四边形形状
11、有关针对演练1. 抛物线 y=x2+bx+c 经过 A（0，2） ，B（3，2）两点，点 D 在 x 轴的正半轴.（1）求抛物线与 x 轴的交点坐标；（2）若点 C 为抛物线与 x 轴的交点，是否存在点 D，使 A、B 、C、D 四点围成的四边形是平行四边形？若存在，求点 D 的坐标；若不存在，说明理由 .2. 如图，已知平面直角坐标系 xOy 中，O 是坐标原点，抛物线 y=-x2+bx+c（c0）的顶点 D 在第二象限，与 y 轴的交点为 C，过点 C 作 CAx轴交抛物线于点 A，在 AC 延长线上取点 B，使 AC =2BC，连接 OA，OB ，BD和 AD.（1）若点 A 的坐标为（
12、-4,4） ，求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，求直线 BD 的解析式；（3）是否存在 b、c 使得四边形 AOBD 是矩形，若存在，直接写出 b 与 c 的关系式；若不存在，说明理由.3. 如图，已知直线 y = x+8 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，C 是线段 AB43的中点，抛物线 y=ax2+bx+c(a0)过 O、A 两点，且其顶点的纵坐标为 .43(1)分别写出 A、B、C 三点的坐标；(2)求抛物线的函数解析式；(3)在抛物线上是否存在点 P，使得以 O、P 、B、C 为顶点的四边形是菱形？若存在，求所有满足条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 .4.
13、 （15 毕节 16 分）如图，抛物线 yx 2+bx+c 与 x 轴交于 A（-1，0） ，B（3，0）两点，顶点 M 关于 x 轴的对称点是 M.第 4 题图（1）求抛物线的解析式;（2）若直线 AM与此抛物线的另一个交点为 C，求 CAB 的面积;（3）是否存在过 A、B 两点的抛物线，其顶点 P 关于 x 轴的对称点为 Q，使得四边形 APBQ 为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式; 若不存在，请说明理由.5. (15 黄冈 14 分)如图，在矩形 OABC 中，OA5，AB4，点 D 为边 AB 上一点，将BCD 沿直线 CD 折叠，使点 B 恰好落在 OA 边上的点 E 处，分别
14、以OC，OA 所在的直线为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系.（1）求 OE 的长；（2）求经过 O，D，C 三点的抛物线的解析式；（3）一动点 P 从点 C 出发，沿 CB 以每秒 2 个单位长的速度向点 B 运动，同时动点 Q 从 E 点出发，沿 EC 以每秒 1 个单位长的速度向点 C 运动，当点 P 到达点 B 时，两点同时停止运动.设运动时间为 t 秒，当 t 为何值时，DP =DQ；（4）若点 N 在（2）中的抛物线的对称轴上，点 M 在抛物线上，是否存在这样的点 M 与点 N，使得以 M，N，C，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出 M 点的坐标；若不存在，请说明理由.
