1、概率与统计知识点与题型3.1.1 3.1.2 随机事件的概率及概率的意义1、基本概念：（1）必然事件：在条件 S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件 S 的必然事件；（2）不可能事件：在条件 S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件 S 的不可能事件；（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件；（4）随机事件：在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件 S 的随机事件；（5）频数与频率：在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数；称事件 A 出现的比例 fn(A)=
2、为事件 A 出现的概率：对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作 P（A） ，称为事件 A 的概率。（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数 nA 与试验总次数 n 的比值 ，A它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率3.1.3 概率的基本性质1、基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件（2）若 AB 为不
3、可能事件，即 AB=，那么称事件 A 与事件 B 互斥；（3）若 AB 为不可能事件，AB 为必然事件，那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件；（4）当事件 A 与 B 互斥时，满足加法公式：P(AB)= P(A)+ P(B)；若事件 A 与 B 为对立事件，则 AB为必然事件，所以 P(AB)= P(A)+ P(B)=1，于是有 P(A)=1P(B)2、概率的基本性质：1）必然事件概率为 1，不可能事件概率为 0，因此 0P(A)1；2）当事件 A 与 B 互斥时，满足加法公式：P(AB)= P(A)+ P(B)；3）若事件 A 与 B 为对立事件，则 AB 为必然事件，所以 P(AB)=
4、 P(A)+ P(B)=1，于是有 P(A)=1P(B)；4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件 A 与事件 B 在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件 A 发生且事件 B 不发生；（2）事件 A 不发生且事件 B 发生；（3）事件 A 与事件 B 同时不发生，而对立事件是指事件 A 与事件 B 有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件 A 发生 B 不发生；（2）事件 B 发生事件 A 不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。3.2.1 3.2.2 古典概型及随机数的产生1、 （1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。（2）古典概型
5、的解题步骤；求出总的基本事件数；求出事件 A 所包含的基本事件数，然后利用公式 P（A）= 总 的 基 本 事 件 个 数包 含 的 基 本 事 件 数3.3.13.3.2 几何概型及均匀随机数的产生1、基本概念：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；（2）几何概型的概率公式：P（A）= ；积 ）的 区 域 长 度 （ 面 积 或 体试 验 的 全 部 结 果 所 构 成积 ）的 区 域 长 度 （ 面 积 或 体构 成 事 件 A（1） 几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）
6、每个基本事件出现的可能性相等一、随机变量.1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：试验可以在相同的情形下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.它就被称为一个随机试验.2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若 是一个随机变量，a，b 是常数.则 ba也是一个随机变量.一般地，若 是随机变量， )(xf是连续函数或单调函数，则 )(f也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.设离散型随机变量
7、 可能取的值为： ,21ix 取每一个值 ),21(ix的概率 iipxP)(，则表称为随机变量 的概率分布，简称 的分布列.x ixP 1p2p i有性质 ,0i； 121 ip.注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如： 5,0即 可以取 05 之间的一切数，包括整数、小数、无理数.3. 二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是 P，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是： knqpCk)P(其中 pqn1,0 于是得到随机变量 的概率分布如下：我们称这样的随机变量 服从二项分布，记作 B（np） ，其中 n，p 为参数，并记 p
8、)nb(k;qpnk.二项分布的判断与应用.二项分布，实际是对 n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行 n 次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.4. 几何分布：“ k”表示在第 k 次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把 k 次试验时事件 A 发生记为 kA，事 A 不发生记为 q)P(A,k，那么 )AP(k)(k121 .根据相互独立事件的概率乘法分式： )(P)(121 ,321p于是得到
