高一数学必修1知识点总结.doc

1、第 1 页 共 26 页高 中 高 一 数 学 必 修 1 各 章 知 识 点 总 结第 一 章 集 合 与 函 数 概 念一 、 集 合 有 关 概 念1、 集 合 的 含 义 ： 某 些 指 定 的 对 象 集 在 一 起 就 成 为 一个 集 合 ， 其 中 每 一 个 对 象 叫 元 素2、 集 合 的 中 元 素 的 三 个 特 性 ：1.元 素 的 确 定 性 ； 2.元 素 的 互 异 性 ； 3.元 素 的 无序 性说 明 ： (1)对 于 一 个 给 定 的 集 合 ， 集 合 中 的 元 素 是 确定 的 ， 任 何 一 个 对 象 或 者 是 或 者 不 是 这 个 给

2、定 的 集 合 的 元素 。(2)任 何 一 个 给 定 的 集 合 中 ， 任 何 两 个 元 素 都 是 不 同的 对 象 ， 相 同 的 对 象 归 入 一 个 集 合 时 ， 仅 算 一 个 元 素 。(3)集 合 中 的 元 素 是 平 等 的 ， 没 有 先 后 顺 序 ， 因 此 判定 两 个 集 合 是 否 一 样 ， 仅 需 比 较 它 们 的 元 素 是 否 一 样 ， 不需 考 查 排 列 顺 序 是 否 一 样 。(4 集 合 元 素 的 三 个 特 性 使 集 合 本 身 具 有 了 确 定 性 和整 体 性 。3、 集 合 的 表 示 ： 如 我 校 的 篮 球 队

3、 员 ， 太 平洋 ,大 西 洋 ,印 度 洋 ,北 冰 洋 1. 用 拉 丁 字 母 表 示 集 合 ： A=我 校 的 篮 球 队 员 ,B=1,2,3,4,5第 2 页 共 26 页2 集 合 的 表 示 方 法 ： 列 举 法 与 描 述 法 。注 意 啊 ： 常 用 数 集 及 其 记 法 ：非 负 整 数 集 （ 即 自 然 数 集 ） 记 作 ： N正 整 数 集 N*或 N+ 整 数 集 Z 有 理 数 集 Q 实数 集 R关 于 “属 于 ”的 概 念集 合 的 元 素 通 常 用 小 写 的 拉 丁 字 母 表 示 ， 如 ： a 是 集合 A 的 元 素 ， 就 说 a

4、属 于 集 合 A 记 作 a A ， 相 反 ， a不 属 于 集 合 A 记 作 aA列 举 法 ： 把 集 合 中 的 元 素 一 一 列 举 出 来 ， 然 后 用 一个 大 括 号 括 上 。描 述 法 ： 将 集 合 中 的 元 素 的 公 共 属 性 描 述 出 来 ， 写在 大 括 号 内 表 示 集 合 的 方 法 。 用 确 定 的 条 件 表 示 某 些 对 象是 否 属 于 这 个 集 合 的 方 法 。 语 言 描 述 法 ： 例 ： 不 是 直 角 三 角 形 的 三 角 形 数 学 式 子 描 述 法 ： 例 ： 不 等 式 x-32 的 解 集 是xR| x-3

5、2或 x| x-324、 集 合 的 分 类 ：1 有 限 集 含 有 有 限 个 元 素 的 集 合2 无 限 集 含 有 无 限 个 元 素 的 集 合3 空 集 不 含 任 何 元 素 的 集 合 例 ：x|x2= 5第 3 页 共 26 页二 、 集 合 间 的 基 本 关 系1.“包 含 ”关 系 子 集注 意 ： 有 两 种 可 能 （ 1） A 是 B 的 一 部 分 ， ； （ 2）A 与 B 是 同 一 集 合 。反 之 : 集 合 A 不 包 含 于 集 合 B,或 集 合 B 不 包 含 集 合A,记 作 A B 或 B A2 “相 等 ”关 系 (5 5， 且 5 5，

