1、1三角函数知识点与常见习题类型解法1、任意角的三角函数：（1）弧长公式： R 为圆弧的半径， 为圆心角弧度数， 为弧长。alal（2）扇形的面积公式： R 为圆弧的半径， 为弧长。lS21l（3）同角三角函数关系式：倒数关系： 商数关系： ， cottanacosintasincot平方关系： 1ssi22（4）诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限） 所谓奇偶指的是整数 的奇偶性；kk函 数xxsinxcosxtanxcotaaa2 cossincottn2、两角和与差的三角函数：（1）两角和与差公式： sincos)cos(ainiat1t)(ta【注：公式的逆用或者变形】（2）二倍角公式：a
2、cosin2si1cos2sin1co2 aa2t1t从二倍角的余弦公式里面可得出：降幂公式： ， 2coscs2a2cos1sin2a（3）半角公式（可由降幂公式推导出）：， ，2cos1sinaa2o1aasincicst 23、三角函数的图像和性质：（其中 ）zk三角函数 xysinxycosxytan图像定义域 （-，+） （-，+） 2kx值域 -1,1 -1,1 （-，+）最小正周期 2T2TT奇偶性 奇 偶 奇单调性单调递增2,k单调递减3单调递增,)1(k单调递减2单调递增)2,(k对称性 对称轴： 2kx对称中心： )0,(对称轴： kx对称中心： )0,2(对称中心： )0
3、,2(k零值点 kx kx最值点1,2maxy1,2maxyk)(无4、函数 的图像与性质：)sin(xAy（本节知识考察一般能化成形如 图像及性质）)sin(xAy（1）函数 和 的周期都是)sin(xyco2T（2）函数 和 的周期都是)ta(A)t(xAy（3）五点法作 的简图，设 ，取 0、 、 、 、 来求相应 的值sinxyt232x以及对应的 值再描点作图。（4）关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换，提倡先平移后伸缩。切记每一个变换总是对字母 而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是 “角变化”多少。x3【函数的平移变换】： 将 图像沿 轴向左（右）平移 个单位（左加
4、右减）)0()(axfyf )(xfya 将 图像沿 轴向上（下）平移 个单位（上加下减）)byb【函数的伸缩变换】： 将 图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的 倍)0()(wxfyxfy )(xfyw1（ 缩短， 伸长）1w10 将 图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的 A 倍（)()(Aff )(f伸长， 缩短）A【函数的对称变换】： ) 将 图像绕 轴翻折 180（整体翻折） ；()(xfyxfy)(xfyy（对三角函数来说：图像关于 轴对称） 将 图像绕 轴翻折 180（整体翻折） ；)()(ff )(f（对三角函数来说：图像关于 轴对称）y 将 图像在 轴右侧保留，并把右侧图像绕 轴翻折到
5、左侧（偶)()(xfyxfy)(xfyy函数局部翻折） ； 保留 在 轴上方图像， 轴下方图像绕 轴翻折上去（局部翻动）)()(ff )(fyxx5、方法技巧三角函数恒等变形的基本策略。（1）常值代换：特别是用“1”的代换；如 等。45tancotancossin22 x（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项： ；a222222 cos1cs)(sii 配凑角： ； 等。)( （3）降次与升次；切化弦法。（4）引入辅助角。，这里辅助角 所在象限由)cos()sin(cossin 22 bababay 的符号确定， 角的值由 确定。b、 t【典型例题】：1、已知 ，求 的值2tanxxcos,in4
6、解：因为 ，又 ，2cosintax1cossin22a联立得 ，1si22解这个方程组得 .5cos2in,5cosinxx2、求 的值。)30s()1sin()690ta(48i2解：原式 )306cos()150sin()3720tan( 12i8co1 .3cos)15si(3t(63、若 ，求 的值,2csinxxin解：法一：因为 ,osi所以 )cs(isx得到 ，又 ，联立方程组，解得xcs3in1on22a， 10cosi10cosixx所以 3in法二：因为 ,2cosix所以 ，)(ncsix所以 ，所以 ，22si4)(n xxcosin84cosin15所以有 103
7、cosinx4、求证： 。x222sintata证明：法一：右边 ；2222222 sinta)cos1(tan)cos(tantsinta xxxxx 法二：左边= 222222222 sinta)co1(ttt)1(tit x5、求函数 在区间 上的值域。)6sin(xy,0解：因为 ，所以 ， 由正弦函数的图象，得到20x20x6726x，所以1,)62sin(y ,1)sin(y6、求下列函数的值域（1） ； （2） )2cossin2xy cos(incosi xxy解：（1） 2cossin2xy= 3)cos(2x6令 ，则xtcos ,413)2(413)2(3)(,12 tt
8、tyt利用二次函数的图象得到 .4(2) )cos(incsi2xxy= 1)o(n2令 ，则xtcsi)4i(x2,t则 利用二次函数的图象得到,2ty .145y7、若函数 y=Asin(x + )( 0， 0)的图象的一个最高点为 ，它到其相邻的最低点之)2,(间的图象与 x 轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式。解：由最高点为 ，得到 ，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与 x 轴交点的间隔是)2,(2A个周期，这样求得 ， T=16，所以4148又由 ，得到可以取)28sin(2 ).48sin(2.4xy8、已知函数 f(x)=cos4x2sin xcosxsin 4x()求
