1、3.2 函数模型及其应用3.2.1 几类不同增长的函数模型一、点击考点1数学模型为一次函数的问题一次函数也是最常见的一种函数模型，在初中就已经接触过。例某人开汽车以 60km/h 的速度从 A 地到 150km 远的 B 地，在 B 地停留 1h 后，再以 50km/h 的速度返回 A 地，把汽车离开 A 地的距离 (km)表示为时间 (h)（从 A 地出发xt时开始）的函数，并画出函数的图象；再把车速 (km/h)表示为时间 (h)的函数，并画出函v数的图象.解汽车离开 A 地的距离 km 与时间 h 之间的关系是：xt),5.3(01,6ttx.6,(2,.0tt它的图象右如图所示.速度
2、km/h 与时间 t h 的函数关系是：v,50,6x).56,3,2.t它的图象如右图所示2数学模型为二次函数的问题二次函数为生活中最常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值（或最小值） ，故常常最优、最省等最值问题是二次函数的模型。例渔场中鱼群的最大养殖量为 m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留下适当的空闲量，已知鱼群的年增长量 吨和实际养殖量 吨与空yx闲率的乘积成正党组织，比例系数为 ).0(k（1 ）写出 关于 的函数关系式，并指出这个函数的定义域；yx（2 ）求鱼群年增长量的最大值；（3 ）当鱼群的年增长量达到最大值时，求 的取值范围 .例 （1）
3、；)0)(mk（2 ） .422 kxkxy当 时， 取得最大值mx.（3 ）依题意，为保证鱼群留有一定的生长空间，则有实际养殖量与年增长量的和小于最大养殖量，即 .0y因为当 时， ，所以联想到“ ”这一等价转2x4k最 大 ayxfyxf),(),(ma化命题，则有，解得mk420.2k但 ，从而得.0思考：本题中空闲养殖量与实际养殖率的关系如何？而实际养殖率与实际养殖量、最大养殖量的关系又是如何？3数学模型为指数函数的问题一般地，形如 的函数叫做指数函数，而在生产、生活实际中，以)10(ayx且函数 作为模型的应用问题很常见 .kabyx例某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超
4、过 0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少 ，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？（已3知： ）471.03lg,1.02lg分析每次过滤杂质含量降为原来的 ，过滤 次后杂质含量为 ，结合2nn)32(10按市场要求杂质含量不能超过 0.1%，即可建立数学模型.解析依题意，得 10)3(2n，即 .则 ，01)3(n )lg()l(g故 考虑到 ，即至少要过滤 8 次才能达到市场要求。,4.7lg31nN4数学模型为对数函数的问题形如 （ 且 ）的函数叫做对数函数， 时，此函数为增函数；xyalo01a1a时，此函数为减函数，虽然直接以对数函数作为模型的应用问题不是很多，但
5、我10们知道，对数运算实际是求指数的运算，因此在指数函数模型中，也常用对数计算。例在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度 (m/s)和燃料的质量 (kg)、火vM箭（除燃料外）的质量 (kg)的关系 当燃料质量是火箭质量的多少倍m).1ln(20mMv时，火箭的最大速度可达 12km/s？解由 ，即 ，利用计算器算得)1ln(201 6),l(6e.402mM例某城市现有人口 100 万，如果 20 年后该城市人口总数不超过 120 万，年自然增长率应控制在多少以内？解设年自然增长率为 ，依题意有：x.21lg)l(,20.)1(,02xx由计算器计算得 %。9.0x答：年自然增长率应控制在
6、 0.9%以内。5比较函数模型的增长趋势比较函数模型的增长趋势一般有两条途径：（1）不等式的方法，即作差比较或解不等式；（2 ）结合函数的图象，数形结合的方法。例为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”和“如意卡”在某市范围内每月（30 天）的通话时间 (分)与通话费x(元)的关系如图所示.y（1 ）分别求出通话费 、 与通话时间 之间的函数关系式；1y2x（2 ）请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡比较使用.分析由图形可知，函数关系是线性关系，因此，可以用一次函数解决实际问题.解 （1）由图象可设 ，把点 、 分别代入所xkyxky21,9)35
