1、第四章一阶逻辑基本概念,（谓词逻辑）,1,本章主要内容,4.1 一阶逻辑命题符号化4.2 一阶逻辑公式及解释,2,4.1 一阶逻辑命题符号化,个体词、谓词、量词的概念一阶逻辑命题的符号化,3,一、个体词、谓词、量词的概念,定义：个体词（个体）: 可以独立存在的具体或抽象的客体。,个体词的基本概念,例：我是老师。其中“我”就是个体词。,张三比李四高。其中“张三”、“李四”都是个体词。,4,一、个体词、谓词、量词的概念,个体常项：具体的客体，用a, b, c表示。个体变项：抽象或泛指的事物，用x, y, z表示。,个体域（论域）: 个体变项的取值范围。,例：x高于y。x，y都是个体变项。,有限个体
2、域即个体域是有限集合,无限个体域即个体域是无穷集合,全总个体域 宇宙间一切事物组成。,5,一、个体词、谓词、量词的概念,谓词的基本概念,定义: 表示个体词性质或相互之间关系的词。,例：张华是大学生。 李凯是大学生。,是大学生,例：张三比李四高。,比高,6,一、个体词、谓词、量词的概念,谓词常项：表示具体性质或关系 例：是大学生，记为F，F(张华)表示“张华是大学生”。谓词变项：表示抽象及泛指的性质或关系 例：具有性质F，记为F， F(张华)：张华具有性质F,谓词常项和变项都用大写字母表示。,7,一、个体词、谓词、量词的概念,n元谓词(n2): 含有n个个体变项的谓词。如：L(x,y)：xy，L
3、是一个二元谓词。一元谓词: 只含有一个个体变项的谓词。 如：F(x)：x是女孩。0元谓词: 不含个体变项的谓词。,8,一、个体词、谓词、量词的概念,如：上例二元谓词L中的x,y代以个体“2”和“1”,则L(2,1)就是命题“21”。此时二元谓词变成0元谓词。,同理：一元谓词F(x)中的x代以个体“小王”，则F(小王)就是命题“小王是女孩”。也是0元谓词。,谓词逻辑包括命题逻辑。,9,一、个体词、谓词、量词的概念,例1：用0元谓词将下述命题符号化。 (1) 墨西哥位于南美洲,在命题逻辑中, 设 p: 墨西哥位于南美洲符号化为 p, 该命题为真命题。,在一阶逻辑中, 设 a：墨西哥；F(x)：x位
4、于南美洲； 符号化为F(a),10,一、个体词、谓词、量词的概念,(2) 是无理数仅当 是有理数,在一阶逻辑中，设F(x): x是无理数；G(x): x是有理数符号化为,在命题逻辑中,设 p: 是无理数;q: 是有理数. 符号化为 p q, 这是假命题。,11,一、个体词、谓词、量词的概念,（3） 如果23，则33，q：3y，G(x,y)：x10 。,19,二、一阶逻辑中命题符号化,令 F(x): x是无理数, G(y): y是有理数, L(x,y)：xy x (F(x) y(G(y)L(x,y),（2）有的无理数大于有的有理数,20,二、一阶逻辑中命题符号化,（3）没有不犯错的人。,设：P(
5、x)：x是人； Q(x)：x犯错误。,21,二、一阶逻辑中命题符号化,令 F(x): x是金属，G(x): x是液体， L(x,y): x溶解在y中,（4）任何金属都可以溶解在某种溶液中。,22,二、一阶逻辑中命题符号化,（5）某些人对所有的花粉都过敏。,令 F(x): x是人, G(y): y是花粉, L(x,y)：x对y过敏。,23,二、一阶逻辑中命题符号化,（6）所有的学生都上课了，这是错的。,令 F(x): x是学生, G(x): x上课了。,这句话相当于“有些学生没有上课”。,24,二、一阶逻辑中命题符号化,（7）不存在最大的整数。,令 F(x): x是整数, L(x,y)：x比y大
6、。,这句话相当于：“任意一个整数，都存在比它大的整数”。,25,二、一阶逻辑中命题符号化,例4：（教材例4.5）将下列命题符号化（1）兔子比乌龟跑得快。（2）有的兔子比所有的乌龟跑得快。（3）并不是所有的兔子都比乌龟跑得快。（4）不存在跑得同样快的两只兔子。,26,二、一阶逻辑中命题符号化,例5:设A(x):x能被3整除； B(x):x能被6整除.个体域为：1,2,6,7,12分析如下情况的真值。,真,假,真,真,27,二、一阶逻辑中命题符号化,例6：考虑个体域为实数域，则命题“对于 任意的x，都存在y，使得xy”应该符号化 为下面的哪一种形式？ 令：L(x,y): x2, G(x): x1,
7、个体域N, F(x): x1, G(x): x2,成真解释,代入得A = x(x2x1),真命题,成假解释,代入得A= x(x1 x2),假命题,40,三、公式的解释,对公式中的各个抽象符号给出如下解释：（1）个体域D=N；（2）a=0（3）f(x,y)=x+y，g(x,y)=xy（4）F(x,y)：x=y,例：,由于公式是抽象的符号串，若不对它们给以具体解释，则公式是没有实在意义的。,41,三、公式的解释,定义：解释I由下面4部分组成： (a)非空个体域DI (b)DI中一些特定元素的集合 (c)DI上特定函数集合 (d)DI上特定谓词的集合,42,三、公式的解释,例3 给定解释I 如下:
8、(a) 个体域 D=N（包括0） (b) (c) (d) 谓词 说明下列公式在 I 下的涵义,并讨论真值。,43,三、公式的解释,(1) xF( g(x,a), x),x(2x=x),(2) xy(F(f (x,a), y)F(f(y,a), x),xy(x+2=yy+2=x),(3) xF(f(x,x),g(x,x),x(2x=x2),假命题,假命题,真命题,44,三、公式的解释,(5) xyzF(f(y,z),x),xyz (y+z=x),(4) xyzF(f(x,y),z),xyz (x+y=z),真命题,假命题,(6) x F(g(x,y),z),xy=z,不是命题,45,三、公式的解
9、释,小结： (1)(5)中的公式都是闭式,在I下全是命题。 (6)与(7)中的公式都不是闭式,但(6)在该解释下没有确定的真值，而(7)的真值为真 。,(7) xF(g (x,a), x)F(x,y),x(2x= x)(x=y),真命题,闭式: 不含自由出现的个体变项的公式。例：,定理：闭式在任何解释下都是命题。,46,四、公式的类型,永真式（逻辑有效式）：无成假解释矛盾式（永假式）：无成真解释可满足式：至少有一个成真解释,47,例5：证明下面公式不是永真式。,只要找到一个使公式成假的解释就可以证明该公式不是永真式。,设论域为整数集合，F(x,y):xy,前件为：对任意整数x，存在整数y，使得xy。其真值为真。后件为：存在整数x，对任意的整数y都有xy。其真值为假。,所以在这样的解释下，公式为假，即不是永真式。,48,四、公式的类型,例：判断公式 的类型,定义：设A0是含命题变项p1, p2, ,pn的命题公式，A1,A2,An是n个谓词公式，用Ai代替A0中所有的pi (1in) ，得到的公式A称为A0的代换实例。,定理：重言式的代换实例都是永真式，矛盾式的代换实例都是矛盾式。,49,
