1、1第十章曲线积分与曲面积分A1计算LDXYX，其中L为连接0,1及1,0两点的连直线段。2计算LDSYX22，其中L为圆周AXYX22。3计算LDSYX22，其中L为曲线TTTAXSINCOS，TTTAYCOSSIN，20T。4计算LYXDSE22，其中L为圆周222AYX，直线XY及X轴在第一角限内所围成的扇形的整个边界。5计算LDSYX3434，其中L为内摆线TAX3COS，TAY3SIN20T在第一象限内的一段弧。6计算LDSYXZ222，其中L为螺线TAXCOS，TAYSIN，ATZ20T。7计算LXYDX，其中L为抛物线XY2上从点1,1A到点1,1B的一段弧。8计算LYDZXDYZ
2、YDXX2233，其中L是从点1,2,3A到点0,0,0B的直线段AB。9计算LDZYXYDYXDX1，其中L是从点1,1,1到点4,3,2的一段直线。10计算LDYYADXYA2，其中L为摆线TTAXSIN，TAYCOS1的一拱对应于由T从0变到2的一段弧11计算LDYXYDXYX，其中L是1）抛物线XY2上从点1,到点2,4的一段弧；2）曲线122TTX，12TY从点1,到2,4的一段弧。212把对坐标的曲线积分LDYYXQDXYXP,化成对弧和的曲经积分，其中L为1）在XOY平面内沿直线从点0,0到4,3；2）沿抛物线2XY从点0,0到点2,4；3）沿上半圆周XYX22从点0,0到点1,
3、。13计算LXXDYMXYEDXMYYECOSSIN其中L为TTAXSIN，TAYCOS1，T0，且T从大的方向为积分路径的方向。14确定的值，使曲线积分DYYYXDXXYX4214564与积分路径无关，并求0,0A，2,1B时的积分值。15计算积分LDYYXDXXXY222，其中L是由抛物线2XY和XY2所围成区域的正向边界曲线，并验证格林公式的正确性。16利用曲线积分求星形线TAX3COS，TAY3SIN所围成的图形的面积。17证明曲线积分4,32,12232366DXXYYXDXYXY在整个XOY平面内与路径无关，并计算积分值。18利用格林公式计算曲线积分LXXDYYEXXDXEYXXY
4、XXY2SINSIN2COS222，其中L为正向星形线323232AYX0A。19利用格林公式，计算曲线积分LDYXYDXYX63542，其中L为三顶点分别为0,0、0,3和2,3的三角形正向边界。20验证下列DYYXQDXYXP,在整个XOY平面内是某函数YXU,的全微分，并求这样的一个YXU,，DYYEYXXDXXYYXY128832322。21计算曲面积分DXYX22，其中为抛物面222YXZ在XOY平3面上方的部分。22计算面面积分DSZXXXY222，其中为平面和三坐标闰面所围立体的整个表面。24求抛物面壳2221YXZ10Z的质量，壳的度为ZT。25求平面XZ介于平面1YX，0Y和
5、0X之间部分的重心坐标。26当为XOY平面内的一个闭区域时，曲面积分DXDYZYXR,与二重积分有什么关系27计算曲面积分YDZDXXDYDZZDXDY其中为柱面122YX被平面0Z及3Z所截的在第一卦限部分的前侧。28计算DXDYZDXDZYDYDZX222式中为球壳22BYAX22RCZ的外表面。29反对坐标的曲面积分化成对面积的曲面积DXDYZYXRDZDXZYXQDYDZZYXP,化成对面积的曲面积分，其中是平面63223ZYX在第一卦限的部分的上侧。30利用高斯公式计算曲面积1）DXDYZDZDXYDYDZX222，其中为平面0X，0Y，0Z，AX，AY，AZ所围成的立体的表面和外侧
6、。2）XDYDZZYDXDYYX，其中为柱面122YX与平面0Z，3Z所围立体的外表面。31计算向理穿过曲面流向指定侧的通量41）KXZJYXIZX222，为立体AX0，AY0，AZ0，流向外侧；2）KYXZJXZYIZYX，为椭球面1222222CZBYAX，流向外侧。32求向理场KXZJXYIAXY2COSCOS的散度。33利用斯托克斯公式计算曲经积分XDZZDYYDX其中为圆周，2222AZYX，0ZYX，若从X轴正向看去，这圆周取逆时针方向。34证明02XZDZXYDYDXY，其中为圆柱面YYX222与ZY的交线。35求向量场KXYJYZXIYXA233，其中为圆周222YXZ，0Z。
7、36求向量场JYXZIYZCOSSIN的旋度。37计算DZYXDYXZDXZY222222，其中为用平面23ZYX切立方体AX0，AY0，AX0的表面所得切痕，若从OX轴的下向看去与逆时针方向。B1计算LYDS，其中L为抛物线PXY22由0,0到00,YX的一段。2计算LDSY2，其中L为摆线TTAXSIN，TRAYCOS一拱20T。53求半径为A，中心角为24的均匀圆弧线心度1的重心。4计算LZDS，其中L为螺线TTXCOS，TTYSIN，TZ20T。5计算LDSZYX2221，其中L为空间曲线TXTCOS，TYTSIN，TZ上相应于T从0变到2的这段弧。6设螺旋线弹簧一圈的方程为TAXCO
8、S，TAYSIN，KTZ20T，它的线心度为222,ZYXYZYX，求1）它关于Z轴的转动惯量ZI；2）它的垂心。7设L为曲线TX，2TY，3TZ上相应于T从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分LRDZQDYPDX化成对弧长的曲线积分。8计算LYXDYYXDXYX22，其中L为圆周222AYX按逆时针方向绕行。9计算LXDZZDYYDX，其中L为曲线TAXCOS，TAYSIN，BTZ，从0T到2T的一段。10计算LDYYXDXYX2222，其中L为|1XY20X方向为X增大的方向。11验证曲线积分1,20,1222DYYXEXDXYXEYY与路径无关并计算积分值。612证明当路径不过原点时，曲
