1、数列知识点1考纲要求要求层次内容 4A B C数列的概念 数列的概念和表示法 等差数列的概念 等比数列的概念 等差数列的通项公式与前 n项和公式 数列 等差数列、等比数列等比数列的通项公式与前 项和公式 2知识点(一)数列的该概念和表示法、（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项记作 ，在数列第na一个位置的项叫第 1 项（或首项） ，在第二个位置的叫第 2 项，序号为 的项叫第 项（也叫通项）记作 ；na数列的一般形式： ， ， ， ，简记作 。12a3nana（2）通项公式的定义：如果数列 的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式
2、就叫这个数列的通项公式说明： 表示数列， 表示数列中的第 项， = 表示数列的通项公式；nananaf 同 一 个 数 列 的 通 项 公 式 的 形 式 不 一 定 唯 一 。不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，（3）数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6项 ：4 5 6 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集 （或它的有限子集）的函数 当自变量 从 1 开始依次取值N ()fn时对应的一系列函数值 ， ，通常用 来代替 ，其图象是一群孤(1),2(3),ff(
3、)fnaf立的点（4）数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列） 、常数列和摆动数列（5）递推公式定义：如果已知数列 的第 1 项（或前几项） ，且任一项 与它的前一项 （或前几项）间nana1na的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式（2）等差数列1.等差数列的定义： （ d为常数） （ ） ；an122等差数列通项公式：， 首项: ，公差:d，末项:*11()()nadnaN1ana推广： 从而 ；m)mnd3等差中项（1）如果 ， ， 成等差数列，那么 叫做 与 的等差中项即： 或aAb
4、Aab2baAb（2）等差中项：数列 是等差数列n )2(21-nn 21nn4等差数列的前 n 项和公式：1()naS1()d21()ad2B（其中A、B是常数，所以当d0时，S n是关于n的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数 时， 是项数为 2n+1 的等差数列的中间项21（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数 乘以中间项）121nn na5等差数列的判定方法 （1） 定义法：若 或 (常数 ) 是等差数列 dan1dn1Nna（2） 等差中项：数列 是等差数列 2(21-an 21na（3） 数列 是等差数列 （其中 是常数）。nbknk,（4） 数列 是等差数列 ,（其中A、B是
5、常数）。S6等差数列的证明方法 定义法：若 或 (常数 ) 是等差数列dan1dan1Nna7.等差数列的性质：（1）当公差 时，等差数列的通项公式 是关于 的一次函 数，且斜率为公0d11()nd差 ；前 和 是关于 的二次函数且常数项为 0.n21()Sadan（2）若公差 ，则为递增等差数列，若公差 ，则为递减等差数列，若公差 ，则为常数列。00d（3）当 时,则有 ，特别地，当 时，则有 .mpqqpnm2mp2mnpa（4）若 、 为等差数列，则 都为等差数列nab12nb，(5) 若 是等差数列，则 ，也成等差数列 23,nnSS（6）数列 为等差数列,每隔 k(k )项取出一项(
6、 )仍为等差数 列na*N23,mkmkaa（7）设数列 是等差数列，d 为公差， 是奇数项的和， 是偶数项项的和， 是前 n 项的和n 奇S偶SS1.当项数为偶数 时，2121352nnnaSa a奇 246 1偶11=nnSaad偶 奇奇偶2、当项数为奇数 时，则12n1()(1)1nSaSnaSnn+1+奇 偶 奇 奇奇 偶 偶 偶（其中 是项数为 2n+1 的等差数列的中间项） a+（8）等差数列 的前 n 项和 ，前 m 项和 ，则前 m+n 项和SnSmnS(9)求 的最值nS法一：因等差数列前 项和是关于 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要 注意数列的特殊性。*N法二：