6、 则 5=5)实 例 ： 设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元 素 相 同 ”结 论 ： 对 于 两 个 集 合 A 与 B， 如 果 集 合 A 的 任 何 一个 元 素 都 是 集 合 B 的 元 素 ， 同 时 ,集 合 B 的 任 何 一 个 元 素都 是 集 合 A 的 元 素 ， 我 们 就 说 集 合 A 等 于 集 合 B， 即 ：A=B 任 何 一 个 集 合 是 它 本 身 的 子 集 。 AA 真 子 集 :如 果 AB,且 A B 那 就 说 集 合 A 是 集 合 B的 真 子 集 ， 记 作 A B(或 B A) 如 果 AB, BC ,那 么 AC 如 果

7、 AB 同 时 BA 那 么 A=B3. 不 含 任 何 元 素 的 集 合 叫 做 空 集 ， 记 为 规 定 : 空 集 是 任 何 集 合 的 子 集 ， 空 集 是 任 何 非 空 集合 的 真 子 集 。三 、 集 合 的 运 算第 4 页 共 26 页1 交 集 的 定 义 ： 一 般 地 ， 由 所 有 属 于 A 且 属 于 B 的元 素 所 组 成 的 集 合 ,叫 做 A,B 的 交 集 记 作 A B(读 作 ”A 交 B”)， 即 A B=x|x A， 且x B2、 并 集 的 定 义 ： 一 般 地 ， 由 所 有 属 于 集 合 A 或 属 于集 合 B 的 元 素

8、 所 组 成 的 集 合 ， 叫 做 A,B 的 并 集 。 记 作 ：A B(读 作 ”A 并 B”)， 即 A B=x|x A， 或 x B3、 交 集 与 并 集 的 性 质 ： A A = A, A = , A B = B A， A A = A,A = A ,A B = B A.4、 全 集 与 补 集（ 1） 补 集 ： 设 S 是 一 个 集 合 ， A 是 S 的 一 个 子 集（ 即 ） ， 由 S 中 所 有 不 属 于 A 的 元 素 组 成 的 集 合 ， 叫 做S 中 子 集 A 的 补 集 （ 或 余 集 ）记 作 ： CSA 即 CSA =x | xS 且 xA（

9、2） 全 集 ： 如 果 集 合 S 含 有 我 们 所 要 研 究 的 各 个 集合 的 全 部 元 素 ， 这 个 集 合 就 可 以 看 作 一 个 全 集 。 通 常 用 U来 表 示 。（ 3） 性 质 ： CU(C UA)=A (C UA) A=二 、 函 数 的 有 关 概 念1 函 数 的 概 念 ： 设 A、 B 是 非 空 的 数 集 ， 如 果 按 照 某个 确 定 的 对 应 关 系 f， 使 对 于 集 合 A 中 的 任 意 一 个 数 x，第 5 页 共 26 页在 集 合 B 中 都 有 唯 一 确 定 的 数 f(x)和 它 对 应 ， 那 么 就 称f： A

10、 B 为 从 集 合 A 到 集 合 B 的 一 个 函 数 记 作 ： y=f(x)，x A 其 中 ， x 叫 做 自 变 量 ， x 的 取 值 范 围 A 叫 做 函 数 的定 义 域 ； 与 x 的 值 相 对 应 的 y 值 叫 做 函 数 值 ， 函 数 值 的 集合 f(x)| x A 叫 做 函 数 的 值 域 注 意 ： 2 如 果 只 给 出 解 析 式 y=f(x)， 而 没 有 指 明 它 的定 义 域 ， 则 函 数 的 定 义 域 即 是 指 能 使 这 个 式 子 有 意 义 的 实数 的 集 合 ； 3 函 数 的 定 义 域 、 值 域 要 写 成 集 合