7、,0(B)1,(C设两函数式中得 .2,5k .15（2 ）令 ，即 ，即21yx36当 时， ，两种卡收费一致；396x21当 时， ，即“如意卡”便宜；y当 时， ，即“便民卡”便宜.x216、分段函数问题；考题 1 “依法纳税是每个公民应尽的义务 ”，国家征收个人工资、薪金所得税是分段计算的：总收入不超过 1000 元的，免征个人工资、薪金所得税；超过 1000 元部分需征税，设全月纳税所得额（所得额指工资、薪金中应纳税的部分）为 全月总收入x,1000 元，税率见下表：级数 全月应纳税所得额 x税率1 不超过 500 元部分 5%2 超过 500 元至 2000 元部分 10%3 超过
8、 2000 元至 5000 元部分 15% 45%9 超过 100000 元部分（1 ）若应纳税额为 ，试用分段函数表示 13 级纳税额 的计算公式.)(xf )(xf（2 ）某人 2000 年 10 月份工资总收入为 4200 元，试计算这个人 10 月份应纳个人所得税多少元？解析 （1）依税率表，有第一级： %,5x第二级： ,50)(第三级： %.5012即 75)0(15.)(xf ).2(,x（2 ）这个人 10 月份纳税所得额 ,320140.32.)0(f答：这个人 10 月份应缴纳个人所得税 355 元。考题 2某公司生产一种产品每年投入固定成本 0.5 万元，此外每生产 10
9、0 件这种产品还需要增加投资 0.25 万元，经预测知，市场对这种产品的年需求量为 500 件，且当出售的这种产品的数量为 （单位：百件）时，销售所得的收入约为 （万元）.t 215t（1 ）若该公司的年产量为 （单位：百件） 时，试把该公司生产并销售这种x)0(x产品所得的年利润表示为当年产量 的函数.（2 ）当该公司的年产量多大时，当年所得利润最大？解析 （1）当 时，产品全部出售，当 时，产品只能出售 500 件.50x5x ).(2.0()2( ,).)2xxf（2 ）当 时，50,875.)2.9(1.).9()(2xxf当 时， 有最大值7.4f .0maxf当 时， 为单调减函数
10、，55.0)( .7510)(fx又 ， ，此时 （件） ，.180. .1)(axf 475当年产量为 475 件时，利润最大.第三章 单元知识梳理与能力整合一、考点聚焦二、基本思想总结1数形结合的思想数形结合的思想是本章重要的数学思想。例 1某公司试销一种成本单价为 500 元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800 元/件，经试销调查，发现销售量 (件)与销售单价y(元/ 件 )可近似看作一次函数 的关系（如图所示）x bkx。（1 ）根据图象，求一次函数 的表达式；（2 ）设公司获得的毛利润（毛利润=销售总价成本总价）为 S 元。试用销售单价 表示毛利润 S；试
11、问销售单价定为x多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？解析 （1）由图象知，当 时， ；当 时， ，代入60x40y730y中，得bkxy解得,70364.1,bk )805(1xxy（2 ）销售总价= 销售单价销售量= ，成本总价=成本单价销售量=500 ，代入求y y毛利润的公式，得 ).805(620)7(11()2 xxS当销售单价为 750 元/件时，可获得最大毛利润 62500 元，此时销售量为 250 件。点评数形结合有两类题型，一类是函数关系是由图形给出的，另一类是函数关系是一种定性的变化关系，反映在图形上又是怎样的要能正确判断。2用函数与方程的
12、思想解题例 1利用计算器，求方程 的一个近似解（精确到 0.1）.012x解析设 ，先画出函数图象的草图，如图的示.)(2xf因为 ,3,0所以在区间 上，方程 有一解，记为 .1x取 2 与 3 的平均数 2.5因为 ，所以5.)(f .521x再取 2 与 2.5 的平均数 2.25因为 ，所以047.f .1如此继续下去，得 )3,()3(,2ff )4375.2,(0)4375(,).2( .,05. .).()11xffff因为 2.375 与 2.4375 精确到 0.1 的近似值都为 2.4，所以此方程的近似解为 .421x利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解。点评利用函
