1、关于贷款的问题的研究摘要现代社会，面对天价的购房金额，多数人选择向银行贷款达到购房目的。在此过程中，必然涉及到还款方式的选择、贷款利息与每月还款额的确定等问题。一般而言，在不同还款方式下若已知贷款总额、月利率、总贷款时间、每月还款额这四个变量中的任意三个，能否求出另一个呢本文通过数学归纳法、递归算法等归纳出了省建行的等额本息还款法、市建行的等本等额等息还款法以及央行的利随本清的等本不等息还款法（即等额本金还款法）的公式。贷款总额为A，银行月利率为，总期数为M,月还款额设为X，K为第K次还款等额本息还款法1A111等本等额等息还款法212利随本清的等本不等息还款法11本文在建立还款模型的基础上，
2、利用数学软件MATLABR2013B（82）对计算结果进行演示、曲线分析，然后根据所得出的结果和曲线比较三种还款方式的不同以及利弊。能够为有贷款需求的人提供指导，简明易于理解。关键词贷款数学归纳法本金利息利率一、问题重述随着经济的发展，人们生活水平的提高，对消费的需求也逐渐上升，消费心理也不再像过去那样保守，越来越多的人开始贷款来满足自己的消费需求，比如贷款买房、贷款买车、贷款创业等。但是提到贷款就自然会想到还贷问题。现在有很多种还贷方式，人们自然关心每种还贷方式的计算方法，很多人并不清楚不同还款方式下的每月还款额、贷款利息如何计算如果假设采用等额还贷，已知贷款总额、月利率、总贷款时间，如何计
3、算每月还款额更一般地，若已知贷款总额、月利率、总贷款时间，每月还款额这四个变量中的任意三个，能否求出另外一个同样的等额还款，还本还息方式不同的计算结果又一样吗二、问题分析在人们通过贷款进行经济活动的同时又不得不关心贷款的利息以及每月还款额的问题。问题一每月等额本息还款法我们已知贷款金额、贷款利率以及贷款时间来计算月还款额，等额本息还款法，每月以相等的额度平均偿还贷款的本息，直至期满还清，计算公式如下每月等额还本付息额贷款本金月利率1月利率还款期数1月利率还款期数1每个月还的本金在逐渐增多，每个月还的利息在逐渐减少，但每月还款额相同。问题二利随本清等本不等息还款法这种还款法也叫等额本金还款法，即
4、每月偿还贷款本金相同，而利息随本金的减少而逐月递减至期满还清为止，计算公式如下月还款额本金贷款期限月本金已还本金月利率前期还款压力较大，但随着时间的推移压力会逐渐减小，前期还款本金较多，利息较少。问题三等本、等息、等额还款法我们已知总贷款额、总贷款时间、和一定的月利率，需要求解每月还款额。这种还款法为不让贷款者首期还款时面对巨额利息为难,该行取了一个利息平均值,平摊到每个月中。三、符号变量说明A为贷款总额；B为贷款总利息；为银行月利率；M为贷款期数；K为期数的序号，即代表第几期；是第K个月的利息；1为等额本息还款法中每月的还款额；2为等本等额等息还款法中的每月还款额；X用于在“3模型求解”中的
5、计算每月还款额；表示第K个月的还款额；1，2，3代表推算过程中第1、2、3KM期结束时的仍然欠银行的金额；1是公积金贷款的月利率；2是商业性贷款的月利率；1是公积金贷款的每月还款额；2是商业性贷款的每月还款额；四、模型假设1在偿还贷款期间银行利率保持不变；2假定每月天数一致，即在建立求解模型过程中不考虑天数差异对于每月利息的影响；3在还款期间，贷款人按时足额偿还每月所需还款额；4其他外部条件保持不变。五、模型建立与求解分析模型分为两部分，还款模型与最优化模型。还款模型即是指根据贷款总额A、月利率、总贷款期数M和相对应的还款方式求解对应每月还款额的数学表达式。最优化模型是指在综合考虑各种因素情况
6、下，在还款模型中变量不变的条件下，分析比较等额本息还款法、利随本清等本不等息还款法、等本等息等额还款法三种还款方式的利弊，以及还款额度随时间的变化曲线，为贷款者选择还款方式提供更好的参考。1还款模型由于还款方式的不同，对应的还款数学表达式也是不同的，下面我们将就三种还款方式分别求解。11等额本息还款法等额本息还款法，即借款人每月按相等的金额偿还贷款本息，其中每月贷款利息按月初剩余贷款本金计算并逐月结清。根据此种还款法可知各个月后所欠银行贷款如下第1个月111第2个月2111A1111A12111第3个月3211A1311112第K个月111A1111121K1由上可知，递归公式为111，K1，
