1、高中数学常用公式及结论1 元素与集合的关系: Ux A x C A , Ux C A x A . A A欺 蛊2 集合 1 2 , , , na a aL 的子集个数共有2n 个；真子集有2 1n - 个；非空子集有2 1n - 个；非空的真子集有2 2n - 个.3 二次函数的解析式的三种形式：(1) 一般式 2( ) ( 0)f x ax bx c a ;(2) 顶点式 2( ) ( ) ( 0)hf x a akx= - + ;（当已知抛物线的顶点坐标( , )h k 时，设为此式）(3) 零点式 1 2( ) ( )( )( 0)f x a x x x ax= - - ；（当已知抛物线
2、与x轴的交点坐标为 1 2( ,0),( ,0)x x 时，设为此式）（4）切线式： 0 2( ) ( ) ( ( ), 0x kx df x a x a= - + + 。（当已知抛物线与直线y kx d= + 相切且切点的横坐标为 0x 时，设为此式）4 真值表： 同真且真，同假或假5 常见结论的否定形式;原结论 反设词 原结论 反设词是 不是 至少有一个 一个也没有都是 不都是 至多有一个 至少有两个大于 不大于 至少有n个 至多有（ 1n ）个小于 不小于 至多有n个 至少有（ 1n ）个对所有x，成立 存在某x，不成立 p或q p 且 q对任何x，不成立 存在某x，成立 p且q p 或
3、 q6 四种命题的相互关系(下图):（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.）原命题 互逆 逆命题若则 若则互 互互 为 为 互否 否逆 逆 否 否否命题 逆否命题 若非则非 互逆 若非则非充要条件： (1) p q，则P是q的充 条件，反 ，q是p的 要条件； （2） p q，且q p，则P是q的充 不 要条件；(3) p p ，且q p，则P是q的 要不充 条件；14 p p ，且q p，则P是q的 不充 不 要条件。函数 :函数：(1) 是：y x的 大 大。（2） 数学 表 是：设f（x）在x D 有定 ，若对任 的 1 2 1 2, ,x x D x x 且 ，都有1 2
4、( ) ( )f x f x 成立，则 f（x）在x D 是 函数。D则 是f（x）的 。：(1) 函数+ 函数= 函数；（2） 函数+ 函数= 函数； (3) 函数- 函数= 函数；(4) 函数- 函数= 函数；： 结 中的函数的定 一般下是要的，是 两个函数定 的交集。currency1合函数的 ：函数 “函数 “函数 currency1合函数 fi关系：(1)设 1 2 1 2, , ,x x a b x x喂 fl 1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0x x f x f x baxfxx xfxf ,)(0)()(2121 在 是 函数； 1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0x
5、 x f x f x baxfxx xfxf ,)(0)()(2121 在 是 函数.(2)设函数 )(xfy 在某个 ， 0)( xf ，则 )(xf 为 函数； 0)( xf ，则)(xf 为 函数. 函数的 ：（ ：是 函数的条件是：定 关于原点对”）函数：定 ：在条件下，若有 ( ) ( ) ( ) ( ) 0f x f x f x f x- =- - + =或 ，则f（x） 是 函数。：（1） 函数的图关于原点对”；（2） 函数在x 0x0 有相同的 ；（3） 定 在R 的 函数，有f（0）=0 .函数：定 ：在条件下，若有 ( ) ( )f x f x- = ，则f（x） 是函数。
6、：（1） 函数的图关于y轴对”；2（2） 函数在x 0x0 有相反的 ；函数 的关系：(1) 函数函数= 函数； （2） 函数 函数=函数；(3) 函数函数=函数； (4) 函数 函数= 函数（也有 函数的）(5) 函数函数=函数； (6) 函数函数=非 非函数函数的图关于原点对”，函数的图关于轴对”;反， 一个函数的图关于原点对”，fl 个函数是 函数； 一个函数的图关于轴对”，fl 个函数是函数9函数的 ：定 ：对函数f（x），若存在T 0， f（x+T）=f（x），则 f（x）是函数，中，T是f（x）的一个。函数种常见的表 形式： (1) f（x+T）= （），此时为2T ；（2） f（
7、x+m）=f（x+n），此时为2 m n- ；(3) 1( ) ( )f x m f x+ =- ，此时为2m 。1常见函数的图：k0y=kx+boyx a0y=ax2+bx+coyx 011y=axoyx011y=logaxoyx11 对于函数 )(xfy ( Rx ), )()( xbfaxf 成立,则函数 )(xf 的对”轴是 2bax ;两个函数 )( axfy 与 )( xbfy 的图关于直线 2b ax -= 对”. 12 数 数 与 式的 ：(1) m n mna a= （ 0, ,a m n N ，且 1n ）.（2）1 1mnm n mnaaa- = =（ 0, ,a m n