11、或 区 间 的 形式 定 义 域 补 充能 使 函 数 式 有 意 义 的 实 数 x 的 集 合 称 为 函 数 的 定 义域 ， 求 函 数 的 定 义 域 时 列 不 等 式 组 的 主 要 依 据 是 ： (1)分 式的 分 母 不 等 于 零 ； (2)偶 次 方 根 的 被 开 方 数 不 小 于 零 ； (3)对数 式 的 真 数 必 须 大 于 零 ； (4)指 数 、 对 数 式 的 底 必 须 大 于 零且 不 等 于 1. (5)如 果 函 数 是 由 一 些 基 本 函 数 通 过 四 则 运算 结 合 而 成 的 .那 么 ， 它 的 定 义 域 是 使 各 部 分

12、都 有 意 义 的x 的 值 组 成 的 集 合 .（ 6） 指 数 为 零 底 不 可 以 等 于 零 (6)实际 问 题 中 的 函 数 的 定 义 域 还 要 保 证 实 际 问 题 有 意 义 .(又 注 意 ： 求 出 不 等 式 组 的 解 集 即 为 函 数 的 定 义 域 。 )构 成 函 数 的 三 要 素 ： 定 义 域 、 对 应 关 系 和 值 域再 注 意 ： （ 1） 构 成 函 数 三 个 要 素 是 定 义 域 、 对 应 关系 和 值 域 由 于 值 域 是 由 定 义 域 和 对 应 关 系 决 定 的 ， 所 以 ，第 6 页 共 26 页如 果 两 个

13、函 数 的 定 义 域 和 对 应 关 系 完 全 一 致 ， 即 称 这 两 个函 数 相 等 （ 或 为 同 一 函 数 ） （ 2） 两 个 函 数 相 等 当 且 仅 当它 们 的 定 义 域 和 对 应 关 系 完 全 一 致 ， 而 与 表 示 自 变 量 和 函数 值 的 字 母 无 关 。 相 同 函 数 的 判 断 方 法 ： 表 达 式 相 同 ； 定 义 域 一 致 (两 点 必 须 同 时 具 备 )(见 课 本 21 页 相 关 例 2)值 域 补 充(1)、 函 数 的 值 域 取 决 于 定 义 域 和 对 应 法 则 ， 不 论 采取 什 么 方 法 求 函 数

14、 的 值 域 都 应 先 考 虑 其 定 义 域 . (2).应 熟悉 掌 握 一 次 函 数 、 二 次 函 数 、 指 数 、 对 数 函 数 及 各 三 角 函数 的 值 域 ， 它 是 求 解 复 杂 函 数 值 域 的 基 础 。3. 函 数 图 象 知 识 归 纳(1)定 义 ： 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 以 函 数 y=f(x) , (x A)中 的 x 为 横 坐 标 ， 函 数 值 y 为 纵 坐 标 的 点 P(x， y)的 集 合 C， 叫 做 函 数 y=f(x),(x A)的 图 象 C 上 每 一 点 的 坐 标 (x， y)均 满 足 函 数 关 系

15、 y=f(x)， 反过 来 ， 以 满 足 y=f(x)的 每 一 组 有 序 实 数 对 x、 y 为 坐 标 的点 (x， y)， 均 在 C 上 . 即 记 为 C= P(x,y) | y= f(x) , x A 图 象 C 一 般 的 是 一 条 光 滑 的 连 续 曲 线 (或 直 线 ),也 可能 是 由 与 任 意 平 行 与 Y 轴 的 直 线 最 多 只 有 一 个 交 点 的 若干 条 曲 线 或 离 散 点 组 成 。(2) 画 法第 7 页 共 26 页A、 描 点 法 ： 根 据 函 数 解 析 式 和 定 义 域 ， 求 出 x,y 的一 些 对 应 值 并 列 表