9、f(x)的最小正周期； ()若 求 f(x)的最大值、最小值数 的值,0xycos3in1域7解：()因为 f(x)=cos4x2sin xcosxsin4 x(cos 2xsin 2x)(cos2xsin 2x)sin2 x4sin()4sin(2sico2sin)i(cos2 所以最小正周期为 ()若 ，则 ，所以当 x=0 时， f(x)取最大值为 当,0x43,)(x ;1)4sin(2时， f(x)取最小值为83x.29、已知 ，求（1 ） ；（2） 的值.tansinco22cos.sini解：（1） ；231tancosi1sinco (2) 2222 cosiisi.3411c
10、osin2 说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到） ，进行弦、切互化，就会使解题过程简化。10、求函数 的值域。21sinco(sinco)yxx解：设 ，则原函数可化为sinco2sin()24txx周8，因为 ，所以2213()4ytt2t周当 时， ，当 时， ，maxy1min34y所以，函数的值域为 。3周11、已知函数 ；（1）求 的最小正周期、 的最大值2()4sini2fxxR周()fx()fx及此时 x 的集合；（2）证明：函数 的图像关于直线 对称。()f 8解： 2 2()4sini2sin(1sin)fxxxxcos)4(1)所以 的最小正周期 ，
11、因为 ，()fxTxR所以，当 ，即 时， 最大值为 ；242k38k()f2(2)证明：欲证明函数 的图像关于直线 对称，只要证明对任意 ，有()fxxxR成立，()(8fxf因为 ，2sin()2sin(2)cos284xxx，()fx所以 成立，从而函数 的图像关于直线 对称。()8fx()fx8x12 、已知函数 y= cos2x+ sinxcosx+1 （xR）,13（1）当函数 y 取得最大值时，求自变量 x 的集合；（2）该函数的图像可由 y=sinx(xR)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？9解：（1）y= cos2x+ sinxcosx+1= (2cos2x1)+ + （2
12、sinxcosx）+1341413= cos2x+ sin2x+ = (cos2xsin +sin2xcos )+45665= sin(2x+ )+264所以 y 取最大值时，只需 2x+ = +2k,（kZ） ，即 x= +k,（kZ） 。2所以当函数 y 取最大值时，自变量 x 的集合为x|x= +k,kZ6（2）将函数 y=sinx 依次进行如下变换：（i）把函数 y=sinx 的图像向左平移 ，得到函数 y=sin(x+ )的图像；6（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变） ，得到函数 y=sin(2x+ )的图216像；（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原
13、来的 倍（横坐标不变） ，得到函数 y= sin(2x+ )的21图像； （iv）把得到的图像向上平移 个单位长度，得到函数 y= sin(2x+ )+ 的图像。4521645综上得到 y= cos2x+ sinxcosx+1 的图像。13历年高考综合题一、选择题：1、 （08 全国一 6） 是（ ）2(sinco)1yxA、最小正周期为 的偶函数 B、最小正周期为 的奇函数22C、最小正周期为 的偶函数 D、最小正周期为 的奇函数2、 （08 全国一 9）为得到函数 的图象，只需将函数 的图像（ ）cos3yxsinyxA、向左平移 个长度单位 B、向右平移 个长度单位6610C、向左平移
14、个长度单位 D、向右平移 个长度单位56563、(08 全国二 1)若 且 是，则 是（ ）sin0taA、第一象限角 B、第二象限角 C、 第三象限角 D、 第四象限角4、 （08 全国二 10） 函数 的最大值为（ ）xxfcosi)(A、1 B、 C、 D、2235、 （08 安徽卷 8）函数 图像的对称轴方程可能是（ ）sin()3yxA、 B、 C、 D、6x126x12x6、 （08 福建卷 7）函数 y=cosx(xR)的图象向左平移 个单位后，得到函数 y=g(x)的图象，则 g(x)的2解析式为 ( )A、-sin x B、sin x C、-cos x D、cos x7、 （
15、08 广东卷 5）已知函数 ，则 是（ ）2()1cos)in,f R()fA、最小正周期为 的奇函数 B、最小正周期为 的奇函数C、最小正周期为 的偶函数 D、最小正周期为 的偶函数28、 （08 海南卷 11）函数 的最小值和最大值分别为（ ）()cos2infxxA、 3，1 B、2，2 C、3， D、2， 39、 （08 湖北卷 7）将函数 的图象 F 向右平移 个单位长度得到图象 F，若 F的一条对si()yx称轴是直线 则 的一个可能取值是（ ）,1xA、 B、 C、 D、 52512121210、 （08 江西卷 6）函数 是（ ）sin()xfxA、以 为周期的偶函数 B、以 为周期的奇函数4 2C、以 为周期的偶函数 D、以 为周期的奇函数2 411、若动直线 与函数 和 的图像分别交于 两点，则 的最大值xa()sinfx()cosgxMN，为 （ ）A、1 B、 C、 D、22312、 （08 山东卷 10）已知 ，则 的值是（ ）4cossin657sin6
