1、1专题 导数及其应用考点精要1了解导数概念的实际背景2理解导数的几何意义3了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数不超过三次） 4了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次） ；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次） 5会利用导数解决某些实际问题热点解析导数的几何意义及其应用，基本初等函数的导数公式及导数运算的四则运算法则是高考的重点与热点，要会利用导数求曲线的切线，注意区分在某点处的切线与过某点的曲线的切线求函数在点（x 0， ）处的切线方程或切线斜率；
2、求函数 的单调增)(xf )(xf区间或单调减区间；求函数在（a，b） 上的极值，求 在a，b上的最大)(xf值、最小值等等，在近几年高考试题中频频出现知识梳理1一般地，函数 y= 在 x=x0 处的瞬时变化率是 =()f 00()(limxfxf我们称它为函数 y= 在 x=x0 处的导数，记作 或 y|x=x0，即 =0lim,xf 0f 0()f0()(xxf2函数 在 x=x0 处的导数就是切线 PT 的斜率 k，即 k= =()f 00()(limxfxf0(fx3导函数 = y=()fx0()(limxffx24c=0， （x 1）=1 ， （x 2）=2 x， ，21x12x5基
3、本初等函数的导数公式：（1）若 =c，则 =0； （2）若 =xn（n ） ，则()fx()fx ()f*=nxn1；()f（3）若 =sinx，则 =cosx； （4）若 =cosx，则()f()f ()f=sin x；()f（5）若 =ax，则 =axlna； （6）若 =ex，则 =ex；()f()f ()f()f（7）若 =logax，则 = ； （8）若 =lnx，则 = ；ff1lnff16导数运算法则：（1） = （2） = +()fxg()fxg ()fxg()fxg()fx；g（3） 2()()()fxfxfxg 7.导数的应用体现在三个方面：（1）求曲线的切线：其方法是，先
4、求函数在某点处的导数得切线斜率，再用点斜式建立切线方程，后化为一般式求曲线的切线时要注意两种不同的要求：一种是求“函数在某点处的切线” ，这个点就是切点；一种是求“函数过某点的切线” ，则这个点可以是切点，也可以不是切点。这两种要求的切线的求法有区别（2）求函数的极大（小）值与最大（小值）求可导函数 的极值的步骤：)(xfy求导数 ；这一步是基础，要求利用导数公式及运算法则正确地求出导函数 )(f求方程 =0 的根；这一步用到方程知识，注意 =0 的根应在 y=x )(xf的定义域中)(xf检验 在方程 =0 的根（又叫函数驻点）的左、右侧的符号是否)(f)(xf发生变化：如果 在根的左侧附近
5、为正，右侧附近为负，那么函数 y= 在)(xf3这个根处取得极大值；如果相反， 在这个根的左侧附近为负，右侧附近为)(xf正，那么函数 y= 在这个根处取得极小值)(xf如果求闭区间a，b上函数的最值，则应在 、 及开区间)(afbf（a，b）内的极值中间作比较，最大的就是最大值，最小的就是最小值（3）研究函数的单调性设函数 y= 在某个区间 D 内可导，且 ，则 在这个区间上为增函)(xf )(xf0)(xf数；若 ，则 在这个区间上为减函数 （注意：这里 =0 在 D 的0)(xf )(xf任意一个子区间内不能恒成立，否则，函数在这个子区间内为常函数，为水平线段，不具有单调性） （4）不等
6、式的恒成立问题与能成立（存在性）问题不等式的恒成立问题若 在 上恒成立，等价于 在 上的最小值,xD()fm()fxD成立，若 在 上恒成立，等价于 在 上的最大min()f ,x()f()fx值 成立ax对任意 ，都有 成立的充要条件是12,D12()fxgmaxin()()fg不等式的能成立（存在性）问题若 在 上能成立，等价于 在 上的最大值,x()fm()fxD成立m()axf若 在 上能成立，等价于 在 上的最小值,D()f()fx成立。min()fx例题精讲: 例 1. 曲线 y=x ex+2x+1 在点（0,1）处的切线方程为_4例 2. 有下列命题：x=0 是函数 y=x3 的
7、极值点三次函数 =ax3+bx2+cx+d 有极值点的充要条件是 b23ac0)(f奇函数 =mx3+（m1）x 2+48（m2）x+n 在区间（4，4）上是单调x函数其中假命题的序号是_例 3. 已知函数 =x3+bx2+cx+d 的图像过点 P（0，2） ，且在点)(fM（1，f（1） ）处的切线方程为 6xy+7=0（1）求函数 y= 的解析式；)(xf（2）求函数 y= 的单调区间例 4 （没有图像）已知函数 R）.axf(ln)(（1）若曲线 在点 处的切线与直线 平行，求 a 的)fy)1(,f 01yx值； om5（2）求函数 的单调区间和极值；)(xf（3）当 ，且 时，证明：