8、 N ，且 1n ）.（3）( )nn a a .（4）当n为 数时，n na a ；当n为数时，, 0| |, 0n n a aa aa a .13 数式与对数式的互 式: log ba N b a N= ( 0, 1, 0)a a N .数 ：(1)1 1p pa a- = ； （2） 0 1a = （ 0a ） ； (3) ( )mn m na a=(4) ( 0, , )r s r sa a a a r s Q ； (5) m n mna a= ； 3数函数：(1) ( 1)xy a a= 在定 是 函数；（2） (0 1)xy a a= 在定 是 函数；（2） log (0 1)ay
9、 x a= 或(4) log 0 (0,1) (1, )a x a x ,且 1a , 0m ,且 1m , 0N ).对数 式： loga Na N= ( 0a ,且 1a , 0N ).论 log logm n aa nb bm ( 0a ,且 1a , 0N ).15对数的四则 则:若 ， 1， ， ，则(1)log ( ) log loga a aMN M N ; (2) log log loga a aM M NN ;(3)log log ( )na aM n M n R ; (4) log log ( , )m n aa nN N n m Rm= 。16 的 题（ 时 0p ）：
10、原 值的数为 ， 为p，则对于时 x的 值y，有 (1 )xy N p .1 数 ：公式： （1） 1 ( 1)na a n d= + - ，中 1a 为 ，d为公，n为 数， na 为 。（2） ： ( )n ka a n k d= + -（3） 1( 2)n n na S S n-= - （ ： 公式对任 数 都 用）n ： （1） 1( )2 nn n a aS += ；中 1a 为 ，n为 数， na 为 。4（2） 1 ( 1)2n n nS na d-= +（3） 1 ( 2)n n nS S a n-= + （ ： 公式对任 数 都 用）（4） 1 2n nS a a a= +
11、+ +L （ ： 公式对任 数 都 用）常用 ：（1） 若m+n=p+q ，则有 m n p qa a a a+ = + ；：若 ,m n pa a a是 的中 ，则有2 m n pa a a= + n m p成。（2） 若 na nb 为数 ，则 n na b 为数 。（3） na 为数 ， nS 为n ，则 2 3 2, ,m m m m mS S S S S- - 也成数 。（4） , , 0p q p qa q a p a += = =则 ； （5） 1+2+3+ +n= 2 )1( nn数 ：公式：（1） 1 *11 ( )n nn aa aq q n Nq ，中 1a 为 ，n为
12、数，q为公。（2） ： n kn ka a q -=（3） 1( 2)n n na S S n-= - （ ： 公式对任 数 都 用）n ：（1） 1 ( 2)n n nS S a n-= + （ ： 公式对任 数 都 用）（2） 1 2n nS a a a= + + +L （ ： 公式对任 数 都 用）（3）11( 1)(1 ) ( 1)1nnna qS a q qq= -常用 ：（1） 若m+n=p+q ，则有 m n p qa a a a ；：若 ,m n pa a a是 的中 ，则有 2m n pa a a= 综 n m p成。（2） 若 na nb 为数 ，则 n na b 为数 。
13、18 ( ) ：次 (1 )(1 ) 1nnab bxb 元( a元,n次 , 为b ).19三 不式：（1）若 (0, )2x p ，则sin tanx x x .5(2) 若 (0, )2x p ，则1 sin cos 2x x + .(3) |sin | |cos | 1x x+ .2 同 三 函数的本关系式 ： 2 2sin cos 1 ，tan= cossin ，21 正弦 余弦的诱公式（ 不， 看限）22 与 公式sin( ) sin cos cos sin ;cos( ) cos cos sin sin m ;tan tantan( )1 tan tan m .sin cosa
14、b = 2 2 sin( )a b (辅助 所在限由点( , )a b 的限决定,tan ba ).23 二倍 公式及降 公式 sin2 sin cos 22tan1 tanaa= + .2 2 2 2cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin 221 tan1 tanaa-=+ .22tantan21 tan . sin2 1 cos2tan1 cos2 sin2a aaa a-= =+ 2 21 cos2 1 cos2sin ,cos2 2a aa a- += =24 三 函数的公式 函数 sin( )y x ，R及函数 cos( )y x ，R(A,为常数，且A )的2| |T
