1、 天道酬勤 王江编撰 1函数综合题分类复习题型一：关于函数的单调区间（若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开） ，极值，最值；不等式恒成立；此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令 得到两个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知；0)(xf不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种：第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元） ；第二种：分离变量求最值（请同学们参考例 5） ；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值-题型特征 恒成立)(xgf恒成立；参考例 4；)()(gfh例 1.已知函数 ， 是 的一个
2、极值点321xbxa2x)(f（）求 的单调递增区间；（）若当 时， 恒成立，求 的取值范围()f 1, 323xaa例 2.已知函数 23的图象过点 ),0(P.（1）若函数 xf在 1处的切线斜率为 6，求函数 fy的解析式；（2）若 3，求函数 )(xfy的单调区间。例 3.设 。2(),f()5()gax（1）求 在 上的值域；x0（2）若对于任意 ，总存在 ,使得 成立,求 的取值范围。1,0101()gxfa例 4.已知函数 图象上一点 的切线斜率为 ，32()fx)Pb3326()(tgxtt（）求 的值； （）当 时，求 的值域；,ab1,4()fx（）当 时，不等式 恒成立，
3、求实数 t 的取值范围。14)fxg例 5.已知定义在 上的函数 在区间 上的最大值是 5，最小值是11.R32()ab）（ 0a2,1（）求函数 的解析式；（）若 时， 恒成立，求实数 的取值范围.f ,t(tf） x例 6.已知函数 ，在 时有极值 0，则 23)(mnx1xnm例 7.已知函数 图象上斜率为 3 的两条切线间的距离为 ，函数 af 53)(2abfg（1） 若函数 在 处有极值，求 的解析式；)(g1)(g（2） 若函数 在区间 上为增函数，且 在区间 上都成立，求实数 的取值范围x,)(42xb1,m答案：1、解：（） . 是 的一个极值点，2()fbx)(f 是方程
4、的一个根，解得 . x032令 ，则 ，解得 或 . ()0f23x1函数 的单调递增区间为 ， . yf(, )(,+)（）当 时 ， 时 ，1,)f3x0fx 在（1，2）上单调递减， 在（2，3）上单调递增. 是 在区间1，3 上的最小值，且 ()fx (2)ffx. 若当 时，要使 恒成立，只需 ， 即 ，解得 3a, x2()fa23a23a. 02、解：（） af2)( 由题意知 63)(0fb，得 b 33xx 天道酬勤 王江编撰 2（） 023)(axxf 3， 0124a由 0解得2a或 3x，由 )(xf解得 32 10 的单调增区间为： ),(2a和 ),3(2a；)(x
5、f的单调减区间为： 3,3(2a12 分3、解：(1)法一:(导数法) 在 上恒成立.224(1)4) 0(1)xxf,1x 在0,1上增， 值域0,1。(fx法二: , 复合函数求值域.220,)(11f x法三: 用双勾函数求值域.2()4)22() (1)4xf xx(2) 值域0,1 ， 在 上的值域 .5(0ga,5,a由条件,只须 ， .0,1,2a特别说明：要深刻理解本题的题意及子区间的解题思路，联想 2008 年全国一卷第 21 题，那是单调区间的子区间问题；4、解：（） ， 解得/2()3fxx/(1)3fba3ab（）由（）知， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递
6、减又,00,22,4minmax(1),(0),()()4()()16ffffff 的值域是x416（）令 213,thfgx要使 恒成立，只需 ，即()f()0h2()6tx（1）当 时 解得 ；,2x26,tx（2）当 时 ；R（3）当 时 解得 ；综上所述所求 t 的范围是(,42t8t(,18,)特别说明：分类与整合，千万别忘了整合即最后要写“综上可知” ，分类一定要序号化；5、解：（） 32 2),()3434fxaxbfxax令 =0,得 (140,1因为 ，所以可得下表：ax2,0 0,1()f+ 0 -天道酬勤 王江编撰 3()fx 极大 因此 必为最大值, 因此 ， ，050
