1、高考圆锥曲线压轴题型总结直线与圆锥曲线相交，一般采取设而不求，利用韦达定理，在这里我将这个问题分成了三种类型，其中第一种类型的变式比较多。而方程思想，函数思想在这里也用得多，两种思想可以提供简单的思路，简单的说就是只需考虑未知数个数和条件个数,。使用韦达定理时需注意成立的条件。题型 4 有关定点，定值问题。将与之无关的参数提取出来，再对其系数进行处理。（湖北卷）设 A、B 是椭圆 23yx上的两点，点 N（1，3）是线段 AB 的中点，线段 AB 的垂直平分线与椭圆相交于 C、D 两点.（）确定 的取值范围，并求直线 AB 的方程；（）试判断是否存在这样的 ，使得 A、B、C 、D 四点在同一
2、个圆上？并说明理由.（I）解法 1：依题意，可设直线 AB 的方程为 23,)1(yxxky代 入，整理得 .0)3()(2)3( 22 kxkxk设 是 方 程则 211,yBA的两个不同的根，)()(42k3,1.21Nx由且 是线段 AB 的中点，得.)(,221k解得 k=-1，代入得， 12，即 的取值范围是（12，+ ）.于是，直线 AB 的方程为 04),1(3yxy即解法 2：设 则 有),(),(21xBA .0)(33 2121212121 yyyx依题意，.)(,2121 xkAB.04),1(3.,2.2),1( .1,6,3211yxyABNkyxAB即的 方 程 为
3、直 线 的 取 值 范 围 是在 椭 圆 内又 由 从 而的 中 点是（II）解法 1： .02,13yxyCDABCD即的 方 程 为直 线垂 直 平 分 代入椭圆方程，整理得 .042x 是 方 程则的 中 点 为又 设 43043 ,),(),(),( xyxMy的两根，).2,1( ,2,211043043 Mxxx即 且于是由弦长公式可得 ).3(2|)(1| 432xkCD将直线 AB 的方程 代 入 椭 圆 方 程 得,0y.16842x同理可得 .)12(| 212xkAB .|,)3(, CDAB时当假设在在 12，使得 A、B、C、D 四点共圆，则 CD 必为圆的直径，点
4、M 为圆心.点 M到直线 AB 的距离为 .23|421|4|0yxd于是，由、式和勾股定理可得 .|2|19|2|22 CDABdMA故当 1时，A、B、C、D 四点均在以 M 为圆心，|为半径的圆上.（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：A、B、C 、D 共圆 ACD 为直角三角形，A 为直角 即|,|2DNCA).2|)(|()2|( dC由式知，式左边=.1由和知，式右边=)23()23(,192式成立，即 A、B、C、 D 四点共圆解法 2：由（II）解法 1 及 . ,13, xyD方 程 为直 线垂 直 平 分代入椭圆方程，整理得.042x将直线 AB 的方程 ,4y代入椭圆
5、方程，整理得.1682x解和式可得 .231,2,4321 x不妨设)23,1(),(),3,( DCA 213,21C),3(DA计算可得 0C，A 在以 CD 为直径的圆上.又 B 为 A 关于 CD 的对称点，A、B 、C、D 四点共圆.（注：也可用勾股定理证明 ACAD）【点评】第一问可以作为直线与圆的知识点，第二问就作为函数思想算了，未知数一个嘛。（06 辽宁卷）已知点 1(,)xy, 2()120)x是抛物线2(0)ypx上的两个动点, O是坐标原点,向量 A,OB满足 OAB.设圆 C的方程为21212()()0xyxy(I) 证明线段 是圆 C的直径;(II)当圆 C 的圆心到
6、直线 X-2Y=0 的距离的最小值为时，求 P 的值。【解析】(I )证明 1: 22,()()OABOABO22 2OA 整理得: 012120xy设 M(x,y)是以线段 AB 为直径的圆上的任意一点 ,则 0MAB即 1212()()xy整理得: 2()0xy故线段 AB是圆 C的直径证明 2: 22,()()OABOAOB22 整理得: 012120xy.(1)设(x,y)是以线段 AB 为直径的圆上则即2112(,)yx去分母得: 1212()(0xy点 12,(,)xy满足上方程,展开并将(1)代入得:212()xy故线段 AB是圆 C的直径证明 3: 22,()()OABOAOB
7、22 整理得: 012120xy(1)以线段 AB 为直径的圆的方程为 22221111()()()()4xyxy展开并将(1)代入得:2220x故线段 AB是圆 C的直径(II)解法 1:设圆 C 的圆心为 C(x,y),则12xy2211,(0)ypxp214xp又因 1212y1212y211y0,x4p2212 1211()()4 4yyyp p2()p所以圆心的轨迹方程为22xp设圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则2221|()| |555yyx yppd 2()|5yp当 y=p 时,d 有最小值 ,由题设得p2.解法 2: 设圆 C 的圆心为 C(x,y),则12x