7、2,3，M111将递归公式类似为1112注在上式中，A1，B1，01两边同时加上1A，可使式112化为初始值为1公比为A的等比数列，结合数学归纳法可知第M个月后A111K1/113由已知可得0，解得1A111114式114为每月等额本息还款法的每月还款额图1112等本等息等额还款法每个月还的本金相同，每个月还的利息相等，则每个月还款额相等，本方法相当于把利随本清还款法的总利息均分到每一个月。由式113中利息的计算方法得总利息ANMKABMK21111121年均利息为AMM21每月所还本金为MA则每月的还款额为21212213利随本清的等本不等息还款法每月还款的本金相同，利息不等，每月还款额每月
8、所还本金每月所还利息，则每月还款额不等。每月所还本金为MA第一个月还利息AB1第二个月还利息MAB112第K个月还利息MKABK11则第K个月还款额为111312最优化模型21等额本息还款法第1个月的利息B1A第2个月的利息B2Y1第3个月的利息B3Y2第K个月的利息BKYK1其数学模型BKA1K1X1K11K1，2，N总利息为XABBMKKMKKMKK11111111XMXAXAK121122利随本清等本不等息偿还法由式121可知总利息BM1A/223等本等息等额还款法总利息BM1A/22313模型求解31问题1花旗银行低息现金贷款广告问题，此贷款用的是每期等额本息还款法，因为已经知道了总贷
9、款额、总贷款时间、和每月还款额，需要求月利率。把A50000，M36，11637代入113得05000013616371361/311利用MATLABR2013B中求解一元多次函数，输入语句SOLVE500001X3616371X361/X0，执行语句后，结合实际条件可以剔除不合理的解，则ANS00091689241396665201604012838696309。故0009170。32问题2本题用的是每期等额还款法，本题是已知总贷款额、总贷款时间、年利率，需要求解每月还款额。把60000A,由年利率为12有月利率11212，3001225M代入113中得每月还款额10101010101060
10、000300300X解之得6329345631X（美元）甲每月大概还632美元。图12对于另一家公司，我们有半个月为一期，而且已经知道了总贷款额、月利率、每半个月还款额（因为这里是半个月为一期,需求总贷款时间的问题。由113得1110MMXA可以解得1LNLNAXXM321把58104189660000A,由年利率为12有月利率11212每一期的利率为5021，3001225M代入321中可得还款期5058276504004987541509831534920051LN005058104316316LNM（月）提前还款时间为403448212521250525（年）所以另一家公司仍然可以赚钱，
11、相对于让甲还23225年来说，此公司可以多赚两年的钱，即1516824632（美元）533问题3对于省建行的“每月等额本息偿还法”中，我们已将知道总贷款额、总贷款时间、和一定的月利率，需要求解每月还款额。要知道月还款额，首先需要知道月利率。对于公积金贷款把80000A，886601X，1801215M代入135中有11886601800000180M仍然利用MATLABR2013B中求解方程功能，输入语句SOLVE800001X180660881X1801/X0，执行语句后，结合实际条件可以剔除不合理的解，则ANS00047244933970807758030978363945164由此可得0
12、00472451同理对于商业性贷款也可用上述方法先有55000A，180M，585412X令1158541155000180180XF同样利用MATLAB可得00637502现在再将80000A，1801215M，00472501代入113中，利用MATLAB计算有886608803660100472450100472450100472450800001801801X（元）同样将55000A，1801215M，00637502代入415中有585145562514100637501006375010063750550001801802X元省建行的每月还款额为4622117521XX（元）图13
13、对于央行推出的“利随本清等本不等息偿还法”中，我们已经知道了总贷款额、总贷款时间、和一定的月利率，需要求解每月还款额。由模型中的113我们能推得MKAMAXK11即每月还款额（贷款本金贷款期月数）（本金已还本金累计额）月利率央行公积金还款额与贷款时间关系图如下图14央行商业基金还款额与贷款时间关系图如下图15还款总额为MKKAMAX121用到了等差级数求和公式）由231知市建行总利息为AMB21公积金贷款的总利息为342092004725080000181（元）商业性贷款的总利息为56317312006375055000181（元）两类贷款的总利息为5665940563173134209（元）