7、）（fb(2)165,(),(1)2faff即 ， ， 16)2(af a.23x）（） ， 等价于 ， 令 ，则问题xx432 0(txf） 04t xxtg432就是 在 上恒成立时，求实数 的取值范围，为此只需 ，即 ， )(gt,t )1(（ 052解得 ，所以所求实数 的取值范围是0，1. 106、11 （ 说明：通过此题旨在提醒同学们“导数等于零”的根不一定都是极值点，但极值点一定是“导数等于零”方程的根；）7、解： ，由 有 ，即切点坐标为 ，23)(xaf 32xa),(a),切线方程为 ，或 ，整理得 或)(y)(y023yx023ayx ，解得 ， ， 。 （1） ，510
8、)(3|2|21f)(bg bxg3)(2在 处有极值， ，即 ，解得 ，xg)(g032b1)(3x（2）函数 在区间 上为增函数， 在区间 上恒成立， ，又,3)(2xg,0在区间 上恒成立， ，即 ， 在)(4xmb1)(4gmbmb423m上恒成立， 的取值范围是 0,(,题型二：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与 x 轴即方程根的个数问题；（1）已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种：第一种：转化为恒成立问题即 在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立问题；用分离变量时要特0)()( xff或别注意是否需分类讨论（看是否在 0 的同侧） ，如果是同侧则
9、不必分类讨论；若在 0 的两侧，则必须分类讨论，要注意两边同处以一个负数时不等号的方向要改变呀！有时分离变量解不出来，则必须用另外的方法；第二种：利用子区间（即子集思想） ；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；参考 08 年高考题；第三种方法：利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值与 0 的关系和对称轴相对区间的位置；可参考第二次市统考试卷；特别说明：做题时一定要看清楚“在（a,b）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b） ”，要弄清楚两句话的区别；请参考资料高考教练83 页第 3 题和清明节假期作业上的第 20 题（金考卷第 5 套） ；（2）函数与 x
10、 轴即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图” （即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减” ；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组） ；主要看极大值和极小值与 0 的关系；第三步：解不等式（组）即可；例 8已知函数 ， ，且 在区间 上为增函数23)1()(xkxfkxg31)()(f),2(（1）求实数 的取值范围；（2）若函数 与 的图象有三个不同的交点，求实数 的取值范围kf k例 9.已知函数 .)(23aaf（I）讨论函数 的单调性。x（II）若函数 在 A、B 两点处取得极值，且线段 AB 与 x 轴有公共
11、点，求实数 a 的取值范围。fy例 10已知函数 f(x)x 3ax 24x4a，其中 a 为实数()求导数 (x)；()若 f(1)0，求 f(x)在 2，2上的最大值和最小值；()若 f(x)在(，2和2， )上都是递增的，求 a 的取值范围例 11.已知：函数 cb23（I）若函数 的图像上存在点 ，使点 处的切线与 轴平行，求实数 的关系式；Pba,（II）若函数 在 和 时取得极值且图像与 轴有且只有 3 个交点，求实数 的取值范围.)(fxxc天道酬勤 王江编撰 4例 12设 ()yfx为三次函数，且图像关于原点对称，当 12x时， ()fx 的极小值为 1（）求 的解析式；（）证