16、 ， 以 (x,y)为 坐 标 在 坐 标 系 内 描 出 相 应 的点 P(x, y)， 最 后 用 平 滑 的 曲 线 将 这 些 点 连 接 起 来 .B、 图 象 变 换 法 （ 请 参 考 必 修 4 三 角 函 数 ）常 用 变 换 方 法 有 三 种 ， 即 平 移 变 换 、 伸 缩 变 换 和 对称 变(3)作 用 ：1、 直 观 的 看 出 函 数 的 性 质 ； 2、 利 用 数 形 结 合 的 方法 分 析 解 题 的 思 路 。 提 高 解 题 的 速 度 。 发 现 解 题 中 的 错 误 。4 快 去 了 解 区 间 的 概 念（ 1） 区 间 的 分 类 ： 开

17、 区 间 、 闭 区 间 、 半 开 半 闭 区 间 ；（ 2） 无 穷 区 间 ； （ 3） 区 间 的 数 轴 表 示 5 什 么 叫 做 映 射一 般 地 ， 设 A、 B 是 两 个 非 空 的 集 合 ， 如 果 按 某 一 个确 定 的 对 应 法 则 f， 使 对 于 集 合 A 中 的 任 意 一 个 元 素 x，在 集 合 B 中 都 有 唯 一 确 定 的 元 素 y 与 之 对 应 ， 那 么 就 称对 应 f： A B 为 从 集 合 A 到 集 合 B 的 一 个 映 像 。 记 作 “f： A B”给 定 一 个 集 合 A 到 B 的 映 像 ， 如 果 a A,

18、b B.且 元素 a 和 元 素 b 对 应 ， 那 么 ， 我 们 把 元 素 b 叫 做 元 素 a 的象 ， 元 素 a 叫 做 元 素 b 的 原 象第 8 页 共 26 页说 明 ： 函 数 是 一 种 特 殊 的 映 射 ， 映 射 是 一 种 特 殊 的 对应 ， 集 合 A、 B 及 对 应 法 则 f 是 确 定 的 ； 对 应 法 则 有“方 向 性 ”， 即 强 调 从 集 合 A 到 集 合 B 的 对 应 ， 它 与 从 B到 A 的 对 应 关 系 一 般 是 不 同 的 ； 对 于 映 射 f： A B 来说 ， 则 应 满 足 ： （ ） 集 合 A 中 的 每

19、 一 个 元 素 ， 在 集 合B 中 都 有 象 ， 并 且 象 是 唯 一 的 ； （ ） 集 合 A 中 不 同 的 元素 ， 在 集 合 B 中 对 应 的 象 可 以 是 同 一 个 ； （ ） 不 要 求 集合 B 中 的 每 一 个 元 素 在 集 合 A 中 都 有 原 象 。常 用 的 函 数 表 示 法 及 各 自 的 优 点 ：1 函 数 图 象 既 可 以 是 连 续 的 曲 线 ， 也 可 以 是 直 线 、折 线 、 离 散 的 点 等 等 ， 注 意 判 断 一 个 图 形 是 否 是 函 数 图 象的 依 据 ； 2 解 析 法 ： 必 须 注 明 函 数 的

20、定 义 域 ； 3 图 象 法 ：描 点 法 作 图 要 注 意 ： 确 定 函 数 的 定 义 域 ； 化 简 函 数 的 解 析式 ； 观 察 函 数 的 特 征 ； 4 列 表 法 ： 选 取 的 自 变 量 要 有 代 表性 ， 应 能 反 映 定 义 域 的 特 征 注 意 啊 ： 解 析 法 ： 便 于 算 出 函 数 值 。 列 表 法 ： 便 于查 出 函 数 值 。 图 象 法 ： 便 于 量 出 函 数 值补 充 一 ： 分 段 函 数 （ 参 见 课 本 P24-25）在 定 义 域 的 不 同 部 分 上 有 不 同 的 解 析 表 达 式 的 函 数 。在 不 同 的