9、随机变量 的概率分布列.1 2 3 k P q qp q2 pq1我们称 服从几何分布，并记 p)g(k,1，其中 3,2.1k5. 超几何分布：一批产品共有 N 件，其中有 M（MN）件次品，今抽取 )Nn(1件，则其中的次品数 是一离散型随机变量，分布列为 )Mkn,0k(Ck)P(nN.分子是从 M 件次品中取k 件，从 N-M 件正品中取 n-k 件的取法数，如果规定 m r时 r，则 k 的范围可以写为 k=0，1，n.超几何分布的另一种形式：一批产品由 a 件次品、b 件正品组成，今抽取 n 件（1na+b） ，则次品数 的分布列为 n.,01kCk)P(nba.超几何分布与二项分
10、布的关系.设一批产品由 a 件次品、b 件正品组成，不放回抽取 n 件时，其中次品数 服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数 的分布列可如下求得：把 ba个产品编号，则抽取 n 次共有 nba)(个可能结果，等可能： k)(含 knbaC个结果，故 ,012k,)ba(1)C)(k)P(knkn ，即 B.我们先为 k 个次品选定位置，共 kn种选法；然后每个次品位置有 a 种选法，每个正品位置有 b 种选法 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时， k)P()(，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.二、数学期望与方差.1. 期望的含义：一般地，若离散型随机
11、变量 的概率分布为1x2x ixP pp ip则称 nxxE21为 的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.2. 随机变量 ba的数学期望： baEE)( 当 0a时， E)(，即常数的数学期望就是这个常数本身.当 1时， b，即随机变量 与常数之和的期望等于 的期望与这个常数的和.当 0b时， a)(，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.单点分布： cE1其分布列为： cP)1(. 两点分布： pq0，其分布列为：（p + q = 1）二项分布： nknk)!( 其分布列为 ),(pnB.（P 为发生 的概率） 0 1
12、P q p几何分布： pE1 其分布列为 ),(pkq.（P 为发生 的概率）3.方差、标准差的定义：当已知随机变量 的分布列为 ),21()(kpxk时，则称 npExpxED2212 )()()( 为 的方差. 显然 0D，故 .D为 的根方差或标准差.随机变量 的方差与标准差都反映了随机变量 取值的稳定与波动，集中与离散的程度. D越小，稳定性越高，波动越小.4.方差的性质.随机变量 ba的方差 DabD2)().（a、b 均为常数）单点分布： 0 其分布列为 pP1两点分布： pq 其分布列为：（p + q = 1）二项分布： nD几何分布： 2pq 5. 期望与方差的关系.如果 E和
13、 都存在，则 EE)(设 和 是互相独立的两个随机变量，则 D)(,)(期望与方差的转化： 2)(D E（因为 为一常数） 0E.三、正态分布. 1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量 ，位于 x 轴上方， 落在任一区间 ),ba内的概率等于它与 x 轴.直线 a与直线 bx所围成的曲边梯形的面积（如图阴影部分）的曲线叫 的密度曲线，以其作为图像的函数 )(xf叫做 的密度函数，由于“ ),(x”是必然事件，故密度曲线与 x 轴所夹部分面积等于 1.2. 正态分布与正态曲线：如果随机变量 的概率密度为： 2)(1)(xexf. （ ,R为常数，且 0） ，称 服从参数为 ,的正态分布，用
14、),(2N表示. )(f的表达式可简记为 ),(2N，它 0 1P q p yaby=f(x的密度曲线简称为正态曲线.正态分布的期望与方差：若 ),(2N，则 的期望与方差分别为： 2,DE.正态曲线的性质.曲线在 x 轴上方，与 x 轴不相交.曲线关于直线 对称.当 时曲线处于最高点，当 x 向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.当 x 时，曲线上升；当 时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以 x 轴为渐近线，向 x 轴无限的靠近.当 一定时，曲线的形状由 确定， 越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散； 越小，曲线越“瘦高” ，表示总体的分
15、布越集中.3. 标准正态分布：如果随机变量 的概率函数为 )(21)(2xexx，则称 服从标准正态分布. 即 )1,0(N有 )(Px， )(求出，而 P（a b）的计算则是)()(abaP.注意：当标准正态分布的 x的 X 取 0 时，有 5.0)(x当 )(x的 X 取大于 0 的数时，有 5.0)(x.比如5.0793.)5.0(则 .必然小于 0，如图. 正态分布与标准正态分布间的关系：若 ),(2N则 的分布函数通常用 )(xF表示，且有 )x(F)xP(. 习题16 名同学排成两排，每排 3 人，其中甲排在前排的概率是 （ ）A B C D 22161312有 10 名学生，其中
16、 4 名男生，6 名女生，从中任选 2 名，恰好 2 名男生或 2 名女生的概率是 （）A B. C. D. 4515231157 xya标 准 正 态 分 布 曲 线S阴 =0.5+S3甲乙两人独立的解同一道题,甲乙解对的概率分别是 ,那么至少有 1 人解对的概率21p是 （）A. B. C. D.21p21p21p)(214从数字1, 2, 3, 4, 5这五个数中, 随机抽取2个不同的数, 则这2个数的和为偶数的概率是 ()A. B. C. D. 53545有 2n 个数字，其中一半是奇数，一半是偶数，从中任取两个数，则所取的两数之和为偶数的概率是 （ ）A、 B、 C、 D、12n12
