1、高考数学必胜秘诀（2）函 数1.映射 f: AB 的概念。在理解映射概念时要注意：A 中元素必须都有象且唯一；B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如（1）设 :fMN是集合 到N的映射，下列说法正确的是 A、 M中每一个元素在 中必有象 B、 中每一个元素在 M中必有原象 C、 N中每一个元素在 中的原象是唯一的 D 、 是 中所在元素的象的集合（答：A） ；（2）点 ),(ba在映射 f的作用下的象是 ),(ba，则在 f作用下点 ),3(的原象为点 _（答：（2，1） ） ；（3）若 4321A，,cbaB， R，则 到 B的映射有 个， 到 的映射有 个， A到的函数有 个（答：
2、81,64,81 ） ；（4）设集合 1,0,5N，映射:fN满足条件 “对任意的 x， ()fx是奇数 ”，这样的映射 f有_个（答：12） ；（ 5）设 2:f是集合 A 到集合 B 的映射，若 B=1,2，则 B一定是_（答： 或1 ）.2.函数 f: A B 是特殊的映射。特殊在定义域 A 和值域 B 都是非空数集！据此可知函数图像与 x轴的垂线至多有一个公共点，但与 y轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。如（1）已知函数 ()fx， F，那么集合(,)|(),|1yfy中所含元素的个数有 个（答： 0 或 1） ；（2）若函数 421的定义域、值域都是闭区间 2,b，则 （答：2
3、）3. 同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。如若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数” ，那么解析式为 2yx，值域为4，1 的“天一函数 ”共有_个（答：9）4. 求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：（1 ）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数 logax中0,xa且 1，三角形中 0A, 最大角 3，最小角 等。如（1）函数24lg3xy的定义域是_(答： (,2),(,4)；（2）若
4、函数27kx的定义域为 R，则 k_(答： 0,)；（3）函数 ()fx的定义域是 ,ab， 0，则函数 ()(Fxfx的定义域是_(答： ,a)；（4）设函数 2()lg1fa，若 )的定义域是 R，求实数 的取值范围；若 ()f的值域是 R，求实数 的取值范围（答： 1a； 1a）（2 ）根据实际问题的要求确定自变量的范围。（3 ）复合函数的定义域：若已知 ()fx的定义域为 ,b,其复合函数 ()fgx的定义域由不等式 ()agxb解出即可；若已知 g的定义域为 ,求 的定义域，相当于当 ,时，求 ()的值域（即 的定义域） 。如（1）若函数 y的定义域为 21，则 lo2f的定义域为_
5、 （答： 42|x） ；（2）若函数 2(1)fx的定义域为 2,1)，则函数 ()fx的定义域为_（答：1,5） 5.求函数值域（最值）的方法：（1 ） 配方法二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间,mn上的最值；二是求区间定（动） ，对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系） ，如（1）求函数 25,1,2yx的值域（答：4,8） ；（2）当 2,0(x时，函数 3)1(4)(2axf 在 时取得最大值，则 a的取值范围是_ （答：a） ；（3）已知 (4)xbf的图象过点（ 2,1） ，
6、则1212()()()Ff的值域为_（答：2, 5）（2 ） 换元法通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如（1） 2sin3cos1yx的值域为_（答： 74,8） ；（2 ） 1yx的值域为_（答： (,)） （令xt， 0。运用换元法时，要特别要注意新元 t的范围） ；（3）sincosincyxA的值域为_（答： 1,2） ；（4）249的值域为_（答： ,324） ；（3 ） 函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性，如求函数 sin1y，13xy，