7、（1） “首正”的递减等差数列中，前 项和的最大值是所有非负项之和n即当 由 可得 达到最大值时的 值， 0da01naSn（2） “首负”的递增等差数列中，前 项和的最小值是所有非正项之和。即 当 由 可得 达到最小值时的 值，11nn或求 中正负分界项na法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前 n项和的图像是过原点的二次函数，故 n取离二次函数对称轴最近的整数时， 取最大值（或最小值） 。若 S p = S q则其对称轴为nS 2pqn（3）等比数列1. 等比数列的定义： ， 称为公比*12,naqnN0且 q2. 通项公式：， 首项： ；公比：11,0nnnaqABa1aq推广：
8、 ， 从而得 或nm nmqnm3. 等比中项（1）如果 成等比数列，那么 叫做 与 的等差中项即： 或,aAbAab2Aab注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列 是等比数列n21nn4. 等比数列的前 n 项和 公式：nS(1) 当 时， 1q1a(2) 当 时，1q11nnnaqaS5. 等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的 n,都有 为等比数列 11(0)nn naqqa或 为 常 数 ， n（2） 等比中项： （ 0） 为等比数列21nn1nn（3） 通项公式： 为等比数列aABa（4） 前 n 项和公式： 为 等比数列,nn
9、nSSABAB或 为 常 数 na6. 等比数列的证明方法依据定义：若 或 为等比数列*12,naqnN0且 1naqna7. 等比数列的性质(1) 当 时等比数列通项公式 是关于 n 的带有系数的类指数函数，底数为公比1 0nnnaqAB q前 n 项和 ，系数和常数项是互为相反111 nnnnnnaaSqAB数的类指数函数，底数为公比 q(2) 对任何 m,n ,在等比数列 中,有 ,特别的,当 m=1 时,便得到等比数列的通项公*Nnnm式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。(3) 若 m+n=s+t (m, n, s, t ),则 .特别的,当 n+m=2k 时,得*nms
10、ta 2nmka注： 12132nnnaa(4) 列 , 为等比数列,则数列 , , , (k 为非零常数) 均为等比数列.nbnkankanbn(5) 数列 为等比数列,每隔 k(k )项取出一项( )仍为等比数列na*N23,mkmka(6) 如果 是各项均为正数的等比数列,则数列 是等差数列 logan(7) 若 为等比数列 ,则数列 ， ， ，成等比数列n nS2n32,S(8) 若 为等比数列 ,则数列 , , 成等比数列a1a12nn123nnaa(9) 当 时， 当 时，1q q00,a0 时， 最小：当 d0,a0)na1snsna1当 d0 时， 最大( 0, 0)1snna
11、1在等差数列an中：(1)a5=6,a7=16,则 a1= ,公差 d=(2)a3=20,a10=-1,则 a15=思考：等差数列可以运用于哪些方面重要性数列是高中数学的重要内容之一，而等差数列作为一类重要的特殊数列，一方面它的定义、通项、求和、性质及运算是历年高考的热点，另一方面学生学习等差数列是探究特殊数列的开始，可以为今后学习数列提供帮助，更为等比数列提供了学习对比的依据。等差数列的概念 等差数列的通项公式等差数列前 n 项的和的求和公式一、基本概念1、数列：按照一定顺序排列着的一列数 +1nn数 列 的 项 、 数 列 的 项 数表 示 数 列 的 第 项 与 序 号 之 间 的 关
12、系 的 公 式通 项 公 式 ： 不 是 所 有 的 数 列 都 有 通 项 公 式符 号 控 制 器 ： 如 （ ） 、 （ ）递 推 公 式 ： 表 示 任 一 项 与 它 的 前 一 项 （ 或 前 几 项 ） 间 的 关 系 的 公 式 2有 穷 数 列 ： 项 数 有 限 的 数 列 无 穷 数 列 ： 项 数 无 限 的 数 列 递 增 数 列 ： 从 第 项 起 ， 每 一 项 都 不 小 于 它 的 前 一 项 的 数 列 数 列 分 类 递 减 数 列 ： 从 第 项 起 ， 每 一 项 都 不 大 于 它 的 前 一 项 的 数 列 常 数 列 ： 各 项 相 等 的 数
