1、 大学研究生学位课程论文论 文 题 目： 悖论与数理逻辑的三大学派 悖论与数理逻辑的三大学派摘要：由于很多数学家和逻辑学家不愿因悖论的出现就轻易的放弃他们的研究成果，积极投身于悖论和数学基础的研究，为排除悖 论，克服危机作了大量的工作。在数学基 础的研究过程中，数学家和逻辑学家们对悖论的解决等一系列问题的分歧日渐加深， 渐成 营垒，形成了关于数理 逻辑的三大学派。本文分别分析了这三大学派，以推 进数理逻辑的进一步发展。关键词：悖论；数理逻辑；学派一 悖论与逻辑主义学派集合论悖论的出现，造成数学基础的危机，受影响最大的首当其冲是逻辑主义者，因为他们企图以集合论作为数学的“永恒的，可靠的基础” ，
2、并企图把数学归结为逻辑。集合论悖论的发现表明逻辑主义者企图用以作为数学基础的逻辑本身就是不可靠的。这样，逻辑主义的代表人物罗素就亲手酿造了一个苦果，不仅把弗雷格置于对自己事业万分失望的尴尬境地，而且自己也不得不苦咽下去。所以从 1902 年开始，逻辑主义的研究进入一个新时期，他们不仅研究如何由逻辑出发去开展全部数学问题，而且必须防止悖论的出现。首先，罗素对悖论进行了仔细的研究，寻求合适的解悖方案。最初，他在数学的原理(1903)中提出区别类和类的元素的类型，这也是类型论的最初构想，本质上是简单类型论，但没有进行深入的研究。简单类型论的基本思想是：区分个体、谓词或集合的不同类型。要直观的理解简单
3、类型论对涉及集合的悖论的作用，需要用集合的语言阐述类型和级的概念。任何集合都可划分到特定的类型:：类型 0，这一层的元素为个体类型 1，个体的集合类型 2，个体的集合的集合类型 3，个体的集合的集合的集合在定义中没有涉及某些集合的总体性质的集合是第 0 级的，在定义中涉及“第 n 级的所有集合”的总体性质的集合则属于 n+l 级。在这样的划分下，依照原则规定：类型 n 中的集合只能以类型 n-1中的对象为元素，每一类型各级的集合的界定不能依赖该级的整体或更高的级中的集合。违反规定的表达式是无意义的，这样就避免了“元素”和“元素的集合”的混淆，排除了集合论悖论。但是对数和命题的处理遇到了困难，而
4、且有一些悖论，尤其是语义悖论不能解决。对于这一点，罗素感到失望，没有再继续深入下去，而是是另辟蹊径。1905 年，罗素在另一篇论文关十超穷数和超穷序型理论中的一些困难中提出了另外三种解悖方法：量性限制理论、曲折论和无类论。同时，受彭加勒的悖论与非直谓定义有关的思想影响，他乐观的认为一切悖论都有一个共同的根源，就是它们都违反了一个原则：“恶性循环原则” 。基于这一原则和无类论的思想，罗素又对类型论进行了扩充，引进命题函项的概念，做出严格的类和级的划分，沿着非集合的道路发展出了一个形式的悖论解决方案一一分支类型论。分支类型论比简单类型论更加具体，它的基本思想不仅包括“任一性质，都要归属于一定的类型
5、”而且“对任一性质，还要更具体的归属于确定类型论中的一定的级” 。于是，罗素想以命题函数为出发点，建立一套以阶论为中心的类型论的形式化体系，对各种悖论作统一处理。首先，罗素要对命题函数进行分层处理：第一层：零阶函数，函数是个体，a，b，c表示个体常元；x, y ,z表示个体变元；第二层：一阶函数，比个体高一层次的函数，以个体为变元，例如（X）(X,Y)，(Y) (X)Y(x，y ，z) 第三层：二阶函数，以一阶函数为变元，例如， （）F(!x, z),(Y)f(Y!z，!z) 一般地，如果一个函数中变元(或约束变兀) 的最高阶是 n（n0） ，则称这一函数是 n+l 阶的。其次，因为悖论的出现
6、与“非直谓定义”有关，为了遵循恶性循环原则，避免悖论，罗素把命题函数分为直谓的和非直谓的，并对直谓函数作了严格的定义。他是这样定义的：“对一元命题而言，当函数的阶恰比它的自变元的阶高 1 时，称为直谓的；对于有 K (K1)个自变元的 K 元命题函数，若K 个子变元中最高的阶是 n，而函数的阶是 n+l，则称该 K 元函数是直谓的。由此可知，一阶函数都是直谓函数，而二阶和二阶以上的函数则分为直谓的和非直谓的两种。如果函数本身的阶不是比函数中自变元的阶高 1，就是非直谓函数。这样，各个函数阶层径渭分明，互不交叉，每个函数都是有限阶的，并目在函数阶层中有唯一确定的位置，把涉及命题总体的命题(非直谓