15、pw= ；函数 tan( )y x ， ,2x k k Z (A,为常数，且A )的| |Tpw= .三 函数的图：-11y=sinx-2 23/2/2-3/2 -/2oyx-11y=cosx-2 23/2/2-3/2 - -/2 oyx25 正弦定理 ： 2sin sin sina b c RA B C （R为 ABCD 接圆的半径）.2 sin , 2 sin , 2 sina R A b R B c R C= = : : sin :sin :sina b c A B C26余弦定理：2 2 2 2 cosa b c bc A ; 2 2 2 2 cosb c a ca B ; 2 2 2
16、 2 cosc a b ab C .2 面积定理：6（1） 1 1 12 2 2a b cS ah bh ch （ a b ch h h 别表示 b c 的高）.（2） 1 1 1sin sin sin2 2 2S ab C bc A ca B .(3) 2 21 (| | | |) ( )2OABS OA OB OA OB uuur uuur uuur uuur.2 ,2a b cSr ra b cDD D+= =+ +斜切圆直 切圆2三 形 定理 ：在ABC中，有 ( )A B C C A Bp p+ + = - +2 2 2C A Bp +- 2 2 2( )C A B .29实数与向量
17、的积的 律:设 为实数，fl ：(1) 结合律：(ar)=() ar;(2)第一 配律：(+) ar=ar+ar;(3)第二 配律：(ar+br)=ar+br.3ar与br的数量积(或积)：arbr=|ar|br|cosq。31面向量的坐标 ：(1)设ar= 1 1( , )x y ,br= 2 2( , )x y ，则ar+br= 1 2 1 2( , )x x y y .(2)设ar= 1 1( , )x y ,br= 2 2( , )x y ，则ar br= 1 2 1 2( , )x x y y . (3)设A 1 1( , )x y ，B 2 2( , )x y ,则 2 1 2 1
18、( , )AB OB OA x x y y uuur uuur uuur.(4)设ar=( , ),x y R ，则 ar=( , )x y .(5)设ar= 1 1( , )x y ,br= 2 2( , )x y ，则arbr= 1 2 1 2( )x x y y .32 两向量的夹 公式：1 2 1 22 2 2 21 1 2 2cos | | | | x x y ya ba bx y x yq += =+ rrrr (ar= 1 1( , )x y ,br= 2 2( , )x y ).33 面两点 的距离公式：,A Bd =| |AB AB AB uuur uuur uuur 2 2
19、2 1 2 1( ) ( )x x y y (A 1 1( , )x y ，B 2 2( , )x y ).34 向量的行与垂直 ：设ar= 1 1( , )x y ,br= 2 2( , )x y ，且br 0r，则：ar|br br=ar 1 2 2 1 0x y x y .（交叉相乘为零）ar br (ar 0r) arbr= 1 2 1 2 0x x y y .（对应相乘为零）735 线段的定 公式 ：设 1 1 1( , )P x y ， 2 2 2( , )P x y ， ( , )P x y 是线段 1 2PP的 点,是实数，且1 2PP PPuuur uuur，则1 21 21
20、1x xxy yy 1 21OP OPOP uuur uuuruuur 1 2(1 )OP tOP t OP uuur uuur uuur（ 11t ）.36三 形的重心坐标公式： ABC三个顶点的坐标 别为 1 1A(,) 2 2B(,) 3 3C(,),则ABC的重心的坐标是 1 2 3 1 2 3( , )3 3x x x y y yG .3 三 形五“心”向量形式的充要条件：设O为 ABC 所在面 一点， , ,A B C所对 别为 , ,a b c，则（1）O为 ABC 的心 2 2 2OA OB OC uuur uuur uuur .（2）O为 ABC 的重心 0OA OB OC
21、uuur uuur uuur r.（3）O为 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA uuur uuur uuur uuur uuur uuur.（4）O为 ABC 的心 0aOA bOB cOC uuur uuur uuur r. （5）O为 ABC 的 A 的旁心 aOA bOB cOC uuur uuur uuur.3常用不式：（1） ,a b R 2 2 2a b ab (当且仅当 b时取“=” )（2） ,a b R 2a b ab (当且仅当 b时取“=” )（3） 3 3 3 3 ( 0, 0, 0).a b c abc a b c （4） bababa .（5）2
