1、 1 一元二次不等式解法【基础知识精讲】1.一元二次不等式(1)一元二次不等式经过变形，可以化成如下标准形式：ax 2+bx+c0(a0);ax 2+bx+c0(a0).2.一元二次函数的图像、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集对比表二次函数 情况 一元二次方程 一元二次不等式y=ax2+bx+c(a0) =b2-4acax2+bx+c=0(a0)ax2+bx+c0(a0)ax2+bx+c0(a0)0x1= x2= 不等式解集为xxx 1或xx 2不等式解集为xx 1xx 2=0x1=x2=x0= 不等式解集xxx 0,xR解集为 图像与解0 方程无解 不等式解集为R(一切实数) 解集为
2、a0 的情况自己完成3.一元 n 次不等式(x-a1)(x-a2)(x-an)0,(x-a1)(x-a2)(x-an)0，其中 a1a 2a n. 2 把 a1,a2,an按大小顺序标在数轴上，则不等式的解的区间如图所示：4.分式不等式( ,bj互不相等)把 a1,a2,an和 b1,b2，b m按照从小到大的顺序标在数轴上，该分式不等式的解的区间的情况与(3)中所述类似，分 n+m 为奇数或偶数在数轴上表示.综合可知，一元二次不等式的解法充分运用了“函数与方程”，“数形结合”及“化归”的数学思想，一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根就是使二次函数 y=ax2+bx+c 的函数值为零时对应
3、的 x 值，一元二次不等式 ax2+bx+c0，ax 2+bx+c0 的解就是使二次函数 y=ax2+bx+c 的函数值大于零或小于零时 x 的取值范围，因此解一元二次方程 ax2+bx+c0，ax 2+bx+c0 一般要画与之对应的二次函数 y=ax2+bx+c 的图像.【重点难点解析】本小节重点是一元二次不等式的解法，难点是一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系及运用一元二次不等式解决某些应用问题。例 1 解下列关于 x 的不等式：(1)2x+3-x20;(2)x(x+2)-1x(3-x);(3)x2-2 x+30;(4)x2+6(x+3)3;分析 解一元二次不等式一般步骤是：化为标
4、准形式；确定判别式=b 2-4ac 的符号；若0，则求出该不等式对应的二次方程的根；若0，则对应二次方程无根；联系二次函数的图像得出不等式的解集. 3 特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集(在两根之内或两根之外).解：(1)原不等式可化为x2-2x-30,(x-3)(x+1)0. 不等式的解集为x-1x3.(2)原不等式可化为2x2-x-20,(2x+1)(x-1)0. 不等式的解集为xx- ，或 x1.(3)原不等式可化为(x- )20. 不等式的解集为xxR 且 x .(4)原不等式可化为x2+6x+150. 0，方程 x2+6x+15=0 无实根
5、， 不等式的解集为 R.评析 熟练掌握一元二次方程、二次函数、一元二次不等式三者之间的关系，再加上熟练地分解因式、配方技能，解一元二次不等式就能得心应手.例 2 解不等式 2.解：原不等式可化为 -20, 4 即为 0，分子、分母必须同号，即可化为 由于-2x 2-x-1 恒为负值，不等式除以(-2x 2-x-1)得 即 x2+2x-30，即(x+3)(x-1)0.解之得-3x1.原不等式的解集为x-3x1.遇到分式不等式，一般应化为右边为零的形式，即化为 0，然后转化为 (当分式不等式的分母恒为正(或为负)时，可以去分母，如 0 x-10 且 )例 3 若函数 f(x)=ax2+bx+c(a