7、命题) 和不涉及命题总体的命题( 直谓命题)区分开来，从而避免了一些著名的悖论。罗素又引入了可归化公理，该公理断言：“对任何命题函数，必存在一个与它形式等价的直谓函数。 ”借助这一公理，就可以把一个命题函数决定的类，定义为与它形式等价的直谓函数所决定的类，从而一切类都可看作是由直谓函数决定的。因为直谓函数的阶比它的自变元的阶高 1,所以个体的集合的阶总比个体的阶高 1。这样，正如上面所表述的，在类的理论中，个体、个体的集合、个体的集合的集合形成一个递增的层次，和这一层次相对应的事个体、个体的直谓函数、个体的直谓函数的直谓函数这样一个递增的函数层次。这个以阶论为中心发展起来的逻辑体系便是罗素的分
8、支类型论。后来罗素就是按照分支类型论的原则由集合论出发开展全部数学理论的研究。为实现这一目标，罗素和怀特海经过艰苦的劳动，完成了著名的数学原理 。罗素的类型论在数理逻辑发展史上有重要的地位，因为利用它可避免一些著名悖论(康托悖论，布拉里一一福蒂悖论，罗素悖论及一些语义悖论)，不能不说是一大成就。但是罗素的类型论也有严重的缺陷：首先，类型论要求过于严格，虽排除了一些悖论，但同时也排出了许多合理的东西，尤其是一些重要的定理不能证明，某些无害的数学概念宣布为非法，结果是得不偿失。但如果放宽原则的话，谁能保证不会出现别种类型的悖论呢?其次，罗素提出了可归化公理实质上降低了分支类型论将函数划分为不同阶层
9、要求，遭到了强烈的批判，并且，罗素的类型论系统本身也过于繁琐，引起不少的麻烦。从数理逻辑的发展历史看，虽然逻辑主义想把数学全部归结于逻辑的意图是不可能实现的，但逻辑主义还是有很大的贡献：首先，逻辑主义者以集合论为基础进行数学研究，为了避免悖论，他们必须做使逻辑严格化的工作，这就直接促进了逻辑的数学化。所以， 数学原理是用数学方法研究逻辑取得的高度成就，正是在这个意义上，它常被说成是数理逻辑成熟的标志。其次，罗素的理论对后来研究者产生重大影响，公理化集合论就是沿着他的方向发展起来的。罗素的分层思想对后来的数理逻辑学家也有极大的启示:塔尔斯基就是沿着罗素开辟的道路对语言进行分层处理，对数理逻辑的发
10、展做出重大贡献。二 悖论与直觉主义学派与此同时，在数学基础这一研究领域中，出现了一种与逻辑主义完全对立的数学思想：把直觉当作数学最根本的基础，全然否认数学构造中有逻辑的作用，认为所有的数学对象和定理都是从原始直觉出发能行地构造出来的，这就是数学基础问题上的另一主要流派一一直觉主义。直觉主义者倾向于欢迎悖论的到来，因为悖论似乎使他们乐于去证明非直觉主义数学的虚弱。第一个对数学采取自觉的直觉主义的是德国数学家克隆尼克，但他并没有对此进行系统的阐述，所以没有得到其他人的支持。他曾经预言说：“假如我不做这件事，追随我的人也会去实行” ，但追随者并没有很快出现。直到 1901 年罗素悖论的出现，使数学界
11、出现了混乱，从而为直觉主义新的崛起创造了条件。1907 年，直觉主义的代表人物布劳威尔在他的博士论文中初步制定了直觉主义纲领，他认为要解决集合论悖论问题，必须改变人们对一些逻辑基本法则，特别是排中律的绝对普适性认识。从“存在必须等于被构造”的要求出发，布劳威尔对逻辑法则的有效性进行直接的分析：由于逻辑法则的应用并不能保证相应构造的可实现性，因此逻辑法则在数学中的应用并不总是有效的。而且布劳威尔认为经典逻辑是从有限性对象中抽象出来的，不能无限制的推广到无限对象，而悖论恰恰就出现在无限问题上，而排中律只是在有限的领域内起作用的法则，一涉及无限的领域，排中律便不再有效。所以，直觉主义者认为实在无限观
