1、1高三文科数学数列专题练习1. 已知数列 naN是等比数列,且 130,28.naa(1)求数列 的通项公式; (2)求证: 1132naa ； (3)设 lognnb,求数列 b的前 100 项和.1. 解：(1)设等比数列 na的公比为 q.则由等比数列的通项公式 1na得 31q, 284,又 0,2nqL分数列 a的通项公式是 12nn分L.1232312nnaL1,n6分,7,2分QL12318.naa分1log9,22,nnb由 分又 常 数数 列 是 首 项 为 ,公 差 为 的 等 差 数 列 1分 L数列 b的前 100 项和是 1003021S分L22.数列a n中， ，
2、，且满足 常数18a4221naC(1)求常数 和数列的通项公式；C(2)设 ，201220|T(3) ,|nnaa N2解：（1） C1 ， 12565671256720520()|=(+a)+a)Sn nTa ，(3) 29 ,54nnT3. 已知数列 ， 求n2,a=1为 奇 数 ； 为 偶 数 ； 2nS123213521246235-12()()-1 )7)3(4) nnn nnSaaaa.解 ： ）（ 4 .已知数列 的相邻两项 是关于 的方程 N 的两根,且na1,nax02nbx()*1.3(1) 求证: 数列 是等比数列;nna231(2) 求数列 的前 项和 .nbnS4
3、.解：证法 1: 是关于 的方程 N 的两根,1,ax02nbx()* .,21nnb由 ,得 , na1 nnna23131故数列 是首项为 ,公比为 的等比数列. nn231证法 2: 是关于 的方程 N 的两根,1,nax02nbx()* .21nnb ,nnnnaa231231 123nna故数列 是首项为 ,公比为 的等比数列. n11(2)解: 由(1)得 , 即 . 132nnna nna123 119nb. 2nn nnaaS321n1122. 1231nn45.某种汽车购车费用 10 万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计 9 千元，汽车的维修费平均为第一年 2 千元，第二
4、年 4 千元，第三年 6 千元，各年的维修费平均数组成等差数列，问这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年时，年平均费用最少）？6. 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入 800 万元，以后每年投入将比上年减少 ，本年度当地旅游业收入估计为 400 万元，由于该项建设对旅游业51的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 .41(1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元，旅游业总收入为 bn 万元，写出 an,bn 的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？7. 在等比数列a n(nN*)中，已
5、知 a11，q0设 bn=log2an，且 b1b 3b 5=6，b 1b3b5=0(1)求数列a n、b n的通项公式 an、b n；(2)若数列b n的前 n 项和为 Sn，试比较 Sn 与 an 的大小12135561132131322521(), log 0,0.6,6log,24, 4,8.8,. . nnaqbbbaaqqaqq7.解 由 题 设 有 数 列 是 单 调 数 列 又及 知 必 有 即由 及 得 即即 由 得 124()l5. ()(9) (), .90; 12,7;168,;13568,9042,8nnnnnnnbbSaaSS aS； 分由 知当 时 当 或 时 或
6、 或当 时 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 . , ,;47,.(13)nnna综 上 所 述 当 或 或 时 有当 时 有 分、 、 、 、 、58. 已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且 an 是 Sn 与 2 的等差中项，数列 bn中，b 1=1，点 P（b n，b n+1）在直线 x-y+2=0 上。（1）求 a1 和 a2 的值；（2）求数列a n，b n的通项 an 和 bn；（3）设 cn=anbn，求数列c n的前 n 项和 Tn。8. 解：（1）a n 是 Sn 与 2 的等差中项S n=2an-2 a 1=S1=2a1-2，解得 a1=2a1