22、222 2ab a b a baba b+ + (当且仅当 b时取“=” )。39极值定理:已知 yx, 都是正数，则有（1）若积xy是定值p，则当 yx 时 yx 有最小值 p2 ；（2）若 yx 是定值s，则当 yx 时积xy有最大值 241s .（3）已知 , , ,a b x y R+，若 1ax by+ = 则有821 1 1 1( )( ) 2 ( )by axax by a b a b ab a bx y x y x y+ = + + = + + + + = + 。（4）已知 , , ,a b x y R+，若 1a bx y+ = 则有2( )( ) 2 ( )a b ay b
23、xx y x y a b a b ab a bx y x y+ = + + = + + + + = +4 一元二次不式 2 0( 0)ax bx c 或 2( 0, 4 0)a b ac ， a与 2ax bx c 同 ，则解集在两 ； a与 2ax bx c 异 ，则解集在两 .简言 ：同 两 ，异两 .即：1 2 1 2 1 2( )( ) 0( )x x x x x x x x x ；1 2 1 2 1 2, ( )( ) 0( )x x x x x x x x x x 或 .41 含有绝对值的不式 ：当 时，有2 2x a x a a x a .2 2x a x a x a 或x a
24、.42 斜 公式 ：2 12 1y ykx x （ 1 1 1( , )P x y 2 2 2( , )P x y ）.43 直线的五种方程：（1）点斜式 1 1( )y y k x x (直线l点 1 1 1( , )P x y ，且斜 为k )（2）斜截式 y kx b (b为直线l在轴 的截距).（3）两点式 1 12 1 2 1y y x xy y x x ( 1 2y y )( 1 1 1( , )P x y 2 2 2( , )P x y ( 1 2 1 2,x x y y构 ).两点式的 ： 2 1 1 2 1 1( )( ) ( )( ) 0x x y y y y x x- -
25、 - - - = （无任何限制条件！）(4)截距式 1x ya b (a b 别为直线的横 纵截距， 0 0a b构 )（5）一般式 0Ax By C (中A B不同时为0).直线 0Ax By C 的 向量： ( , )l A B=r，方向向量： ( , )l B A= -r44 夹 公式：9(1) 2 12 1tan | |1k kk k . ( 1 1 1:l y k x b ， 2 2 2:l y k x b , 1 2 1k k )(2) 1 2 2 11 2 1 2tan | |AB A BAA BBa -= + .( 1 1 1 1: 0l Ax B y C , 2 2 2 2:
26、 0l A x B y C , 1 2 1 2 0AA BB ).直线 1 2l l 时，直线l1与l2的夹 是2 .45 1l 到 2l 的 公式：(1) 2 12 1tan 1k kk ka -= + .( 1 1 1:l y k x b ， 2 2 2:l y k x b , 1 2 1kk )(2) 1 2 2 11 2 1 2tan AB A BAA BBa -= + .( 1 1 1 1: 0l Ax B y C , 2 2 2 2: 0l A x B y C , 1 2 1 2 0AA BB ).直线 1 2l l 时，直线l1到l2的 是2 .46 点到直线的距离 ： 0 02
27、 2| |Ax By Cd A B (点 0 0( , )P x y ,直线l： 0Ax By C ).47 圆的四种方程：（1）圆的标准方程 2 2 2( ) ( )x a y b r .（2）圆的一般方程 2 2 0x y Dx Ey F ( 2 2 4D E F ).（3）圆的参数方程 cossinx a ry b r .（4）圆的直径式方程 1 2 1 2( )( ) ( )( ) 0x x x x y y y y (圆的直径的端点是 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y ).4点与圆的位置关系：点 0 0( , )P x y 与圆 222 )()( rbyax 的位置关系有三种：若 2 20 0( ) ( )d a x b y ，则d r 点P在圆;d r 点P在圆 ; d r 点P在圆.49直线与圆的位置关系：直线 0 CByAx 与圆 222 )()( rbyax 的位置关系有三种(22 BACBbAad):0 相离rd ; 0 相切rd ; 0 相交rd .5 两圆位置关系的判定方 :设两圆圆心 别为O1，O2，半径 别为r1，r2， dOO 21 ，则：10
