1、高中数学选修 2-2 知识点总结第一章、导数1函数的平均变化率为 xfy xffxf)()( 1112注 1：其中 是自变量的改变量，平均变化率 可正，可负，可零。x注 2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。2、导函数的概念:函数 )(xfy在 处的瞬时变化率是 xffxy)(limli 000，0则称函数 )(xfy在点 0处可导，并把这个极限叫做 )(fy在 处的导数，记作 )(0f或0|x，即 )(0f= xffxy)(limli 000.3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。4 导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度； 5、常见的
2、函数导数函数 导函数(1) yc 0y(2) nx*N1nx(3) ya0,1lya(4) xexe(5) logay,0x1lnya(6) nx x(7) siycosy(8) cox in6、常见的导数和定积分运算公式:若 ， 均可导（可积），则有：fxg和差的导数运算 ()()fxg积的导数运算 ()fxfx特别地： C商的导数运算 2()()()()0fxfgxfxgg特别地： 21()x复合函数的导数 xuxy微积分基本定理F(a)-F(b) bafd（其中 ）Fxf和差的积分运算1212()()()bbbaaaffxdfx特别地： ()bakfk为 常 数积分的区间可加性 ()()
3、bcba cfxdxfxcb其 中.用导数求函数单调区间的步骤:求函数 f(x)的导数 ()fx令 0,解不等式，得 x 的范围就是递增区间.令 0,解不等式，得 x 的范围，就是递减区间；()fx注：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。7.求可导函数 f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义域。(2) 求函数 f(x)的导数 ()fx(3)求方程 =0 的根(4) 用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如/()fx果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值；如果左右
4、不改变符号，那么 f(x)在这个根处无极值8.利用导数求函数的最值的步骤:求 在 上的最大值与最小值的步骤如下： )(xfba,求 在 上的极值；)(xfba,将 的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。(),fb注：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；9求曲边梯形的思想和步骤: 分割 近似代替 求和 取极限 （“以直代曲”的思想）10.定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质 1 abdxa性质 5 若 ，则f,0)(0)(badxf推广： 12 12()()()()b bbbm ma aaafxfdxfxfx 推广: 121()()kcca
5、 cdfxf11 定积分的取值情况:定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是 0.( l )当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于 x 轴上方的图形面积；（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于 x 轴上方图形面积的相反数；（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为 0，且等于 x 轴上方图形的面积减去下方的图形的面积 12物理中常用的微积分知识（1）位移的导数为速度，速度的导数为加速度。（2）力的积分为功。第二章、推理与证明知识点13.归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理
6、通常称为归纳推理。归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。14.归纳推理的思维过程大致如图： 实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论15.归纳推理的特点: 归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。16.类比推理的定义：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊
7、的推理。17.类比推理的思维过程观察、比较 联想、类推 推测新的结论18.演绎推理的定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。19演绎推理的主要形式：三段论20.“三段论”可以表示为：大前题：M 是 P小前提：S 是 M 结论：S 是 P。其中是大前提，它提供了一个一般性的原理；是小前提，它指出了一个特殊对象；是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。21.直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。22.综合法就是“由因导
8、果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。23.分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。要注意叙述的形式：要证 A，只要证 B，B 应是 A 成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。24 反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。25.反证法的一般步骤（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立； （2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正确。 26 常见的“结论词”与“
9、反义词”原结论词 反义词 原结论词 反义词至少有一个 一个也没有 对所有的 x 都成立 存在 x 使不成立至多有一个 至少有两个 对任意 x 不成立 存在 x 使成立至少有 n 个 至多有 n-1 个 p 或 q 且pq至多有 n 个 至少有 n+1 个 p 且 q 或27.反证法的思维方法:正难则反28.归缪矛盾（1）与已知条件矛盾:（2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾29数学归纳法（只能证明与正整数有关的数学命题）的步骤(1)证明：当 n 取第一个值 时命题成立；0nN(2)假设当 n=k (kN *，且 kn0)时命题成立，证明当 n=k+1 时命题也成立.由(1)，(2)
10、可知，命题对于从 n0 开始的所有正整数 n 都正确 奎 屯王 新 敞新 疆注：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。第三章、数系的扩充和复数的概念知识点30.复数的概念：形如 a+bi 的数叫做复数，其中 i 叫虚数单位， 叫实部， 叫虚部，数ab集 叫做复数集。|,CabiR规定： a=c 且 b=d，cdi强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相等。31数集的关系：00bZa实 数 ()复 数 一 般 虚 数 ()虚 数 纯 虚 数32.复数的几何意义：复数与平面内的点或有序实数对一一对应。33.复平面：根据复数相等的定义，任何一个复数 ，都可以由一个有序实数对biaz唯一确
11、定。),(ba由于有序实数对 与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标),(ba系中的点集之间可以建立一一对应。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做 实轴 ， 轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示xy纯虚数。34.求复数的模(绝对值)与复数 对应的向量 的模 r叫做复数 biaz的模(也叫绝对值)记zOZ作 。由模的定义可知：biaz或 2bai35.复数的加、减法运算及几何意义复数的加、减法法则： ，则 。12zabicdi与 12()zcbdi注：复数的加、减法运算也可以按向量的加、减法来进行。复数的乘法法则： 。()icdabi复数的除法法则： 其中 叫做实数化因子22()abicdi cdi36.共轭复数:两复数 互为共轭复数，当 时，它们叫做共轭虚数。与 0b常见的运算规律(1);(2),2;zzazbi23;(4)5bzR41423(6),1;nnnniiii 227;(8),iii设 是 1 的立方虚根，则 ，)9(23i0121,32313 nnn