6、0)对任意的实数 t,都有 f(2+t)=f(2-t)，下列不等式成立的是( )A.f(1)f(2)f(4) B.f(2)f(1)f(4)C.f(2)f(4)f(1) D.f(4)f(2)f(1)分析 由条件知 x=2 为对称轴，f(2)最小，f(1)=f(3)，函数在(2，+)上为增函数，故选 B.评析 熟记结论：对 f(x)若恒有 f(a+x)=f(a-x)成立，则函数的图像关于直线 x=a 对称.例 4 已知不等式 ax2+bx+20 的解为- x ，求 a，b 值.解：方法一：显然 a0，由(x+ )(x- )0，得 6x2+x-10，变形得-12x 2-2x+20，故 a=-12,b
7、=-2. 5 方法二：x=- 与 x= 是 ax2+bx+2=0 的两根，故有 解得 评析 这里应注意韦达定理的应用.【难解巧解点拨】例 1 若 x2+qx+q0 的解集是x2x4，求实数 p、q 的值.分析 在本题中，已知不等式的解集，要求确定其系数，这和解不等式的问题(已知系数求其解集)正好是互为逆向的两类问题.这类问题可以用下面的方法来解.先作出一个解集符合要求的不等式；根据不等式同解的要求，确定其系数的数值.解：不等式(x-2)(x-4)0 的解集为x2x4.即为 x2-6x+80. 即-x 2+6x-80.这与题中要求的不等式 x2+qx+p0 是同解且同向的二次不等式.其对应的系数
8、成比例，且比值为正数(即二次项系数之值同号). = = 0 解得 p=-2 ,q= .说明 利用上法确定不等式系数时，必须注意：将两不等式化为同向不等式同向二次不等式的二次项系数同号，否则就会产生错误.例 2 设 A=x-2x-1,或 x1，B=xx 2+ax+b0，已知 AB=xx-2，AB=x1x3，试求 a,b 的值.分析 在本题求解时要正确利用图形进行分析. 6 解：如图所示，设 B=xx设想集合 B 所表示的范围在数轴上移动，显然当且仅当 B“覆盖”住集合x-1x3，才能使 AB=x1x3“-1 且 1”，并且 -1 及 =3.=-1,=3.因此 B=x-1x3，根据二次不等式与二次
9、方程的关系，可知-1 与 3 是方程x2+ax+b=0 的两根.a=-(-1+3)=-2,b=(-1)3=-3.说明 类似问题一定要借助数轴上的区间来考虑.同时要认真考查端点情况.例 3 已知 f(x)=x2+2(a-2)x+4.(1)如果对一切 xR，f(x)0 恒成立，求实数 a 的取值范围.(2)如果对 x-3，1，f(x)0 成立，求实数 a 的取值范围.解：f(x)的图像开口向上.(1)对一切实数 x，f(x)0，则0，即(a-2) 2-40，0a4；(2)当 x-3，1时，f(x)0，对称轴 2-a 可在区间内，也可在区间外， 或 或 解得- a4评析 函数 f(x)在给定区间上
10、f(x)0(或 f(x)0) f(x)在该区间上的最小(或最大)值大于(或小于)零.只有深刻理解了二次函数在给定区间上的最值意义，才能正确处理函数的局部性质与整体性质的关系. 7 【课本难题解答】课本第 22 页 习题 1.5 第 8 题解：原不等式可化为(3x-4)(2x+5)0 x- 或 x 所以解集为xx- 或 x 解：原不等式可化为(2x-15)(5x+2)0 或 x= - x 或 x= 即- x 所以解集为x- x 【命题趋势分析】一元一次不等式，一元二次不等式是最简单的不等式.历年高考中，都涉及到解不等式的题目，对解有理不等式、无理不等式，解指数和对数不等式，解绝对值不等式都进行了
11、考查，而解这些类型的不等式最终都要转化成一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来解.平时要求学生熟练掌握一元二次不等式(组)的解，并能灵活应用.【典型热点考题】例 1 不等式 1 解集是 .分析 解不等式一般将一边变为零再处理解：将 1 变形为 -10，通分得 0 即解：(x-4)(x+3)0解得 x-3 或 x4应填：x-3 或 x4 8 注意 本题属 0 型不等式，解此类问题一般是运用等价转化的思想将其转化为一元二次不等式来解或一元一次不等式组来解.例 2 设全集为 R，A=xx 2-5x-60，B=xx-5a(a 是常数)，且 11B，则( )A.CRAB=R B.AC RB=R C