12、明：当 ),1(x时，函数 图像上任意两点的连线的斜率恒大于 0例 13在函数 图像在点（1，f（1） ）处的切线与直线 平行，导函数 的最)0()(3abf .76y)(xf小值为12。 （1）求 a、b 的值；（2）讨论方程 解的情况（相同根算一根） 。mf)(例 14已知定义在 R 上的函数 ，当 时， 取得极大值 3， .,3Rcbaxf1x)(xf 1（）求 的解析式；（）已知实数 能使函数 上既能取到极大值，又能取到极小值，记所有的)(xf t(t,3)在 区 间实数 组成的集合为 M.请判断函数 的零点个数.t ()fgM例 15.已知函数 的单调减区间为（0，4）)(,21(3
13、)( xfkxkf 若（I）求 的值；（II）若对任意的 总有实数解，求实数 的取值范围。5, tfat 的 方 程关 于 a例 16.已知函数 是常数 ，且当 和 时，函数 取得极值.bRbaxf ,()(23)12x)(xf（）求函数 的解析式；（）若曲线 与 有两个不同的交点，求实数 的(xfy0(3mg m取值范围.例 17.已知函数正项数列满足： ， ，点 在圆 上， 01a),1nnaP252y)(Nn)ks5u（）求证： ； （）若 ，求证： 是等比数列；nna251 nb21)(Nnb（）求和： b31例 18.函数 （ 、 为常数）是奇函数。ks5umxtxf)( ,0tRt
14、（）求实数 的值和函数 的图像与 轴交点坐标；（ ）设 ， ，求 的最大值 .)(fx|)(|xfg1,0)(xg)(tF例19.已知 f (x)x 3bx 2cx2若 f(x)在 x1时有极值1，求 b、c 的值；若函数 yx 2x5的图象与函数 y 的图象恰有三个不同的交点，求实数 k 的取值范围xk2例 20. 设函数 af23)(， bg)(，当 21x时， )(xf取得极值.（1）求 a的值，并判断 1(f是函数 f的极大值还是极小值；（2）当 4,x时，函数 x与 的图象有两个公共点，求 b的取值范围.例 21.已知 在 R 上单调递增，记 的三内角 A、B、C 的对应边分别为 a
15、、b、c，若5)(23kf 时，不等式 恒成立acba22 )432()cos(in2mfABmf（）求实数 的取值范围；（ ）求角 的取值范围；（ ）求实数 的取值范围。答案：8 解：（1）由题意 在区间 上为增函数，xkxf)1()(2 )(f),( 在区间 上恒成立0)(2f ,即 恒成立，又 ， ，故 的取值范围为 k21k1k（2）设 ，3)(3)(xxgfxh1()(2 k令 得 或 由（1）知 ，0k天道酬勤 王江编撰 5当 时， ， 在 R 上递增，显然不合题意当 时， ， 随 的变化1k0)1(2xh)(xh1k)(xhx情况如下表： ,k)1,(k,)( 0x 极大值 32
16、63 极小值 2由于 ，欲使 与 的图象有三个不同的交点，即方程 有三个不同的实根，故需021k)(fg0)(xh，即 ，解得3630)21kk212k31k综上，所求 的取值范围为k39、解：（1） ，当 a0 时， 递,6)(2xaxf axf0)(21或得 ),2(),0(),( a递 减递 增增；当 a0 时x),(0 )2,0(a),2(a)f+ 0 0 +增 极大值 减 极小值 增此时，极大值为 7 分.314)2(,31)( 2aafaf 极 小 值 为当 a0 时x)2,()0,(0 ),0()f 0 + 0 减 极小值 增 极大值 减此时，极大值为 因为线段 AB 与 x 轴
17、有公共点所以.31)(,314)2(2 afaaf 极 小 值 为解得 0)(0)(3f即 4,0,10、解：（） 2xxf （）由 3)(.21)(,1)( 223 xfxfa得 ，由 0)(xf得 34或 x=1又 4509,()0,(),327fff在-2 ，2 上最大值 9，最小值 275（） 4)(axx， 由题意知 480,(2),2.6af11、解：（I）设切点 , ,因为存在极值点，所以P),(y|3(2 xbxf 032bax，即 。 （II）因为 ， 是方程 的根，0124baba21)(f天道酬勤 王江编撰 6所以 ， 。9,3bacxxf93)(2, ； 在)(16)(
18、2xf 1,30)(xf 31,0)(xf )(f处取得极大值，在 处取得极小值. 函数图像与 轴有 3 个交点， ，1327,5(c12 解：（）设 32()()fxabcxda 其图像关于原点对称，即 ()fxf 得 32axbcd 0bd， 则有 3ac 由 2(3xac ， 依题意得 10f 4 ， 1128fc 由得 4, 故所求的解析式为： 3()x.（）由 ()3fx解得： 2x或 ， ),21(),( ,1时，函数 ()f单调递增；设 12,y是 ),(时，函数 fx图像上任意两点，且 21x，则有 2y过这两点的直线的斜率 20kx. 13、解：（1） 又直线)3(.0,1,