17、12n6有 10 名学生，其中 4 名男生，6 名女生，从中任选 2 名学生，恰好是 2 名男生或 2 名女生的概率是 （）A B C D4515157317已知 P 箱中有红球 1 个，白球 9 个，Q 箱中有白球 7 个，（P、Q 箱中所有的球除颜色外完全相同）现随意从 P 箱中取出 3 个球放入 Q 箱，将 Q 箱中的球充分搅匀后，再从 Q 箱中随意取出 3 个球放入 P 箱，则红球从 P 箱移到 Q 箱，再从 Q 箱返回 P 箱中的概率等于 （）A B C D51091053C9 2/C10 3 乘以 C9 2/C10 3 8已知集合 A=12，14，16，18，20，B=11，13，
18、15，17，19，在 A 中任取一个元素用 ai(i=1，2，3，4，5)表示，在 B 中任取一个元素用 bj(j=1，2，3，4，5)表示，则所取两数满足 aibI的概率为（）A、 B、 5 C、 21 D、 519在圆周上有 10 个等分点，以这些点为顶点，每 3 个点可以构成一个三角形，如果随机选择 3 个点，刚好构成直角三角形的概率是（ ）直径有 5 个A. B. C. D. 14121510已知 10 个产品中有 3 个次品，现从其中抽出若干个产品，要使这 3 个次品全部被抽出的概率不小于 0.6，则至少应抽出产品 ( )A.7 个 B.8 个 C.9 个 D.10 个11甲、乙独立
19、地解决 同一数学问题，甲解决这个问题的概率是 0.8，乙解决这个问题的概率是 0.6，那么其中至少有 1 人解决这个问题的概率是（ ）A、0.48 B、0.52 C、0.8 D、0.9212.某小组有三名女生，两名男生，现从这个小组中任意选出一名组长，则其中一名女生小丽当选为组长的概率是_13.掷两枚骰子，出现点数之和为 3 的概率是_14.某班委会由 4 名男生与 3 名女生组成，现从中选出 2 人担任正副班长，其中至少有 1 名女生当选的概率是_15.我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示：年降水量/mm 100, 150 ) 150, 200 ) 200, 250 ) 2
20、50, 300 概率 0.21 0.16 0.13 0.12则年降水量在 200，300 （m,m）范围内的概率是_16、向面积为 S 的ABC 内任投一点 P，则PBC 的面积小于 的概率是_。2S17、有五条线段，长度分别为 1，3，5，7，9，从这五条线段中任取三条，则所取三条线段能构成一个三角形的概率为_18、在等腰 RtABC 中，在斜边 AB 上任取一点 M，则 AM 的长小于 AC 的长的概率为_19甲、乙两名篮球运动员，投篮的命中率分别为 0.7 与 0.8（1）如果每人投篮一次，求甲、乙两人至少有一人进球的概率；（2）如果每人投篮三次，求甲投进 2 球且乙投进 1 球的概率2
21、0加工某种零件需要经过四道工序，已知死一、二、三、四道工序的合格率分别为，且各道工序互不影响910876、 、 、（1）求该种零件的合格率（2）从加工好的零件中任取 3 件，求至少取到 2 件合格品的概率（3）假设某人依次抽取 4 件加工好的零件检查，求恰好连续 2 次抽到合格品的概率（用最简分数表示结果）21甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为 、， 和 的分布列如下： 0 1 2 0 1 2P 63P 530则比较两名工人的技术水平的高低为 .思路启迪：一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，即期望；二是要看出次品数的波动情况，即方差
22、值的大小.22. 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数 的分布列为1 2 3 4 5P0.4 0.2 0.2 0.1 0.1商场经销一件该商品，采用 1 期付款，其利润为 200 元；分 2 期或 3 期付款，其利润为 250 元；分 4 期或5 期付款，其利润为 300 元 表示经销一件该商品的利润（）求事件 A：“购买该商品的 3 位顾客中，至少有 1 位采用 1 期付款”的概率 ()PA；（）求 的分布列及期望 E参考答案：1-5、BDDBC 6-11、CBBBCD12. 13. 14. 15. 0.25 16、 17、 18、5118753410219：解：设甲投中的
23、事件记为 A，乙投中的事件记为 B，（1）所求事件的概率为：P=P（A ）+P（ B）+P（AB）B=0.70.2+0.30.8+0.70.8=0.94（2）所求事件的概率为：P=C 0.720.3C 0.80.22=0042336 31320：解：（1）该种零件合格率为 19876305P（2）该种零件的合格率为 ，则不合格率为 ，从加工好的零件中任意取 3 个，52至少取到 2 件合格品的概率 32381()()2C（3）恰好连续 2 次抽到合格品的概率 226()1()1()555P21：解：工人甲生产出次品数 的期望和方差分别为： 7.0306E， 891.03).2(1)()7.(2
24、 D；工人乙生产出次品数 的期望和方差分别为： 7.01305E，64.012)7.(3)7.(5).(22 D由 E=E 知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但 DD，可见乙的技术比较稳定.小结：期望反映随机变量取值的平均水平；方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度22：解（）由 A表示事件“购买该商品的 3 位顾客中至少有 1 位采用 1 期付款” 知 表示事件“购买该商品的 3 位顾客中无人采用 1 期付款”2()10.4).16P， ()()0.26.784PA（） 的可能取值为 元， 250元， 元(2)().，50(3).4PP，(3)1205010.2的分布列为 253P0.40.40.220.450.3E（元）