7、 2sin1coy的值域（答： 1(,2、 （0,1） 、 3(,2） ；（4 ） 单调性法利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如求 (9)x， 229sisinyx， 53log1xy的值域为_（答： 80,、 1,、 ,0） ；（5 ） 数形结合法函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，如（1）已知点 (,)Pxy在圆 21y上，求 2yx及 x的取值范围（答：3,、 5,） ； （2）求函数 2()(8)的值域（答：0)） ；（3）求函数 26345yx及22614yx的值域（答： ,)、 (6,)）注意：求两点距离之和时，要将函数式变形，
8、使两定点在 x轴的两侧，而求两点距离之差时，则要使两定点在 轴的同侧。（6 ） 判别式法对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式： 2bykx型，可直接用不等式性质， 如求 23yx的值域（答： 3(0,2） mn型，先化简，再用均值不等式，如（1）求 1xy的值域（答：1(,2） ；（2）求函数 23xy的值域（答： 10,2） xmny型，通常用判别式法；如已知函数238log1mxny的定义域为 R，值域为 0，2 ，求常数 ,的值（答： 5mn）2xn型，可用判别式法或均值不等式
9、法，如求2x的值域（答： (,31,)）（7 ） 不等式法利用基本不等式 2(,)abaR求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。如设 12,xy成等差数列， 12xby成等比数列，则21)(ba的取值范围是_.（答： (,04,)） 。（8 ） 导数法一般适用于高次多项式函数， 如求函数 32(40fxx，3,x的最小值。 （答：48）提醒：（1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？（2 ）函数的最值与值域之间有何关系？6.分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表
10、示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值 0()fx时，一定首先要判断 0x属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。如（1）设函数21.()4()fx，则使得 ()fx的自变量 x的取值范围是_（答： ,0,） ；（2）已知0)1( ，则不等式 (2)5xfx的解集是_（答：3(,2）7.求函数解析式的常用方法：（1 ） 待定系数法已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：2()fxabc；顶点式： 2()fxamn；零点式：12)(x，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式） 。如已
11、知 为二次函数，且 (xf，且 f(0)=1,图象在 x 轴上截得的线段长为 2 ,求 f的解析式 。（答： 21)）（2 ） 代换（配凑）法已知形如 (fg的表达式，求 ()f的表达式。如（1）已知 ,sin)co1(2xf求 2f的解析式（答： 242(),2fxx） ；（2）若 1x，则函数 )1(xf=_（答： 3） ；（3）若函数)(f是定义在 R 上的奇函数，且当 ,0时， )1()f，那么当0,时， )(f=_（答： 3(）. 这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即 x的定义域应是 )gx的值域。（3 ） 方程的思想已知条件是含有 ()fx及另外一个函数的等式，可抓住等
12、式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于 及另外一个函数的方程组。如（1）已知()2)2fxfx，求 ()fx的解析式（答： 23fx） ；（2）已知 ()fx是奇函数， g是偶函数，且 +g= 1,则 ()= _（答： 1） 。8. 反函数：（1 ） 存在反函数的条件是对于原来函数 值域中的任一个 y值，都有唯一的 x值与之对应，故单调函数一定存在反函数，但反之不成立；偶函数只有 ()0)fx有反函数；周期函数一定不存在反函数。如函数 23yxa在区间1, 2上存在反函数的充要条件是 A、 ,a B、 ,a C、 1, D、 ,1a2, （答：D）（2 ）求反函数的步骤：反求 ；互换 、 y；