13、数图象的性质求方程的根，这是因为若 ，且 在0)(bfa)(f内单调，则必存在一个 ，使 成立。),(baxc0)(f三、基本方法总结1方程的根与函数的零点：方程 有实数根 函数 的图象与 轴有xf)(xfy交点 有零点.)(fy2零点判断法如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有xfv,ba，那么，函数 在区间 内有零点，即存在 ，使得0)(bfa)(xfy),(ba),(bac，这个 也就是方程 的根。cc03用二分法求零点的近似值的步骤：第 1 步：确定区间 ，验证 0，给定精确度 ；,ba)(f第 2 步：求区间 的中点 ；).(1x第 3 步：计算 ；1xf（1 ）若
14、，则 就是函数的零点；0（2 ）若 ，则令 此时零点 ；)(fa1b),(10xa（3 ）若 ，则令 此时零点 .1xab第 4 步：判断是否达到精确度 ：即若 ，则得到零点近似值 （或 ） ；否| ab则重复（2 ）（4） 。4函数模型的应用实例解函数应用问题，一般地可按以下四步进行。第一步，阅读理解、认真审题。就是读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息。在此基础上，分析出已知什么，求什么，涉及哪些知识，确定自变量与函数值的意义，尝试找出问题的函数关系，审题时要抓住题目中的关键的量，要勇于尝试、探索，敢
15、于发现、归纳，善于联想、化归，实现应用问题向数学问题的转化。第二步：引进数学符号，建立数学模型。一般地设自变量为 ，函数为 ，并用 表示各相关量，然后根据问题的已知条件，xyx运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型。第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果。第四步：再转译成具体问题作出回答。四、典型例题1读图识图题这类问题是将实际问题用图象表示出来，让同学们根据题意作出符合题意的图象，能够考查学生的读图和识图能力。例 1 （1 ）图是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法中
16、，正确的有（ ）这几年人民的生活水平逐年得到提高；人民生活费收入增长最快的一年是 1998；虽然 2000 年生活费收入增长是缓慢，但由于生活价格指数也略有降低，因而人民的生活仍有较大改善。A1 项 B2 项 C3 项D0 项解析本题主要考查阅读理解能力以及函数曲线变化的观察识别能力，根据图象（如图） ， “生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故正确；“生活费收入指数”1998 年1999年最“陡” ，故正确，生活价格指数下降，而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势，故正确，选 C。（2 ）一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时亮亮的体温基本正常，但是下午
17、他的体温又开始上升，直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫，下列各图能基本上反映出亮亮这一天（0 时24 时）体温的变化情况是（ ）.解析从亮亮的体温变化，可看出图象应为：早晨 37 以上 37(中午)晚上 37以上 37，故选 C。升下午降上午降半夜例 2甲、乙两人连续 6 年对某农村甲鱼养殖业的规模（产量）进行调查，提供了两个方面的信息如图所示。甲调查表明：每个甲鱼池平均出产量从第一年 1 万只甲鱼上升到第 6 年 2 万只。乙调查表明：甲鱼池个数由第 1 个 30 年减少到第 6 年 10 个.请你根据提供的信息说明：（1 ）第 2 年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼的总数；（2 ）到第 6 年这个
