1、指数函数概念：一般地，函数 y=ax（a0，且 a1）叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是 R。注意：指数函数对外形要求严格，前系数要为 1，否则不能为指数函数。指数函数的定义仅是形式定义。指数函数的图像与性质：规律：1. 当 两 个 指 数 函 数 中 的 a 互 为 倒 数 时 ， 两 个 函 数 关 于 y 轴 对 称 ， 但 这两 个 函 数 都 不 具 有 奇 偶 性 。2.当 a1 时，底数越大，图像上升的越快，在 y 轴的右侧，图像越靠近 y 轴；当 0a1 时，底数越小，图像下降的越快，在 y 轴的左侧，图像越靠近 y 轴。在 y 轴 右 边 “底 大 图 高 ”；
2、 在 y 轴 左 边 “底 大 图 低 ”。3.四字口诀：“大增小减” 。即：当 a1 时，图像在 R 上是增函数；当 0a1 时，图像在 R 上是减函数。4. 指 数 函 数 既 不 是 奇 函 数 也 不 是 偶 函 数 。比较幂式大小的方法：1. 当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论；3. 当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；4. 对多个数进行比较，可用 0 或 1 作为中间量进行比较底数的平移：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。 在 f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下
3、平移。 对数函数1.对数函数的概念由于指数函数 y=ax 在定义域(-，+) 上是单调函数，所以它存在反函数，我们把指数函数 y=ax(a0，a1)的反函数称为对数函数，并记为 y=logax(a0，a1).因为指数函数 y=ax 的定义域为(-，+) ，值域为(0，+)，所以对数函数 y=logax 的定义域为(0 ，+ )，值域为(-，+).2.对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线 y=x. 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.为了研究对数函数 y=logax(a0，a1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数y=log2x，y=log 10
4、x，y=log 10x,y=log x,y=log x 的草图2110由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数y=logax(a0， a1)的图像的特征和性质 .见下表.a1 a1图象(1)x0(2)当 x=1 时，y=0(3)当 x1 时，y00x1 时，y0(3)当 x1 时，y00x1 时，y0性质(4)在(0， +)上是增函数 (4)在(0， +)上是减函数补充性质设 y1=logax y2=logbx 其中 a1，b1(或 0a1 0b1)当 x1 时“底大图低”即若 ab 则 y1y 2当 0x1 时“底大图高”即若 ab，则 y1y 2比较对数大小的常用方法有
5、：(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断 .(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.(3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较 .(4)若底数、真数都不相同，则常借助 1、0、-1 等中间量进行比较.3.指数函数与对数函数对比名称 指数函数 对数函数一般形式 y=ax(a0，a1) y=logax(a0，a1)定义域 (-，+) (0，+ )值域 (0，+ ) (-，+ )函数值变化情况当 a1 时，)0(x当 0a1 时，)(x当 a1 时)(0logxa当 0a1 时，)(logxa单调性 当 a1 时，a x 是增函数；当 0
6、a1 时，a x 是减函数.当 a1 时，log ax 是增函数；当 0a1 时，log ax 是减函数.图像 y=ax 的图像与 y=logax 的图像关于直线 y=x 对称.幂函数幂函数的图像与性质幂函数 随着 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像nyx分类记忆的方法熟练掌握 ，当 的图像和性质，列表如下nyx12,3从中可以归纳出以下结论： 它们都过点 ，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂1,函数图像都不过第四象限 时，幂函数图像过原点且在 上是增函数,2,3a0, 时，幂函数图像不过原点且在 上是减函数1 任何两个幂函数最多有三个公共点 nyx奇函数 偶