8、y2211,(0)ypxp214xp又因 1212y1212y211y12120,xy2124yp212121()()4 4yyp p2()p所以圆心的轨迹方程为2yxp设直线 x-2y+m=0 到直线 x-2y=0 的距离为5,则 2m因为 x-2y+2=0 与22ypx无公共点,所以当 x-2y-2=0 与2ypx仅有一个公共点时,该点到直线 x-2y=0 的距离最小值为5220()3xyp 将(2) 代入 (3)得220yp4()0p02.p解法 3: 设圆 C 的圆心为 C(x,y),则12xy圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则1212|()|5xyd2211,(0)yp
9、xp214yxp又因 1212y1212y211y0,x4p211222111|()(| ()8|455yyyyppd 21()45yp当 12yp时,d 有最小值 5p,由题设得25p2p.(山东理) 已知椭圆 C的中心在坐标原点，焦点在 x轴上，椭圆 C上的点到焦点距离的最大值为 3，最小值为 1（）求椭圆 的标准方程；（）若直线 :lykxm与椭圆 C相交于 A， B两点（ ， 不是左右顶点） ，且以AB为直径的圆过椭圆 的右顶点，求证：直线 l过定点，并求出该定点的坐标【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为21(0)xyab3,1ac，2,13acb2.4xy(II)设 12(,)
10、(,)AxyB，由2143ykxm得23480km，26(3)k， 20km.212124(3),.xx2212121123(4)()()().kykmkxx以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 ,0DABDk，121yx， 2112()4yxx，2223(4)(3)604mkmk，27160，解得12,7km，且满足 2340km.当 时， :()lyx，直线过定点 (,)与已知矛盾；当27k时，2:7lk，直线过定点2,0.7综上可知，直线 l过定点，定点坐标为(,).（07 湖南理）已知双曲线2xy的左、右焦点分别为 1F， 2，过点 2的动直线与双曲线相交于 AB， 两点（I）若动点 M
11、满足 11FABFO（其中 为坐标原点） ，求点 M的轨迹方程；（II）在 x轴上是否存在定点 C，使 为常数？若存在，求出点 C的坐标；若不存在，请说明理由20解：由条件知 1(20)F， ， 2()， ，设 1()Axy， ， 2()Bxy， 解法一：（I）设 Mxy， ，则 则 1F， 11F，1221()(0)FBxO， ， ，由 O得126y，即214xy，于是 AB的中点坐标为，当 不与 x轴垂直时，1248yyx，即 1212()8yx又因为 AB， 两点在双曲线上，所以21y，2xy，两式相减得1212122()()y，即 212()4()y将 12128yx代入上式，化简得2
12、(6)xy当 AB与 x轴垂直时， 12x，求得 (80)M， ，也满足上述方程所以点 M的轨迹方程是 (6)4y（II）假设在 x轴上存在定点 Cm， ，使 AB为常数当 AB不与 轴垂直时，设直线 的方程是 (2)1ykx代入2xy有222(1)4()0kx则 12， 是上述方程的两个实根，所以214kx，214kx，于是21212()()CABxmk221()(4kkxm2224)1k2 22 2()4(1)1mk因为 CAB是与 无关的常数，所以 0m，即 1，此时 CAB= 1当 与 x轴垂直时，点 AB， 的坐标可分别设为 (2)， ， (2)， ，此时 (12)1， ，故在 x轴
13、上存在定点 0C， ，使为常数解法二：（I）同解法一的（ I）有124xy，当 AB不与 x轴垂直时，设直线 AB的方程是 (2)1kx代入2y有222(1)4()0kx则 12x， 是上述方程的两个实根，所以214kx21212 24()kykx 由得241kx 241ky当 0k时， y，由得，4xky，将其代入有224()()1xxyy整理得2(6)4xy当 0k时，点 M的坐标为 (40)， ，满足上述方程当 AB与 x轴垂直时， 12x，求得 (80)M， ，也满足上述方程故点 的轨迹方程是 (6)y（II）假设在 x轴上存在定点点 ()Cm， ，使 AB为常数，当 AB不与 轴垂直时，由（I）有2141kx，241kx以上同解法一的（II） C是题型 1 简单类型，其实重点是一个有关定值问题。（07 湖北）在平面直角坐标系 xOy中，过定点 (0)Cp， 作直线与抛物线2xpy（0p）相交于 AB， 两点（I）若点 N是点 C关于坐标原点 的对称点，求 ANB 面积的最小值；（II）是否存在垂直于 y轴的直线 l，使得 l被以 C为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出 l的方程；若不存在，说明理由 （此题不要求在答题卡上画图）