19、3)(2 abbaxf 且的 最 小 值 为63)1(,6076 afx因 此的 斜 率 为 )6(2（2）由（1）知 ，列表如下：(2xfx ),(),f + 0 0 +f（x） 极大值 极小值所以，函数 f（x）的单调增区间是 和)2,(),()1(.,28 ;,28,;,8)(,)(3,)(10方 程 有 三 根时当 方 程 有 二 根时或当方 程 有 一 根时或当 上 的 极 小 值 是在 上 的 极 大 值 是在 mmff fxf14、解：（1）由 得 c=1 ，得 1)0(f 31)(0,32 bafbaxf 3,ba3)(xf（2） 得 ， 时取得极值.由 ， 得 )( 1),(
20、t),(t.12t. ， ，当 时， ， 在 上递)1,(M32xfg2)(xgM0xg)(xgM减. 又 函数 的零点有且仅有 1 个)(,2f,15、解：（I） 又 （II）kxf163)( 10)4(kttf23)(。)0;1tfttt 时时 ,)(,5ff 5825ax85825a解 得16、解：（） ， 依题意 ，即 解得 123)(bxxf 0)2(1ff,01423ba43,61b（）由（）知，曲线 与 有两个不同的交点，即xf23461)( xy )(xmg在 上有两个不同的实数解。设 ，则023mx, )(x23天道酬勤 王江编撰 7， 由 0 的 或 ，当 时 ，于是 在
21、上231)(2xx)(x41x)1,2(0(x)(x1,2递增；当 时 ，于是 在 上递减 . 依题意有 实数)0,( , 3012)(m的取值范围是 . m12317、解：（）由题意： ， （）由（）知：51nanna251，数列 满足： ，故111 )(225nn bab )(nb13010a， （）令)( nS 2(3) ，相减得：1432 )2()1()( nnS)211 nnnn)(2S)(18、解：（） ， 与 轴交点为 ， ， （）0mxfy0,),3t，当 时，由 txttxtxg ,|3|3|)( 2322 tx30，得 或 （舍） ， 在 上单调递增，在 上单调递减。)(x
22、)(gt,t,当 时，由 得 在 上单调递增。如图所示，为 在 上的图t0)2tg)(,t )(xgy,0像。当 时， ，当 时，由x303()(tg极 大 x ttx2332故 的最大值 的情形如下：当 时， 当 时，)(tgtF11)(tgtF32)(tF当 时，11)2t 1,32,)(2ttt19、解：f (x)3x 22bxc，由题知 f (1)0 32bc0，f(1)1 1bc21b1，c5，f(x)x 3x 25x2，f(x)3x 22x5f(x)在 ，1为减函数，f (x)在(1，)为增函数b1，c5符合题意5即方程： 恰有三个不同的实解：x 3x 25x2k(x0)k2即当
23、x0时，f (x)的图象与直线 yk 恰有三个不同的交点，由知 f (x)在 为增函数，f (x)在 为减函数，35,1,35f (x)在(1，)为增函数，又 ，f (1)1，f (2)2 且 k2279)35(f 2791k20、解：（1）由题意 ax 当天道酬勤 王江编撰 821x时， )(xf取得极值， 所以 0)21(f 0212a 即 1a 此时当 时， 0)(f，当 x时， )(xf，(f是函数 的最小值。 （2）设 )xg，则 323b， x3238 分设 xF31(2， G)( )(2xF，令 0)(F解得 1或 3x列表如下：函数 )(F在),和 4,上是增函数，在 上是减函
24、数。当 1x时， )(x有极大值 35)(F；当 x时, )(F有极小值 9)3( 函数 f与 )(g的图象有两个公共点， 函数 xF与 )(G的图象有两个公共点20b 或 9 5,20b 21、解：(1)由 知 ， 在 R 上单调递增， 恒成立，5)(23xkxf 13)(kf)(xf0)(xf且 ，即 且 ， 014（2） ，由余弦定理： ， ， acb22 22cosacbB30B（3） 在 R 上单调递增，且 ，)(xf )4()(inmfCAmf所以 432)cos(in2CABm， 29coscsi43)(si 22 BB87)1(s2故 ，即 ， ，即 ，即 891231406题