12、念是悖论产生的深刻根源。因此，直觉主义正是从“数学活动是一种心智构造”出发，导致了对排中律的拒绝。 其次，由于坚持构造性的立场，布劳威尔认为数学直觉具有无可争辩的可信性、可靠性，因而数学只要根基于其上，便可避免悖论的产生。所以直觉主义对已有的经典数学采取否定态度，使已有的数学知识支离破碎。为什么直觉主义采取如此极端的手段呢?因为直觉主义者认为：悖论在集合论中的出现不是偶然的事，实质上是整个数学所感染的疾病的一个症状，即数学的“不可靠性” ，如果不从根本上清除传统数学，便不足以克服悖论。因此，直觉主义者不满足于对已有数学的某些部分作一些限制性的限制和修改，而是要依据“可靠性”标准对已有数学进行彻
13、底的审查和改造。于是，直觉主义者对已有数学进行了强烈的批判：他们认为，已有的数学理论并不都是可靠的，因此必须按照某种更为严格的要求对此进行全面审查，而且毫不犹豫的舍弃“不可靠”的概念和方法并代之以“可靠”的概念和方法。由此可见，直觉主义是要革传统数学的命。最后，直觉主义者虽然否定不符合构造性要求的古典数学命题的有效性，但他们仍然认为这些命题具有一定的启发作用。因此直觉主义者就是依据“构造性”标准来重建数学，即“直觉主义数学” 。与逻辑主义不同的是布劳威尔是以自然数理论而不是以集合论为基础开展他的直觉主义数学理论的，并且直觉主义者也发展了自己的逻辑系统，直觉主义的命题演算系统和一阶谓词演算系统是
14、由黑丁于1935 和 1956 分别做出的。所以，直觉主义者避免悖论的方法事实上依赖十他们关十心灵之“构造”这一含糊哲学，用“构造”的思想构建逻辑与数学系统。为了避免悖论，把“直觉上的可构造性”作为数学“可靠性”的唯一标准，对古典数学绝对否定，造成了数学的支离破碎，并目作为悖论的解决方案，这个要求已经相当弱了，但即使这个目标也没有完全达到。但我们不能否认直觉主义者做出的贡献，因为他们第一次完整地建立了一个构造性的数学系统，而构造性数学已经成为现代数学理论的有机组成部分。而且由于人们和直觉主义的多次论战，逐渐了解直觉主义的说法在于注重能行性，因为构造的基本要求，即“能行性” 。正是这种想法产生了
15、能行性理论，从而促进了数理逻辑的另一分支递归论的形成和发展。另外，形式主义学派的代表人物虽然对直觉主义者进行批判，但在一定程度上接受了他们的构造性思想，这对希尔伯特的形式化研究纲领起了至关重要的作用，而形式主义学派是我们将要讨论的内容。三 悖论与形式主义学派 集合论中发现的悖论表明，甚至那些看上去简单并且自明的正确的基本原则也可能包含暗藏的矛盾。这使人们将注意力集中到一致性问题上来。所以，为解决数学基础中出现的悖论问题，形式主义采取了与逻辑主义和直觉主义不同的方法：他们企图构造一个无矛盾的，完备的，可判定的形式系统，数学的各个分支及所有证明全部形式化，使数学本身成为数学研究对象，以达到证明数学
16、的一致性，从而避免了悖论，这就是著名的“希尔伯特规划” 。希尔伯特规划的提出有一个较长的历史过程：1899 年，希尔伯特在集合基础这一著作中，不仅为数学提供了新的研究方法一一形式的公理化研究方法，同时还为数学开辟了新的研究领域“元数学” ，为“希尔伯特规划”提出打下了基础。由十 1901 年罗素悖论的发现，使希尔伯特把注意力放到数学基础上来。经过认真研究，希尔伯特不同意直觉主义拒斥大部分古典数学的主张，他认为完全可以在保留现有数学成果的条件下解决悖论问题，无须牺牲古典数学中有价值的部分。那么，怎样解决悖论问题呢?希尔伯特曾经指出，如果要避免悖论，就必须在某种程度上同时进行逻辑定律和算术定律的研
17、究。这种研究的目的即证明数学理论的相容性(无矛盾胜) ，因为如果数学理论的相容性得到了证明，悖论就自然排除了，这也是所谓的“海德堡计划” 。在该计划中，希尔伯特第一次提出应把数学证明本身作为数学研究对象的思想，创建了数理逻辑的第一个分支“证明论”的思想，开了把数学理论系统作为对象的“元数学”的先河。1922 年作为对直觉主义向古典数学挑战的回应，希尔伯特提出了基础研究规划：首先将数学理论组织成形式系统，然后再用有限的方法证明这一系统的无矛盾性。这一规划可以看成是证明论思想的进一步发展和深化。尽管希尔伯特对直觉主义进行批判，但在一定程度上接受了他们的构造性思想，只不过这种构造性是对证明论(元数学