8、1a.1)(xf解：（I）函数 ()|0,fxx的 定 义 域 为所以 21ln().af又曲线 处的切线与直线 平行，(),()yfxf在 点 10xy所以 4 分1,0.fa即（II）令 1(),.afxe得当 x 变化时， 的变化情况如下表：,()fx1(0,)ae1ae来1(,)ae()fx+ 0 极大值由表可知： 的单调递增区间是 ，单调递减区间是()fx1(0,)ae1(,)ae所以 处取 得极大值， 9 分1afe在 11().anfxf极 大 值（III）当 ln,().xf时由于 l11, ,xfx要 证只需证 明 ln.令 1()1,().hxhxx则6因为 ，所以 上单调
9、递增，1x,1)(,0)( 在故 xh当 即 成立。,h时 ln故当 时，有1x.1)(,1lxfx即13 分例 5 18.（本小题共 14 分）已知函数 （）若 ，求函数 的极值和单1()ln(0,)fxax R1a()fx调区间；(II) 若在区间 上至少存在一点 ，使得 成立，求实数 的取值范1,e0x0()fxa围.解：（I）因为 ，2 分221()axfx当 ， ，令 ，得 ，3 分 又 的1a21()fx()0fx1x()fx定义域为 ，0,， 随 的变化情况如下表：()fxfx(0,1)1(,)()fx0A极小值 A所以 时， 的极小值为 1 .5 分 的单调递增区间为 ，单调1
10、x()fx()fx(1,)递减区间为 ；6 分0,7（II）解法一：因为 ，且 ， 令 ，得到2211()axfx0a()0fx，1xa在区间 存在一点 ，使得 成立，充要条件是 在区间 上(0,e0x0()fx()fx(0,e的最小值小于 0 即可.7 分（1）当 ，即 时， 对 成立，所以， 在xa0()0fx(,)()fx区间 上单调递减，(0,e故 在区间 上的最小值为 ， ()fx(,e1()lnfeae由 ，得 ，即 9 分10ae1e(,)e（2）当 ，即 时， 若 ，则 对 成立，所xa01a()0fx(,e以 在区间 上单调递减， 所以， 在区间 上的最小值为()f(,e ,
11、，1ln0ea显然， 在区间 上的最小值小于 0 不成立11 分()fx(,e 若 ，即 时，则有10ea1x(0,)aa1(,)ea()f0xA极小 A8值所以 在区间 上的最小值为 ，由()fx(0,e1()lnfa，1ln1l)aa得 ，解得 ，即 .13 分l0e(,)综上，由(1)（2）可知： 符合题意 .14 分1(,)(,)ae解法二：若在区间 上存在一点 ，使得 成立， 即 ，(0,e0x0()fx001lnax因为 , 所以，只需 7 分0x01lnax令 ，只要 在区间 上的最小值小于 0 即可()1lnga()lg(0,e因为 ，令 ，()l(ln1)xax()ln1)g
12、xa得 9 分1xe（1）当 时：0ax1(,)e1e1(,e()g0xA极大值 A因为 时， ，而 ，1(0,)e()1ln0gxax()1lngeae9只要 ，得 ，即 11 分10ae1e1(,)ae（2）当 时：x1(0,)e1e1(,e()g0xA极小值 A所以，当 时， 极小值即最小值为 ，(0,e()gx11()lnagaee由 ， 得 ，即 .13 分 综上，由(1)（2）可知，有1aeae(,)14 分(,)(,)例 6 已知函数 .2()ln0)fxax (（）若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，求函数()yf(1,)Pf 2yx的单调区间；fx（）若对于 都有 成立，试求
13、 的取值范围；(0,)()21)fxaa解: (I) 直线 的斜率为 1.函数 的定义域为 ，2yx()f(0,)因为 ， 所以 ，所以 . 所以2af2(1)1afa. .()lnx2()xf由 解得 ；由 解得 .()0f()0f2x10所以 的单调增区间是 ,单调减区间是 . 4 分()fx(2)(0,2)(II) ， 由 解得 ；由 解得 .22af0fxafx20xa所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.()fx(, ) 2(0, )所以当 时，函数 取得最小值， .因为对于 都有2afxminyfa(0,)x成立，()1)fx所以 即可. 则 . 由 解得(2)f 2l2(1)a2lna.0ae所以 的取值范围是 .8 分2(0, )e例 7 18.（本小题共 14 分）已知函数 321().fxaxb(,)R（I）若 ，求函数 的解析式； (0)21fff（II）若 ，且 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围. ba()fx(0,1)a解：（）因为 ，2 分 由 即2fab(0)21ff得 ，4 分14ba1b所以 的解析式为 .5 分()fx32()fxx()若 ，则 ， ，6 分2ba2()fa24()a（1）当 ，即 时， 恒成立，那么 在 上单调递增，01()0fxfxR