12、.CRAC RB=R D.AB=R分析 本题考查二次不等式和绝对值不等式的解法，集合间的关系，先需分别解出集合A、B，再根据 11B 这一条件确定 a 值范围，最后在数轴上判断集合间并集结果。解：A=xx 2-5x-60=x(x-6)(x+1)0=xx-1 或 x6B=xx-5a=x-ax-5a=x5-ax5+a.11B 5+a11 a6 从而 5-a-1.由数轴图可看出，AB=R. 应选 D.注意 (1)本题主要考查一元二次不等式，含绝对值不等式的解法，以及集合关系(并集、补集).(2)作出数轴图，将抽象的字母和数字在数轴上表示出来，进行比较，由此判定出结果，是我们解此类问题常采用的方法.例
13、 3 不等式x 2-3x4 的解集是 .解：x 2-3x4x 2-3x-4 或 x2-3x4即 x2-3x+40 或x2-3x-40由可化为(x- )2+ 0，显然解为 .由可化为(x+1)(x-4)0，得解为 x-1 或 x4.应填：xx-1 或 x4. 9 注意 (1)本题主要考查含有绝对值不等式和一元二次不等式的解法.(2)将含有绝对值不等式转化为一元二次不等式来解，是解好本题的关键.例 4 公园要建造一个圆形喷水池.在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子 OA，O 恰在水面中心，OA=1.25 米，安置在柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过
14、OA 的任一平面上抛物线路径如下左图所示.为使水流形状较为漂亮，设计成水流在到 OA 距离为 1 米处达到距水平最大高度为 2.25 米，如果不计其他因素，那么水池半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外?分析 由题意可知，本题可借助抛物线这一数学模型求解.关键是要根据题设条件求出所需的具体抛物线方程.为此，以 O 为原点，以 OA 所在直线为 y 轴，水面中垂直 OA 的直线为 x轴建立直角坐标系，如上右图所示，则水流所呈现的抛物线方程为y=a(x-1)2+2.25.由题意，点 A 的坐标为(0，1.25)，把 x=0,y=1.25 代入方程解得 a=-1，于是抛物线方程为y=-(x-
15、1)2+2.25.令 y=0，得-(x-1) 2+2.25=0，解得 x1=2.5，x 2=-0.5(不合题意，舍去).所以水池半径至少要 2.5 米，才能使水流不落到池外.说明 本例在已知解题数学模型(抛物线)的前提下，分析题设的一些数量关系，然后确定解题所需的具体的数学模型(即抛物线方程).【同步达纲练习】一、选择题1.已知集合 A=xx 2-2x-30 ，B=xxa ，若 B A，则实数 a 的取值范围是( )A.0a1； B.a1； C.-1a3； D.a1.2.集合 A=xx 2-3x-100，xZ，B=x2x 2-x-60，xZ，则 AB 的子集的个数为( ) 10 A.16； B
16、.8； C.15； D.7.3.不等式 0 的解集是( )A.x-1x3 B.xx-1，或 x3C.xx-1，或 x3 D.x-1x34.若对于任何实数，二次函数 y=ax2-x+c 的值恒为负，那么 a、c 应满足( )A.a0 且 ac B.a0 且 ac C.a0 且 ac D.a0 且 ac05.考察下列集合：(1)xx-11 ；(2)xx 2-3x+20；(3)x 0；(4)x 0，其中是集合 A=x1x2 的子集的有( )A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个6.在下列各不等式(组)中，解集为空集的是( )A.x2+x+1 ； B.x-1+x-21；C. (其中 0a1 ； D.x 2-(a+ )x+10(其中 a0).二、填空题1.使函数 y= + 有意义的 x 的取值范围是 .2.不等式 ax2+bx+20 的解集是x- x ,则 a+b= .