7、+a2=S2=2a2-2，解得 a2=4 3 分（2）S n=2an-2，S n-1=2an-1-2，又 SnSn-1=an， *),(Na n=2an-2an-1，a n0， *),2(1n，即数列a n是等比树立 a 1=2，a n=2n点 P(bn， bn+1)在直线 x-y+2=0 上，b n-bn+1+2=0，b n+1-bn=2，即数列b n是等差数列，又 b1=1，b n=2n-1， 8 分（3）c n=(2n-1)2nT n=a1b1+ a2b2+anbn=12+322+523+(2n-1)2n，2T n=122+323+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1因此：-T n=1
8、2+(222+223+22n)-(2n-1)2n+1，即：-T n=12+(23+24+2n+1)-(2n-1)2n+1，T n=(2n-3)2n+1+669. 已知数列 na的前 n 项和为 1,4nSa且 12nnSa，数列 b满足 194且 3b(2)N且 （）求 n的通项公式；（）求证：数列 na为等比数列;（）求 nb前 n 项和的最小值9. 解： (1)由 122nS得 12na, 12na2 分 1()4nad 4 分(2) 3b, 13nb, 1 13()26424nnnnb;1 13()42a由上面两式得 13nba,又 90ba数列 n是以-30 为首项 , 为公比的等比数
9、列.8 分(3)由(2)得 10()3nba， 110()30()324nnnba1()2424n = 130()0()3nn ， nb是递增数列 11 分当 n=1 时, 194b0，所以,从第 4 项起的各项均大于 0,故前 3 项之和最小.且 310(5)32S13 分710. 已知等差数列 an的前 9 项和为 153（1）求 5；（2）若 ，82，从数列 n中，依次取出第二项、第四项、第八项，第 2n项，按原来的顺序组成一个新的数列 cn，求数列 cn的前 n 项和 Sn.10. 解：（1） 15392)(9591 aaS175a 5 分（2）设数列 n的公差为 d，则 348115
10、 dd23an9 分S nn nn 248 134823()2612 分11.已知曲线 ： （其中 为自然对数的底数）在点 处的切线与 轴交于点 ，过点 作 轴的Cxye1,Pex1Q1x垂线交曲线 于点 ，曲线 在点 处的切线与 轴交于点 ，过点 作 轴的垂线交曲线 于点 ，1P1x2Q2C2P，依次下去得到一系列点 、 、 ，设点 的坐标为 （ ） 2nn,ny*N（）分别求 与 的表达式； nxy（）求 1i811.解：（） ，xye曲线 ： 在点 处的切线方程为 ，即 C1,P1yexyex此切线与 轴的交点 的坐标为 ，Q0,点 的坐标为 2 分1P0,点 的坐标为 （ ） ，nnx
11、y*N曲线 ： 在点 处的切线方程为 ， 4 分eP,n nxnyex令 ，得点 的横坐标为 y1n1nx数列 是以 0 为首项， 为公差的等差数列x ， （ ） 8 分nnye*（） 1231 .i nxyxy 410123212 112 .() ()()().() nnnnSeeeSeee 得 到 ： 14 分12. 在数列 )0,(2)(,2111 Nna，annn中（1） 求证：数列 ()n是等差数列；（2） 求数列 a的前 n 项和 nS；12. 解：（1）由 1*1(2),(,0)nnn N，可得12()nnaa所以 ()n是首项为 0，公差为 1 的等差数列. 9（2）解：因为
12、2()1na即 *()2,()nnaN设 231()nnT 4 12()n当 1时， 得 2341(1) ()nnnT2()n211212()()()nnnnnT13. 在等差数列 中，公差 ，且 ，nad 056a（1）求 的值46（2）当 时，在数列 中是否存在一项 （ 正整数） ，使得 ， ， 成等比数列，若存3nm3a5m在，求 的值；若不存在，说明理由m（3）若自然数 ( 为正整数) 满足 ， 使得123t , ,t51n2tn成等比数列，当 时， 用 表示 1t5nna ,a 32att13. 解：（1）在等差数列 中，公差 ，且 ，d 056则 3 分546462 ,1210（2
13、）在等差数列 中，公差 ，且 ，nad 056a3则 1314621nd = , ,2 nN又 则 7 分235ma3m3a ,= ,m=9（3）在等差数列 中，公差 ，且 ，nd0563a则 12 4461nd =2 ,a ,2 ,Na 又因为公比 首项 ，53q ,313ttn a又因为 12 分1124422t ttnt t ta , n , nN14. 已知二次函数 满足条件: ; 的最小值为 .2()fxab(0)1f()fx18()求函数 的解析式;()设数列 的前 项积为 , 且 , 求数列 的通项公式;nnT()45fnna() 在() 的条件下, 若 是 与 的等差中项, 试问数列 中第几项的5()fabn b值最小? 求出这个最小值.14.解: (1) 由题知: , 解得 , 故 . 2 分20148ab12b21()fxx(2) , 2125nnnTa