13、注明反函数的定义域（原来函数的值域） 。注意函数 (1)yfx的反函数不是 1()fx，而是 1()yfx。如设)0()1()2xxf.求 的反函数 )(1xf（答： ） （3 ）反函数的性质：反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域。如单调递增函数 )(f满足条件 )3(af= x ，其中 a 0 ，若 )(xf的反函数 )(1xf的定义域为 a4,1 ，则 x的定义域是 _（答：4,7 ）.函数 ()yf的图象与其反函数 1()yfx的图象关于直线 y对称，注意函数()f的图象与 1()的图象相同。如（1）已知函数 ()fx的图象过点(1,1),那么 4x的反函数的图
14、象一定经过点_（答：（1,3） ） ；（2）已知函数32f，若函数 ygx与 )1(xf的图象关于直线 y对称，求()g的值（答： 7） ； 1()fabfa。如（1）已知函数 )24(log)(3xf，则方程4)(1x的解 _（答：1 ） ；（2）设函数 f(x)的图象关于点（1,2）对称，且存在反函数 f，f (4)0，则 4f （答：2 ）互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性。如已知 f是 R上的增函数，点 1,3AB在它的图象上， 1fx是它的反函数，那么不等式 12logx的解集为_（答：（2,8） ） ；设 ()fx的定义域为 A，值域为 B，则有 1()fxB， ()f
15、(，但 11()f。9.函数的奇偶性。（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。如若函数 )(xf2sin(3)，25,3x为奇函数，其中 )2,0(，则 的值是 （答：0） ；（2 ）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：定义法：如判断函数 2|4|9xy的奇偶性_（答：奇函数） 。利用函数奇偶性定义的等价形式： ()0fx或 ()1fx（ ()0f） 。如判断 1()2xf的奇偶性_.（答：偶函数）图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于 y轴对称。（3
16、）函数奇偶性的性质：奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.若 ()fx为偶函数，则 ()(|)fxfx.如若定义在 R 上的偶函数 ()fx在(,0上是减函数，且 31=2，则不等式 2log81的解集为_.（答：.5)(2,)）若奇函数 fx定义域中含有 0，则必有 ()0f.故 ()f是 ()fx为奇函数的既不充分也不必要条件。如若 2()1xaf为奇函数，则实数 a_（答：1）.定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或
17、差） ”。如设 xf是定义域为 R 的任一函数， ()2fxF，()2fxG。判断 )(F与 xG的奇偶性； 若将函数 )10lgf，表示成一个奇函数 )(g和一个偶函数 h之和，则 )(g_（答： )(x为偶函数，)(为奇函数； 1x）复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.既奇又偶函数有无穷多个（ ()0f，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.10.函数的单调性。（1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法：在解答题中常用：定义法（取值作差变形定号）、导数法（在区间(,)ab内，若总有 ()0fx，则 ()fx为增函数；反之，若 ()fx在区间 (,)ab内为增函数，则 0fx，请
18、注意两者的区别 所在。如已知函数 3在区间 1上是增函数，则 的取值范围是 _(答： ,3）)；在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意 (0yx0)b型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为 (,)ba，减区间为 ,(ba.如（1）若函数 2)1)(2xxf 在区间（，4 上是减函数，那么实数 的取值范围是 _(答： 3a）)；（2）已知函数()2xf在区间 ,上为增函数，则实数 的取值范围 _（答： 1(,)2）；（3）若函数 log40,1afxax且 的值域为 R，则实数 a的取值范围是_(答： 04且 1）)；复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，如函数 2