13、列 摆 动 数 列 ： 从 第 项 起 ， 有 些 项 大 于 它 的 前 一 项 ， 有 些 项 小 于 它 的 前 一 项 的 数 列 二、等差数列：从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个常数称为等差数列的公差，或1,nadnZ且 1,1nadnZ且1、若等差数列 的首项是 ，公差是 ，则有 na1d11nmnnadknbad性质： 23,+npqn mmkkkn nna abpqaa abb 等 差 中 项 ： 三 个 数 ， G， b组 成 的 等 差 数 列 ， 则 称 G为 与 b的 等 差 中 项 2=若 是 等 差 数 列 ， 则若 是 等 差 数 列 ，
14、则 、 、 、 、 构 成 公 差 公 差 d的 等 差 数 列若 、 是 等 差 数 列 则 、 是 等 差 数 列2、等差数列的前 项和的公式： 1 212naSpnq等差数列的前 项和的性质：n（1） *211*2121 1nnn nnnnnSdSaaSanSa 偶 奇奇偶 奇 偶奇 偶 奇偶若 项 数 为 ， 则 ，若 项 数 为 ， 则 ， ，（2） 232S,Smmn， 成 等 差 数 列是 等 差 数 列若等差数列 , 的前 n 项和为 ,则nab,nST12nSba（3）等差数列的求和最值问题：（二次函数的配方法；通项公式求临界项法）若 ，则 有最大值，当 n=k 时取到的最大
15、值 k 满足01dnS 01ka若 ，则 有最小值，当 n=k 时取到的最大值 k 满足01danS 01ka三、等比数列：从第 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个常数称为等比数列的公比21、通项公式及其性质 若等比数列 的首项是 ，公比是 ，则 na1q11,nnmaqa2223npqn mkmkkmkaGbnpqaaa ， G， b成 等 比 数 列 ， 则 称 G为 与 b的 等 比 中 项性 质 ： 若 是 等 比 数 列 ， 则、 、 、 、 成 公 比 的 等 比 数 列2、前 n 项和及其性质 11111,() ,1nnn nnnaqSaqaqAq232232S,S
16、nmmnnmmSq偶奇、 、 成 等 比 数 列性 质 若 项 数 为 ， 则， 成 等 比 数 列四、(1) 与 的关系： （检验 是否满足 ）na1;nna1a1nnS(2) 2222333()11()614n 五、一些方法1、等差数列、等比数列的最大项、最小项；前 n 项和的最大值、最小值2、求通向公式的常见方法（1）观察法；待定系数法（已知是等差数列或等比数列） ；（2） 累加消元 ; 累乘消元。1(),naf1(),naf（3 ） ；1 1,( )n nkk 倒 数 构 造 等 差 :；11 1,( )nn naa 两 边 同 除 构 造 等 差 :（4 ） 化为 构造等比1,nkb
17、1)()nnaxkx1naqpryqxy （ 构 造 等 比 数 列 ： ），化为 ，分 是否等 1 讨论。1nn 1nnqpp3、求前 n 项和的常见方法公式法、倒序相加、错位相减、列项相消、分组求和数列知识点巩固练习一、选择题1、一个三角形的三个内角 A、 B、 C 成等差数列，那么 的值是（ ）tanACA B C D不确定3332、等差数列 的公差为 2，若 ， ， 成等比数列，则 等于( )na1a342A B C D 468103、等比数列 an的前 3 项的和等于首项的 3 倍，则该等比数列的公比（ ）A2 B1 C2 或 1 D2 或14、等差数列 中，已知前 15 项的和 ，
18、则 等于（ ） n 90S158aA B12 C D625 45、等比数列 中, ,a5a6=9,则 ( )na031323310loglloglaA.12 B.10 C.8 D. 56、等比数列a n 的前 n 项和为 Sn ， 若 S4=1，S 8=4，则 a13+a14+a15+a16=（ ） A7 B16 C27 D647、数列 na的通项公式 1nan，则该数列的前（ ）项之和等于 9 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 98 B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 9C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 9 D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 78、在等比数列a n中,a 5a7=6,a2+a10=5,则 等于( )108aA. B. C. D. 或32或 23329、等差数列 na, b的前 项和分别为 nS,T,若 1n,则 nab=（ ）