14、对省建行两类贷款的总利息为876582135000180461175（元）两建行的总还款差为24106425665940876582（元）这个结果很接近110628元对于市建行的“等本、等息、等额还款法”我们已知总贷款额、总贷款时间、和一定的月利率，需要求解每月还款额。由还款模型中的122可得出它的还款法为每月还款额AMMMAX21市建行公积金与商业基金还款额度与贷款时间无关，和图12变化趋势相同，只不过相应纵轴的坐标不同4不同还款方式利弊等额本息还款法这是目前最为普遍，也是大部分银行长期推荐的方式，先还利息再还本金。作为还款人，每个月还给银行金额固定，所以计算比较方便，但这种还款方式每月还款
15、额中的本金比重逐月递增、利息比重逐月递减。采用这种还款方式，它的特点是每月还相同的数额，作为贷款人，操作相对简单。尤其是收入处于稳定状态的家庭，经济条件不允许前期投入过大，可以选择这种方式。公务员、教师等职业属于收入相对稳定的群体，很适合这种还款方式。但是，它也有缺陷，由于利息不会随本金数额归还而减少，银行资金占用时间长，还款总利息较大，利息总支出也几乎是所有还款方式中最高的。利随本清等本不等息还款法贷款人将本金分摊到每个月内，但是每个月的利息不同，计算比较麻烦。但这种还款方式相对等额本息而言，总的利息支出较低，是可以节省大量利息支出，它的特点是前期支付的本金和利息较多，还款负担逐月递减。使用
16、利随本清还款，开始时每月负担比等额本息重。尤其是在贷款总额比较大的情况下，相差可能达千元。比如题目中采用央行的还款方式的图线可以证明上述观点。但是，随着时间推移，还款负担逐渐减轻。这种方式很适合目前收入较高，但是已经预计到将来收入会减少的人群。实际上，很多中年以上的人群，经过一断时间事业打拼，有一定的经济基础，考虑到年纪渐长，收入可能随着退休等其他因素减少，就可以选择这种方式进行还款。等本、等息、等额还款法是将本金和总利息都取平均值，即把它们平摊到每个月中，计算起来比较简单，这种还款方式的特点是平均每一个月所还的本金和利息都相等，即每月还款额也是一定的，它也适用于收入较稳定的人群，因为它每个月
17、的还款数是一个常数，而且在同样的前提条件下，总利息较少。究竟采用哪种还款方式，专家建议还是要根据个人的实际情况来定。“等额本息还款法”每月的还款金额数是一样的，对于参加工作不久的年轻人来说，选择“等额本息还款法”比较好，可以减少前期的还款压力。对于已经有经济实力的中年人来说，采用“等额本金还款法”效果比较理想。在收入高峰期多还款，就能减少今后的还款压力，并通过提前还款等手段来减少利息支出。另外，等额本息还款法操作起来比较简单，每月金额固定，不用再算来算去。总而言之，等额本息还款法适用于现期收入少，负担人口少，预期收入将稳定增加的借款人，如部分年轻人，而等额本金还款法则适合有一定积蓄，但家庭负担
18、将日益加重的借款人，如中老年人。六、参考文献1娄飞鹏基于动态博弈的商业银行贷款还款方式比较分析J区域金融研究,2013,73943DOI103969/JISSN167454772013070082王玉梅住房抵押贷款决策模型探讨J通化师范学院学报,2011,3261113DOI103969/JISSN100879742011060053郭蔚等额本息还款法与等额本金还款法哪种更好J辽宁行政学院学报,2005,736970DOI103969/JISSN100840532005030424陈本毅等额本金还款法下如何用EXCEL计算每月还款额J中国管理信息化,2006,926363DOI103969/J
19、ISSN167301942006020225黄艳华,黄洪清公积金贷款与商业性贷款买房的数学模型J柳州职业技术学院学报,2008,828385DOI103969/JISSN16711084200802021七、附录1解决问题中所用到的MATLAB命令（1）X2056Y10XZX2PLOTX,Y,R,X,Z,MDTITLE等额本息还款法走势图LEGEND利息,本金（2）央行公积金还款额与贷款时间关系绘图命令A80000M180X11180YA/MA1X1/M00047245PLOTX,YTITLE央行公积金还款额与贷款时间关系（3）央行商业基金还款额度与贷款时间关系A55000M180X11180YA/MA1X1/M0006375PLOTX,YTITLE央行商业基金还款额与贷款时间关系（4）省建行每月公积金与商业基金还款额关系X120180Y166088Y251458PLOTX,Y1,R,X,Y2,MTITLE省建行每月公积金与商业基金还款额