19、1logyx的单调递增区间是_(答：（1,2）)。（2）特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，如若函数 2(log(3)afxx在区间 (,2a上为减函数，求 a的取值范围（答： (,23)）；二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“ ”和“或 ”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示 （3）你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（比较大小；解不等式；求参数范围）.如已知奇函数 )(xf是定义在 ),(上的减函数,若 0)12()(mff ，求实数 m的取值范围。（答： 123m）11. 常见的图象变换函数 axfy)0(的图象是把函数 xfy的图象沿 轴向左平移 a个单位得到
20、的。如设 )2,g的图像与 ()f的图像关于直线 y对称， ()hx的图像由 ()gx的图像向右平移 1 个单位得到，则 h为_(答： 2()log1)函数 f( )的图象是把函数 f的图象沿 轴向右平移 个单位得到的。如（1）若 2943xx，则函数 x的最小值为_(答：2)；（2）要得到 3lgy的图像，只需作 ylg关于 _轴对称的图像，再向_平移 3 个单位而得到(答： ；右) ；（3）函数 ()(2)1f的图象与 x轴的交点个数有_个( 答： 2)函数 xf+a0(的图象是把函数 xf助图象沿 y轴向上平移 a个单位得到的；函数 y+ )的图象是把函数 y助图象沿 轴向下平移 个单位
21、得到的；如将函数 axb的图象向右平移 2 个单位后又向下平移 2 个单位,所得图象如果与原图象关于直线 y对称, 那么 0,1)(baA RbaB,1)( 0,1)(baCRD0)( (答：C)函数 fy的图象是把函数 xfy的图象沿 轴伸缩为原来的 得到的。如（1）将函数 ()fx的图像上所有点的横坐标变为原来的 3（纵坐标不变） ，再将此图像沿 x轴方向向左平移 2 个单位，所得图像对应的函数为 _(答： (6)fx)；（2）如若函数 1yf是偶函数，则函数 (2)yfx的对称轴方程是_(答：)函数 xaf)0(的图象是把函数 f的图象沿 y轴伸缩为原来的 a倍得到的. 12. 函数的对
22、称性。满足条件 fxafbx的函数的图象关于直线 2abx对称。如已知二次函数 )0()(2xf 满足条件 )3()5(ff且方程 xf)(有等根，则 _(答： 21)； 点 (,)y关于 轴的对称点为 (,)xy；函数 xf关于 y轴的对称曲线方程为xfy；点 ,关于 轴的对称点为 ,；函数 关于 轴的对称曲线方程为； 点 (,)y关于原点的对称点为 (,)xy；函数 xf关于原点的对称曲线方程为xfy； 点 ,关于直线 a的对称点为 (),a；曲线 (,)0fxy关于直线 a的对称曲线的方程为 ,0f。特别地，点 关于直线 的对称点为 (,)yx；曲线 (,)0xy关于直线 yx的对称曲线
23、的方程为 ,0；点 (,)x关于直线 的对称点为 ,)；曲线 (,)f关于直线y的对称曲线的方程为 ,f。如己知函数 3,()2x,若)1(f的图像是 1C,它关于直线 yx对称图像是 ,C关于原点对称的图像为3,C则对应的函数解析式是_（答： 1x） ；曲线 (,)0fxy关于点 (,)ab的对称曲线的方程为 (,)0faby。如若函数 y2与 g的图象关于点（-2，3）对称，则 )g_（答：76x）形如 (,)acdcx的图像是双曲线，其两渐近线分别直线 dxc(由分母为零确定)和直线 y(由分子、分母中 x的系数确定 )，对称中心是点 (,)a。如已知函数图象 C与 2:1)1a关于直线
24、 yx对称，且图象 C关于点（2 ，3 ）对称，则 a 的值为_（答：2） |()|fx的图象先保留 (fx原来在 轴上方的图象，作出 轴下方的图象关于 x轴的对称图形，然后擦去 轴下方的图象得到； (|)fx的图象先保留 ()f在 y轴右方的图象，擦去 y轴左方的图象，然后作出 y轴右方的图象关于 y轴的对称图形得到。如（1）作出函数 2|log(1)|及 2log|1|的图象；（2）若函数 x是定义在 R 上的奇函数，则函数 )(xffxF的图象关于_对称 （答： 轴） 提醒：（1）从结论可看出，求对称曲线方程的问题，实质上是利用代入法转化为求点的对称问题；（2）证明函数图像的对称性，即证
25、明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（3）证明图像 1C与 2的对称性，需证两方面： 证明 1C上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在 上；证明 2C上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在 1C上。如（1）已知函数 )(1)(Raxf。求证：函数 )(xf的图像关于点 (,)Ma成中心对称图形；（2）设曲线 C 的方程是 xy3,将 C 沿 轴, y轴正方向分别平行移动 ,ts单位长度后得曲线 1。写出曲线 1的方程（答： 3()()yxtts） ；证明曲线 C 与 1关于点 2,stA对称。13. 函数的周期性。（1）类比“三角函数图像”得：若 ()f图像有两条对