25、型三：函数的切线问题；问题 1：在点处的切线，易求；问题 2：过点作曲线的切线需四个步骤；第一步：设切点，求斜率；第二步：写切线（一般用点斜式） ；第三步：根据切点既在曲线上又在切线上得到一个三次方程；第四步：判断三次方程根的个数；例 22.已知函数 在点 处取得极小值4，使其导数 的 的取值范围为 ，求：32()fxabcx0 ()0fx(1,3)（1） 的解析式；（2）若过点 可作曲线 的三条切线，求实数 的取值范围1,Pm()yfm例 23. 已知 （ 为常数）在 时取得一个极值，32()fxx2x（1）确定实数 的取值范围，使函数 在区间 上是单调函数；t()f,t（2）若经过点 A（
26、2，c） （ ）可作曲线 的三条切线，求 的取值范围8()yfc答案：22、解：（1）由题意得： 2()331(),0fxabxcaxa在 上 ；在 上 ；在 上(,1)0(1,)(0f(f因此 在 处取得极小值f 4 ， ， 4abcf ()276fbc1,1)4,()(0_ 0 +959320天道酬勤 王江编撰 9由联立得： ， 169abc32()69fxx（2）设切点 Q ，(,)tf,yftt23231()y t21(69txtt过(9)6,m23(mtt3)0g令 ，2(61)ttt求得： ，方程 有三个根。,(g需：)0(2g3940m16故： ；因此所求实数 的范围为： 16m
27、(,)23、解：（1）函数 在 时取得一个极值，且 ，()fx2234fxax， (2)40fa()(2)x或 时， 或 时， 时，3x,3f0,f， 在 上都是增函数，在 上是减函数 使 在区间()0f()x2,)3()fx上是单调函数的 的取值范围是,2tt（2）由（1）知 设切点为 ，则切线的斜率 ，所以切32()4fx0(,)Pxy200()34kfx线方程为： 将点 代人上述方程，整理得：32000()yx2,Ac 308xc经过点 可作曲线 的三条切线，方程 有三个不同的实根 (,)8A(yfx32008xc设 ，则3200()gx， 在 上单调递增，在 上单调递减，在002613
28、或 0()g,)(,2)3上单调递增， 故 得： (2,)(),2g极 大极 小 87c题型四：函数导数不等式线性规划精彩交汇；例 24.设函数 ，在其图象上一点 处的切线的斜率记为 31()(,)xaxbR(,)Fxy()fx(1)若方程 有两个实根分别为-2 和 4，求 的表达式；f (fx(2)若 在区间 上是单调递减函数，求 的最小值。g,2ab例 25.已知函数 ),(31)(2baxxf（1）若 图象上的是 处的切线的斜率为 的极大值。y),( )(,4xfy求（2） 在区间 上是单调递减函数，求 的最小值。)(fba天道酬勤 王江编撰 10xyP11O例 26. 已知函数 （ ，
29、 ， 且 ）的图象在 处的切线与 轴平行.23)(nxmxfRnm0)2(,fx(I) 试确定 、 的符号；(II) 若函数 在区间 上有最大值为 ，试求 的值.y,2答案：24、解：（1）根据导数的几何意义知 由已知-2，4 是方程 的两个实根由韦达定理，()fxgaxb20xab ，24ab2828（2） 在区间 上是单调递减函数，所以在 区间上恒有()gx1,31,3，即 在 区间上恒成立20fx2()0fxab,这只需满足 即可，也即 而 可视为平面区域 内的点到原点距离的平方由图知当()f39ab 139ab时， 有最小值 13；3ab225、解：（1） 由题意得bxaxf231)(
30、baxf2)(3,1344)( fxf且令xf3123)(1)(xf 3,10(2xf得由此可知 x,(1 ,3 ),()(f+ 0 0 + 极大值 35 极小值9 时 取极大值1x当 )(f（2） 上是减函数2,在y上恒成立,10)(2在baxf 04124ba即作出不等式组表示的平面区域如图当直线 经过点 时 取最小值baz),1(Pz2326、解：(I)由图象在 处的切线与 轴平行，2,fx知 ， 3 分0)2(fmn3又 ，故 ， . 4 分 n0(II)令 ,0622x得 或 6 分 x易证 是 的极大值点， 是极小值点（如图）. 7 分 )(fx令 ，得 或 . 8 分 )(f 3分类：(I)当 时， ， . 30m0)()(maff 02n由，解得 ，符合前提 . 910n023