18、县的甲鱼养殖业的规模比第 1 年是扩大了还是缩小了？说明理由；（3 ）哪一年的规模最大？说明理由。解析首先根据图象可知，两种调查信息都符合一次函数，因此，可以采用待定系数法求出函数的解析式，下面的问题就容易解决了。（1 ）由图可知，直线 ，经过(1,1)和(6,2)可求得bkxy甲 .80,2.bk ).4(2.0xy甲同理可得 .17乙第 2 年甲鱼池的个数为 26 个，全县出产甲鱼的总数为（万只）.3.16（2 ）规模缩小，原因是：第一年出产甲鱼总数 30 万只，而第 6 年出产甲鱼总数为 20万只。（3 ）设第 年规模最大，即求x的最大值.276.38.0)217(4)(.02 xxy乙
19、甲当 年，9)8.(26x最大.31.7340乙甲 y即第二年规模最大，为 31.2 万只。2与几何图形有关的应用问题我们还会经常遇到有些应用问题与平面几何图形有关，在求数学模型时，要注意平面几何的有关性质的应用。例 1设计一个水槽，其横截面为等腰梯形（如图所示） ，要求满足条件 AB+BC+CD= （常数） ， 写出横截a.120ABC面积 与腰长 间的关系式，并求它的定义域和值域。yx解设 ，则 ，作 于CDABxADE, ，120,6于是 故梯形面积.,2,3xaADxEB.234)(21ay 由实际问题的意义可知：.02.2,xaa又 .123)(43432 axay 当 时， 有最大
20、值 ，即值域为xy21.,0(2例 2某房地产公司要在荒地 ABCDE（如图）上划出一块长方形地面建造一幢公寓，问：如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积（尺寸如图，单位：m） .解析当一端点在 BC 上，只有在 B 点时长方形BB1DC 的面积最大， m2.5601BCDS当一端点在 EA 边上时，只有在 A 点时长方形 的面积最大，DE1 m2.12EA当一端点在 AB 边上时，设该点为 M，如图构造长方形 ，并补出长方形NP，设O).0(xMQ 8P又 且3,20BA,QBO ， ，Qx3x2 ,7023xBCN ).80()37(3xMPSMNDP .1805)(22x当 时，
21、353比较 ，得 最大，此时 m， m.321,S350MQ3125B故当长方形一端落在 AB 边上离 B 点 m 处时，公寓占地面积最大。123、已知和选择函数模型题例 1某地上年度电价为 0.8 元，年用量为 1 亿度，本年度计划将电价调至 0.55 元0.75 元之间，经测算，若电价调至 元，则本年度新增用电量 (亿度) 与 元成反xy)4.0x比例，又当 元时，65.0x.80y（1 ）求 与 之间的函数关系式；y（2 ）若每度电的成本价为 0.3，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加 20%？ 收益= 用电量 (实际电价成本价)解析 （1） 与 成反例，设y4.0x
22、).0(4.kxy把 代入上式，得8.,65.0x 2,65.08 即 与 之间的函数关系式为24.xyyx.51xy（2 ）依题意得，得 %)0()3.(1)3.()51( 整理，得 . 解得03.260,52x经检验 都是所列方程的根，6,01x因 的取值范围是 之间，故 不符合题意，应舍去.x7.所以，取 .答：当电价调至 0.6 元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加 20%。例 2根据总的发展战略，第二阶段，我国工农业生产总值从 2000 年到 2020 年间要翻两番，问这 20 年间，年平均增长率至少要多少，才能完成这一阶段构想？解析这是一个增长率问题，按照每年的顺序，借助指数函数的性质逐步推导出公式，从而建立目标函数.解：设平均每年的增长率为 .x从 2000 年到 2020 年共计 21 个年头，若 2000 年工农业总产值为 1，则2001，2002，2003，的年总产值分别为 第 个年头为,)(,1),(32xxn.)1(nx根据题意，有 ,2)1(0x两边取对数得 ,lg10)lg(lgx ，,3.)lg( 7.%2.7.即平均每年增长 7.2%，就可完成第二阶段的任务。例 3某地新建一个服装厂，从今年 7 月份开始投产，并且前 4 个月的产量分别为