7、函数 非奇非偶函数1nO xyO xyO xy01nO xyO xyO xy0nO xyO xyO xyyx2yx3yx12yx1yx定义域 R R R |0|0奇偶性 奇 奇 奇 非奇非偶 奇在第象限的增减性在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递减幂函数 yx（ R， 是常数）的图像 在第一象限的分布规律是：所有幂函数 yx（ R， 是常数）的图像都过点 )1,(；当 21,3时函数 yx的图像都过原点 )0,(；当 1时，的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如 2c） ；当 3,2时， yx的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如 1）当1时， 的的图
8、像在第一象限是“凸型”曲线（如 3c）当 1时， yx的的图像不过原点 )0,(，且在第一象限是“下滑”曲线（如 4c）当 0时，幂函数 yx有下列性质：（1）图象都通过点 )1,(0；（2）在第一象限内都是增函数；（3）在第一象限内， 1时，图象是向下凸的； 10时，图象是向上凸的；（4）在第一象限内，过点 ),(后，图象向右上方无限伸展。当 0时，幂函数 yx有下列性质：（1）图象都通过点 )1,(；（2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的；（3）在第一象限内，图象向上与 y轴无限地接近；向右无限地与 x轴无限地接近；（4）在第一象限内，过点 )1,(后， 越大，图象下落的速度越快。无
9、论 取任何实数，幂函数 yx的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。对号函数函数 （a0,b0）叫做对号函数，因其在（0，+）的图象似符号xbay“”而得名，利用对号函数的图象及均值不等式，当 x0 时， （当且仅abx2当 即 时取等号） ，由此可得函数 （a0,b0,xR +）的性质:xbaaxbay当 时，函数 （a0,b0,xR +）有最小值 ，特别地，当abxxbayab2a=b=1 时函数有最小值 2。函数 （a0,b0）在区间（0， ）上是减函数，在区间（ ，+ ）上是增函数。ab因为函数 （a0,b0）是奇函数，所以可得函数xbay（a0,b0,xR -）的性质：xy当
10、 时，函数 （a0,b0,xR -）有最大值- ，特别地，当abxbayab2a=b=1 时函数有最大值-2。函数 （a0,b0）在区间（-，- ）上是增函数，在区间（- ，0）上是减函ab奇函数和偶函数（1）如果对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x 值，都有 f(x)=(x)那么就称 f(x)为奇函数 如果对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x 值，都有 f(x)=f(x)，那么就称 f(x)为偶函数 说明：(1)由奇函数、偶函数的定义可知，只有当 f(x)的定义域是关于原点成对称的若干区间时，才有可能是奇 (2)判断是不是奇函数或偶函数，不能轻率从事，例如判断 f(x) 是不易的
11、为了便于判断有时可采取如下办法：计算 f(x)+f(x)，视其结果而说明是否是奇函数用这个方法判断此函数较为方便：f(x) (3)判断函数的奇偶性时，还应注意是否对定义域内的任何 x 值， 当 x0 时，显然有 f(x)= f(x)，但当 x=0 时，f(x)=f(x)=1，f(x)为非奇非偶函数 (4)奇函数的图象特征是关于坐标原点为对称的中心对称图形；偶函数的图象特征是关于y 轴为对称轴的对称图形 (5)函数的单调性与奇偶性综合应用时，尤其要注意由它们的定义出发来进行论证 例 如果函数 f(x)是奇函数，并且在(0，+ )上是增函数，试判断在(，0) 上的增减性 解 设 x1，x2(，0)
12、，且 x1x20 则有x1x20， f(x) 在(0，+)上是增函数， f(x1) f(x2) 又f(x) 是奇函数， f(x)=f(x)对任意 x 成立， =f(x1)f(x2) f(x1) f(x2) f(x) 在( ，0)上也为增函数 由此可得出结论：一个奇函数若在(0，+ )上是增函数，则在 (，0)上也必是增函数，即奇函数在(0，+)上与(，0) 上的奇偶性相同 类似地可以证明，偶函数在(0，+ )和(，0) 上的奇偶性恰好相反 时，f(x) 的解析式 解 x0，x0 又f(x) 是奇函数， f(x)=f(x)偶函数图象对称性的拓广与应用我们知道，如果对于函数 yf(x)定义域内任意一个 x，都有 f(x)f(x)，那么函数 yf(x)就叫做偶函数偶函数的图象关于 y 轴对称，反之亦真由此可拓广如下：如果存在常数 a，b，对于函数 yf(x)定义域内任意一个x，a+x，b-x 仍在(a+b-x，f(x)，而 f(abx)fa(bx)fb(bx)f(x)，对称点 P(a+b-x，