18、) 的要求。这种思想体现在 1925年论无限中，希尔伯特与直觉主义者相仿，认为绝对可靠性只存在于有限的范畴，为保证数学的可靠性，避免悖论的出现，必须坚持“有限性”的立场。(但是，他认为可以把非有限的成分作为“理想元素”引入到数学中，不但使证明简化，还使排中律法则得以保存。)所以，希尔伯特把数学分成两个不同部分：“真实的数学”和“理想元素” 。由于理想数学认为是不具有意义的，希尔伯特提出必须把理想数学组织成形式系统的思想。在形式系统中，把数学对象彻底的符号化和演算化，这样就可以保留古典数学的成果。但为保证理想元素不会导致错误，必须对这种工具的构造进行彻底研究，即证明形式系统的一致性，这也是证明论
19、思想的进一步深化。这样，希尔伯特就站在有限性的立场上，企图通过将数学理论形式公理化并证明形式系统的一致性来避免悖论的产生，并保住现存数学的全部成果。所以，希尔伯特的最终目标是构造一个无矛盾的、可判定的、完备的、范畴性的形式系统，其中可证命题集恰好与直觉上为真的数学命题集相对应，而上述证明又可以在一个仅仅包含一般递归函数，性质和关系的算术部分中得出，即可以用有限的方法实现，这就是希尔伯特规划的目地。希尔伯特对此计划充满信心，并目断言，要得出形式化算术系统无矛盾性证明为期不远了。后来几年形势确如他愿，1928 年希尔伯特和他的学生阿克曼用有限性方法证明了一阶逻辑的相容性，迈出了重大一步。于是，希尔
20、伯特说出了与直觉主义观点针锋相对的名言：“要想从数学家手中夺走排中律，就像夺去天文学家的望远镜或禁止拳击家用拳头一样。 ”作为悖论的一种解决方案考虑，如果希尔伯特计划得以实现，应是非常令人满意的，然而，果真用有限的构造就可一劳永逸解决数学理论的相容性，并进而证明其完全性吗?事实并非如此。1930 年哥德尔循着这个思路得出的一项重要成果却使希尔伯特陷入绝望的境地。哥德尔以无可辩驳的精密方法证明了形式算术系统是不完全的，它的相容性也不可能以希尔伯特方案即有限的方法加以证明，即哥德尔不完全性定理。所以，希尔伯特的形式系统没有坚固到可以背负起他想让它承受的重担。并且，希尔伯特在数学基础上基本观点也是错
21、误的，因为有限性方法并不总是有效，完全否定无限的客观意义的观点也是错误的。而且形式的研究不能完全代替内容的分析，正如布劳威尔指出，用一致性的证明保证理论真理性的做法事实上也包含了一种恶性循环。希尔伯特规划提供了一个悲观的信息：没有任何基础可能用来绝对地证明数学的相容性。但是我们不能因为希尔伯特规划的失败而完全否认他所做的贡献。首先，他提供了一种解决悖论的方案，并目使形式化研究达到高度的抽象程度。其次，元数学和证明论的思想有重要意义，不仅使数学研究达到新的高度，并目经过后人发展，证明论成为数理逻辑的一个主要分支。综上所述，三大学派的数学基础研究的共同出发点是由于悖论的出现，对已有数学的可靠性的感
22、到忧虑和不满。为了避免悖论，他们希望通过自己的努力为数学奠定一个永恒的，可靠的基础。但由于三大学派在思想方法上都表现出一定的形而上学性，即思想中的片面性和绝对化，没有用辨证的思想去研究，所以他们的数学研究规划失败是必然的结局。然而，对数学基础研究的必要性是没人怀疑的。正是他们对数学基础的研究，不仅对数学发展影响深远，而且对数理逻辑的形成和发展功不可没，因为 20 世纪数理逻辑的三大成就和数理逻辑的主要分支“四论”的形成和发展都与此密切相关。参考文献：1 黄华新.逻辑与自然语言理解. 吉林人民出版社，2000 年版，第 260 页. 2 冯棉. 从分支类刑论到简单类刑论. 华东师范大学学报 (哲社版), 1986,(06)，30-313 夏基松、郑毓信. 西方数学哲学，人民出版社,1986， 66-68.
