1、高中数学必修二第1章 空间几何体1.1空间几何体的结构1、棱柱定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱 EDCBA几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。2、棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点
2、字母，如五棱锥 EDCBAP几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。3、棱台定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如四棱台ABCDABCD几何特征：上下底面是相似的平行多边形 侧面是梯形 侧棱交于原棱锥的顶点4、圆柱 定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面展开图是一个矩形。5、圆锥定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋
3、转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形。6、圆台定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个弓形。球体定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。空间几何体的结构特征：面（侧面、上底面、下底面）、棱、顶点、轴1.2空间几何体的三视图和直观图1、中心投影与平行投影中心投影：把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影。平行投影：在一束平行光照射下形成的投影叫做平行投影。2、三视图正
4、视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等3、直观图：斜二测画法斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；（3）.画法要写好。用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图1.3空间几何体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高， 为斜高，l为母h线）chS直 棱 柱 侧 面 积 rhS2圆 柱 侧 21cS正 棱 锥 侧 面 积 rlS圆 锥 侧 面 积)(21正 棱 台 侧 面
5、 积 lR)(圆 台 侧 面 积lr圆 柱 表 圆 锥 表 22Rlr圆 台 表（3）柱体、锥体、台体的体积公式VSh柱 2Shr圆 柱13VSh锥 h231圆 锥1()3台 2()()rR圆 台（4）球体的表面积和体积公式：V = ； S =球34球 面 4第2章 点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系平面： 公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在 此平面内。公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只只有一条过改点的公共直线线线关系：1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平
6、面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a、b、 c是三条直线abcb强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据线面位置关系（1）直线在平面内 有无数个公共点（2）直线与平面相交 有且只有一个公共点（3）直线在平面平行 没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a 来表示a a=A a 4、面面关系平行没有公共点；相交有一条公共直线。b2.2直线、平面平行的判定及其性质1、线面平行判定共
7、面直线=ac定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，符号表示：作用：直线与平面的判定定理2、面面平行定理：一个平面内的两条相交直线与另一平面平行，则这两个平面平行，作用：证面面平行2.3直线、平面垂直的判定及其性质1、线面垂直定理：一条直线与一个平面内的两条直线都垂直，则该直线与此平面垂直。作用：证线面垂直线面角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角。在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂线；（2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。2、面面垂直（1）定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。作用
8、：证面面垂直（2）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。（3）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。（4）直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角（5）求二面角的方法定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面两个面的交线所成的角为二面角的平面角3
9、、垂直关系的性质定理线面垂直性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。面面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。第3章 直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0180（2）直线的斜率定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即 。斜率反映直线与轴的倾斜程tank度。当 时， ； 当 时， ； 90,0k180,90k当 时，
10、不存在。过两点的直线的斜率公式： )(212xxyk注意：(1)当 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角21x为90；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。3.2直线的方程点斜式： 直线斜率k，且过点)(11xy1,yx注意：当直线的斜率为0时，k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因l上每一点的横坐标都等于 x1，所以它的方程是x=x1。斜截式： ，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为bx两点式： （ ）直线两点 ，112
11、2y212,xy1,yx2,截矩式：xab其中直线 与 轴交于点 ,与 轴交于点 ,即 与 轴、 轴的截距l(0)a(0)bly分别为 。,一般式： （A，B不全为0）CyAx注意： 各式的适用范围 特殊的方程如： 1 2平行于x轴的直线： （b为常数）； 平行于y轴的直线： （a 为常数）； x（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线 （ 是不全为0的常数）的直线00CyBxA,BA系： （C为常数）0yx（二）过定点的直线系（）斜率为k的直线系： ，直线过定点 ；00xky0,yx（）过两条直线 ， 的交点的直:11BxAl :22CyBAl线系方程为（ 为
12、参数），其中直线 不在直线系中2211CyCyBxA2l。（6）两直线平行与垂直当 ， 时，11:bkl22:bxkl；2,/11l注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。3.3直线的交点坐标与距离公式1、两条直线的交点相交0:1CyBxAl 0:22CyBxAl交点坐标即方程组 的一组解。11方程组无解 ； 方程组有无数解 与 重合21/l1l22、两点间距离公式：设 是平面直角坐标系中的两个点，12(,),AxyB， （ ）则 221|()ABx3、点到直线距离公式：一点 到直线 的距离0,P0:1CByAxl20Cyxd4、两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转
13、化为点到直线的距离进行求解。第4章 圆与方程4.1圆的方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。2、圆的方程（1）标准方程 ，圆心 ，半径为r；22rbyaxba,（2）一般方程 0FED当 时，方程表示圆，此时圆心为 ，半径为042FED 2,EDr当 时，表示一个点； 2当 时，方程不表示任何图形。（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b ，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。4.2直线、圆
14、的位置关系1、直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：（1）设直线 ，圆 ，圆心 到l的0:CByAxl 22:rbyaxbaC,距离为 ，则有 ； ；2bad相 离与lrd相 切与ld相 交与lr（2）设直线 ，圆 ，先将方程联立消0:ByAx22:rbyax元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为 ，则有； ；相 离与 Cl0相 切与 Cl相 交与 Cl0注：如果圆心的位置在原点，可使用公式 去解直线与圆相20切的问题，其中 表示切点坐标，r表示半径。0,yx(3)过圆上一点的切线方程：圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0) ，则过此点的切线方程
15、为20ryx圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 2、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。设圆 ，2121:rbyaxC222: RbyaxC两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。当 时两圆外离，此时有公切线四条；rR当 时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当 时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切d线；当 时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；r当 时，两圆内含； 当 时，为同心
16、圆。R0d4.3空间直角坐标系（1）定义：如图， 是单位正方体.以A为原点，,OBCD分别以OD,O ,OB的方向为正方向，建立三条数轴 。,A x轴 .y轴 z轴这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.1）O叫做坐标原点 2）x 轴，y轴，z轴叫做坐标轴 .3）过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。（2）右手表示法： 令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。大拇指指向为x轴正方向，食指指向为y轴正向，中指指向则为z轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。（3）任意点坐标表示：空间一点M的坐标可以用有序实数组 来表(,)xyz示，有序实数组 叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作(,)xyz（x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M 的竖(,)z坐标）（4）空间两点距离坐标公式： 212121)()()(zyxd