26、称轴 ,()xab，则 ()yfx必是周期函数，且一周期为 2|Tab；若 yx图像有两个对称中心 ,0),ABa，则 是周期函数，且一周期为 |；如果函数 ()f的图像有一个对称中心 (,和一条对称轴 ()xba，则函数()f必是周期函数，且一周期为 4|Tb；如已知定义在 R上的函数 ()fx是以 2 为周期的奇函数，则方程 0f在 2,上至少有_个实数根（答：5）（2 ） 由周期函数的定义“函数 满足 xaf()，则 ()x是周期为a的周期函数” 得：函数 ()fx满足 xaf，则 ()f是周期为 2 的周期函数；若 1(0)af恒成立，则 T；若 ()()fxx恒成立，则 a.如(1)
27、 设 f是 ),上的奇函数， )()2(xfxf，当 10时，f)(，则 5.47等于_( 答： 5.0)；(2)定义在 R上的偶函数 满足2()xf，且在 3,2上是减函数，若 ,是锐角三角形的两个内角，则sin,cos的大小关系为_(答： (sin)(cos)ff)；（3）已知()f是偶函数，且 1f=993， ()gx= 1)f是奇函数，求 205的值(答：993) ；（4）设 f是定义域为 R 的函数，且 2fx1fx，又2f，则 206f= (答： )14.指数式、对数式：mna， 1mna， ， 0， log10a， l1a， lg251，loglex， log(,)bNbN， l
28、oaN， loglcab， mnaa。 如（1） 235llog49A的值为_(答：8)；（2）2log81()的值为 _(答： 64)15. 指数、对数值的大小比较：（1）化同底后利用函数的单调性；（2）作差或作商法；（3）利用中间量（0 或 1） ；（4）化同指数（或同真数）后利用图象比较。 16. 函数的应用。 （1）求解数学应用题的一般步骤：审题认真读题，确切理解题意，明确问题的实际背景，寻找各量之间的内存联系；建模通过抽象概括，将实际问题转化为相应的数学问题，别忘了注上符合实际意义的定义域；解模求解所得的数学问题；回归将所解得的数学结果，回归到实际问题中去。 （2）常见的函数模型有：
29、建立一次函数或二次函数模型；建立分段函数模型；建立指数函数模型；建立 byax型。17. 抽象函数：抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题。求解抽象函数问题的常用方法是：（1）借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数 ：正比例函数型： ()0)fxk - ()()fxyfy；幂函数型： 2 - (fxy， x；指数函数型： ()xfa - )()fxy， ()(ffy； 对数函数型： log - (fxy， xf； 三角函数型： ()tanfx - ()1fxyf。如已知 )(是定义在R 上的奇函数，且为周
30、期函数，若它的最小正周期为 T，则 2_（答：0）（2）利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：如（1）设函数 ()fxN表示 x除以 3 的余数，则对任意的 ,xyN，都有 A、(3fxB、 ()()fyfy C、 (3)(ffx D、)yy（答：A） ；（2）设 是定义在实数集 R 上的函数，且满足)1(2xfff，如果 2lg1f， 15lg(f，求 201f（答：1） ；（3）如设 )是定义在 R上的奇函数，且 )xx，证明：直线 x是函数)(xf图象的一条对称轴；（4）已知定义域为 的函数 f满足 )4()(ff，且当 时， (xf单调递增。如果 421，且
31、 (21，则)21的值的符号是 _（答：负数）（3）利用一些方法（如赋值法（令 x0 或 1，求出 0)f或 (f、令 yx或yx等） 、递推法、反证法等）进行逻辑探究。如（1）若 xR， )满足()(ff，则 的奇偶性是_（答：奇函数） ；（2）若 ， (f满足()fy，则 ()fx的奇偶性是_（答：偶函数） ；（3）已知 是定义在 3,上的奇函数，当 0x时，的图像如右图所示，那么不等式 ()cosfA的解集是_（答： (,1),22） ；（4）设 ()fx的定义域为 R，对任意 xyR，都有()fyy，且 时， ()0f，又 1()f，求证 f为减函数；解不等式 25x.（答： 0,14,5） O 1 2 3 xy