21、 范 围 里 求 函 数 值 时 必 须 把 自 变 量 代 入 相 应 的 表 达式 。 分 段 函 数 的 解 析 式 不 能 写 成 几 个 不 同 的 方 程 ， 而 就 写函 数 值 几 种 不 同 的 表 达 式 并 用 一 个 左 大 括 号 括 起 来 ， 并 分第 9 页 共 26 页别 注 明 各 部 分 的 自 变 量 的 取 值 情 况 （ 1） 分 段 函 数 是 一个 函 数 ， 不 要 把 它 误 认 为 是 几 个 函 数 ； （ 2） 分 段 函 数 的定 义 域 是 各 段 定 义 域 的 并 集 ， 值 域 是 各 段 值 域 的 并 集 补 充 二 ：

22、复 合 函 数如 果 y=f(u),(u M),u=g(x),(x A),则 y=fg(x)=F(x)，(x A) 称 为 f、 g 的 复 合 函 数 。例 如 : y=2sinX y=2cos(X2+1)7 函 数 单 调 性（ 1） 增 函 数设 函 数 y=f(x)的 定 义 域 为 I， 如 果 对 于 定 义 域 I 内 的某 个 区 间 D 内 的 任 意 两 个 自 变 量 x1， x2， 当 x1x2 时 ，都 有 f(x1)f(x2)， 那 么 就 说 f(x)在 区 间 D 上 是 增 函 数 。 区间 D 称 为 y=f(x)的 单 调 增 区 间 （ 睇 清 楚 课

23、本 单 调 区 间 的 概念 ）如 果 对 于 区 间 D 上 的 任 意 两 个 自 变 量 的 值 x1， x2，当 x1x2 时 ， 都 有 f(x1) f(x2)， 那 么 就 说 f(x)在 这 个 区间 上 是 减 函 数 .区 间 D 称 为 y=f(x)的 单 调 减 区 间 .注 意 ： 1 函 数 的 单 调 性 是 在 定 义 域 内 的 某 个 区 间 上的 性 质 ， 是 函 数 的 局 部 性 质 ；2 必 须 是 对 于 区 间 D 内 的 任 意 两 个 自 变 量 x1， x2；当 x1x2 时 ， 总 有 f(x1)f(x2) 。（ 2） 图 象 的 特 点

24、第 10 页 共 26 页如 果 函 数 y=f(x)在 某 个 区 间 是 增 函 数 或 减 函 数 ， 那 么说 函 数 y=f(x)在 这 一 区 间 上 具 有 (严 格 的 )单 调 性 ， 在 单 调区 间 上 增 函 数 的 图 象 从 左 到 右 是 上 升 的 ， 减 函 数 的 图 象 从左 到 右 是 下 降 的 .(3).函 数 单 调 区 间 与 单 调 性 的 判 定 方 法(A) 定 义 法 ：1 任 取 x1， x2 D， 且 x1x2； 2 作 差 f(x1) f(x2)；3 变 形 （ 通 常 是 因 式 分 解 和 配 方 ） ； 4 定 号 （ 即 判

25、 断 差f(x1) f(x2)的 正 负 ） ； 5 下 结 论 （ 指 出 函 数 f(x)在 给 定 的区 间 D 上 的 单 调 性 ） (B)图 象 法 (从 图 象 上 看 升 降 )_(C)复 合 函 数 的 单 调 性函 数 的 单 调 性注 意 ： 1、 函 数 的 单 调 区 间 只 能 是 其 定 义 域 的 子 区 间 ,不能 把 单 调 性 相 同 的 区 间 和 在 一 起 写 成 其 并 集 . 2、 还 记 得 我们 在 选 修 里 学 习 简 单 易 行 的 导 数 法 判 定 单 调 性 吗 ？8 函 数 的 奇 偶 性（ 1） 偶 函 数一 般 地 ， 对 于 函 数 f(x)的 定 义 域 内 的 任 意 一 个 x， 都有 f( x)=f(x)， 那 么 f(x)就 叫 做 偶 函 数