1、解析几何与函数的综合问题（最值）一. 教学内容解析中的最值二. 重点、难点与解析几何有关的函数的值域或弦长，周长面积等的最大值，最小值，问题是解析几何与函数的综合问题。常用办法：（1）转化为二次函数，求二次函数值域（2）化为一元二次方程，用 （3）利用均值不等式（4）利用函数单调性，有界性（5）几何法【典型例题】例 1 过曲线 M 的右焦点 F 作直线 l，交 M 于 A、B ，求 的最值。（1）M： Pxy2（2）M：12ba（3）M： 2yx解：（1） 设 l：)2(Pxky（ 0k）)2(2xky0242Pxxk即0)(2 P)1(4422222 kPkkP)1(21)1(41 222
2、kPkkPABRk且 0),( l： 2xPAB PAB2最 小 值（2） 设 l： )(cxky 1)(2byacxk222)(bacxka0)(22ckxab)(4224kc 2422 kbakcab)1(244ka2221bkaabAB242)(kaacbb2210k时， ABmax 2,(abAB l： cx b2 l： cx b2min： 0y aABmx（3） 设 l： )(cxky 1)(2byacxk222)(bacxka0)(2(2 ckab)(4224kc 24422 kbacbkc)1(4ba22)(kakAB 22kab2242)(ba222 kakc),(abk时，
3、),AB,(,，),2(ab l： cx abAB2 无最大值当 ba时，最小值为 l： cx abAB2时，最小值为 ： 0y ba时，最小值为abAB2例 2 如图，定长为 3 的线段 AB 的两端在 xy上移动，且线段中点为 M，求点 M 到 y 轴的最短距离。解：设 ),(1yxA),(2B ),(yxM 9)()(212112yxy代入消去 、 2、 、 2得 0)4()64(xyxy * )9()1(2 54x2y符合题意另解：由*式 4516916946222 yyx另解：如图， l为准线 F 为焦点 ACF， BDONyxCFDBAM231)(21)(21 AFBACMN 当且
4、仅当 A、F 、B 三点共线时， minMN 451mx )2,45(【模拟试题】一. 选择题1. 已知 x、 *Ny， yx，且满足 xyx1933，设)(log21yxa，则（ ）A. )2,3(a B. 1,2a C. ),2( D. ,2. 不等式051762x的解集是（ ）A.),(),()3,4(B. )2,3()4,1(C. ),2()1,(D. ),(3. 两直线 kxy和 042yx的交点在第四象限，则 k的取值范围是（ ）A. )2,6( B. )0,61(C. )61,2(D.),21(4. 已知曲线 C 的方程为 02yxy，点 ),yxP为曲线 C 上的一点，则2yx
5、的最小值为（ ）A. 1B. 2 C. 1 D. 不存在5. 已知椭圆 E：2axby)0(a， ),(aA， ),0(bB，若原点 O 到直线 AB 的距离为b36，则椭圆 E 的离心率 e 为（ ）A. 2 B. 3 C. 36D. 466. 设 AB 为过双曲线12byax的中心的弦，P 是双曲线上不与 A、B 重合的点，若PA、 PB 的斜率分别为 k1、k 2，则 k1k2 的值为（ ）A. 2baB. C. cD. 不能确定7. 如果命题：“曲线 C 上的点的坐标满足方程 0),(yxF”是真命题，则下列各命题中假命题的个数是（ ）（1）方程 0),(yxF的曲线为 C；（2）曲线
6、 C 是方程 ),(yx的轨迹；（3）满足方程 ),(的点都在曲线 C 上；（4）方程 0),(yx的曲线不一定是 C。A. 1 B. 2 C. 3 D. 48. 已知 F1、F 2 为椭圆 E 的焦点，若椭圆 E 上存在点 P 使得 321F，则椭圆 E 的离心率的范围是（ ）A. ),0( B. )1,C. )1,23(D. 不能确定9. 已知关于 x的方程 31)(2xk有解，则实数 k 的取值范围是（ ）A. 35,(B. 5,C. ,2)1,(D. 3,1),(10. 记定点)30,(M与抛物线 C： xy2上的点 P 之间的距离为 1d，P 点到抛物线 C 准线 l的距离为 2d，
7、则当 21d去最小值时，P 点的坐标为（ ）A. ),( B.)30,95(C. )6,( D.)1,2(二. 填空题11. 已知 x、 Ry，且满足 1)()1(22yx，则代数式 1yx的取值范围是 。12. 过抛物线焦点 F 的直线与抛物线相交于 A、B 两点，若 A、B 在抛物线准线上的射影为A1、B 1，则 1等于 。13. 已知椭圆 E： 925yx的右焦点 F，点 )2,4(，点 P 为椭圆 E 上的一点，则PF45的最大值为 。14. 若直线 l与椭圆192yx相交于不同的两点 A、B，且线段 AB 恰好被直线 21x平分，则直线 的倾斜角的范围是 。15. 曲线 xy242上
8、与原点距离最近的点的坐标为 。16. 以 )0,3(1F， ),(为焦点的双曲线，与直线 012yx有公共点，且实轴最长的双曲线方程是 。三. 解答题17. 已知椭圆 E 的两焦点为 )1,0(F， ),(2，直线 4y是椭圆 E 的一条准线。（1）求椭圆 E 的方程；（2）设点 P 在椭圆 E 上，且 21P，求 21tanPF的值。18. 已知圆 C： 22ryx，直线 l： )0(rmx，点 P 为 l上一点，PA、PB 分别与圆 C 相切于 A、B。（1）求 AB 中点 M 的轨迹方程。（2）求 的取值范围。19. 已知双曲线 E：12byax的离心率 2e，点 A、B 在双曲线 E
9、的渐近线上，若 AB的中点 P 在双曲线 E 上，且 OAB的面积 3S（其中 O 为坐标原点） ，求双曲线 E 的方程。20. 矩形 ABCD 的顶点 A、B 在直线 mxy2上，C、D 在抛物线 xy42上，该矩形的外接圆方程为 042txy（1）求矩形 ABCD 对角线交点 M 的坐标。（2）求此矩形的长，并确定 m、t 的值。【试题答案】一.1. A 2. A 3. C 4. C 5. A 6. B 7. C8. B 9. D 10. A二.11. ),17,( 12. 90 13. 9 14. 32,(),315. )0,( 16. 172yx三.17. 解： 1c 42a 3b 1
10、42yx254121PFPF53cos21PF 34tan21PF18. 设 ),(tm 以 OP 为直径的圆为 0)()(mxty ABl： 2rxyt OPl：xty22try（t 为参数）消参：02m（ x） 2),0(tmldAB22421trtrAB 0t时 2minrt时 rAB2 )2,2rmrAB19. 解：312eab 23ab E：132ayx两渐近线 xy设 ),(21xA ),(2yB则32OA由3sin3O2412x21x设 AB 中点， ),(yxP )(322121xy代入ax24)(121xx 162y20. 解：（1）由外接圆 417)2()1(2tyx )2,1(M（2） ABCD/ CDl： xn2 02ny*设 CD 中点为 N 21nyN由 CDMN21NMxy4n