9、线积分2,21,122YXYDYXDX与路径无并，并计算积分值。13利用曲线积分求椭圆12222BYAX的面积。14利用格林公式计算曲线积分LDYYXDXYX22SIN，其中L是圆周22XXY上由点0,0到点1,的一段弧。15利用曲线积分，求笛卡尔叶形线AXYYX3330A的面积。16计算曲线积分LYXXDYYDX222，其中L圆周2122YX，L的方向为逆时针方向。17计算曲面积分ZDS3，其中为抛物面222YXZ在XOY平面上的部分。18计算DSZXYZXY，其中是锥面22YXZ被柱面AXYX222所截得的有限部分。19求面心度为0的均匀半球壳2222AZYX0Z对于Z轴的转动惯量。20求
10、均匀的曲面22YXZ被曲面AXYX22所割下部分的重心的坐标。21计算曲面积分2222,AZYXDSZYXFI，其中7222222,0,YXZYXZYXZYXF。22计算YZDZDXXYDYDZXZDXDY，其中是平面0X，0Y，0Z，1ZYX所围成的空间区域的整个边界边界曲面的外例。23计算DXDYZDXDZYDYDZX111，其中为椭球面1222222CZBYAX。24计算DXDYYXDXDYXZDYDZZY，式中为圆锥面ZYX22HZ0的外表面。25设ZYXU,，ZYXV,是两个定义在闭区域上的具有二阶连续偏导数的函数，NU、NV依次表示ZYXU,，ZYXV,沿外法线方向的方向导数。证明
11、DSNUVNVUDXDYDZUVVU，其中是空间闭区域的整个边界曲面，这个公式叫做格林第二公式。26利用斯托克斯公式计算曲线积分DZXYZDYXZYDXYZX222其中L是螺旋线TAXCOS，TAYSIN，THZ2，从0,0,0A到HAB,0,的一段。27设ZYXUU,是有两阶连续偏导数，求证0GRADUROT。C1求曲线的弧长AXAYARCSIN，XAXAAZLN4从0,0O到000,ZYXA。2计算LDSY21，其中L为悬链线AXACHY。3求均匀的弧TEXTCOS，TEYTSIN，TEZ0T的重心坐标。84计算LDYXRXYXDXXRY22222LN24，其中E是沿222RYX由点0,R
12、A逆时针方向到0,RB的半圆周。5设XF在,内有连续的导函数，求LDYXYFYYXDXYXYFY11222，其中L是从点32,3A到点2,1B的直线段。6计算,2,122COSSINCOS1DYXYXYXYDXXYXY，沿着不与OY轴相交的路径。7已知曲线积分LDYXXFDXXXYXSIN与路径无关，XF是可微函数，且02F，求XF。8设在平面上有2322YXJYIXF构成内场，求将单位质点从点1,移到4,2场力所作的功。9已知曲线积分LDYXXDXYI333，其中L为222RYX0R逆时针方向曲线1）当R为何值时，使0I2）当R为何值时，使I取的最大值并求最大值。10计算DXDYZXZDZD
13、XZXYDYDZZXXI222111其中为曲面22YXZ10Z的下侧。11计算DSXYZ|，其中的方程为1|ZYX。12计算曲面积分DYDZXI12，其中是曲线XY10X绕X轴旋转一周所得曲面的外侧。913计算LDYYXXDXXYX2222，其中L为由点0,4A到点0,0O的上半圆周XYX42214证明LYXDYXYDXXY333与路径无关，其中L不经过直线0YX，且求3,20,1333YXDYXYDXXY的值。15求圆锥22YXZHZ0的侧面关于OZ轴的转动惯量。16选择A，B值使222222222YXDYBYXYXAXXYY为某个函数YXU,的全微分，并求原函数YXU,。17计算曲面积分D
14、XDYYXEX22，其中为曲面22YXZ，平面1Z，2Z所围立体外面的外侧。18证明1）VUUVVUUV2；2）2XX10第十章曲线积分与曲面积分A1解两点间直线段的方程为XY1，10X故DXDXDXYDS211122所以22110DXXXDXYXL。2解L的参数方程为SIN2121COS21AYAAX，20则COS12|21SIN2121COS21222AAAAYX2COS|12COS212|212AA|21COS2SIN22222AAADYXDS所以202222COS21DADSYXL0222COS2COS21DDA220222SIN22SIN221AA3解ATDTDTTATTATDTYX
15、DS222SINCOS故2022222COSSINSINCOSATDTTTTTTTADSYXL20232204233321242ATTADTTTA4解如图32222212222LYXLYXLYXLYXDSEDSEDSEDSE111L0YXX，AX0，DXDXDS2012LXYXX，AX220，DXDXDS21123LTAYTAXSINCOS，40X，ADTDTTATADTYXDX2222COSSIN4022020222ADTEDXEDXEDSEAAXAXLYX2424|22020AEAEEEAAAXAX5解TTAYX44343434SINCOS222222COSSIN3SINCOS3TTATT
16、ADTYXDSTDTTADTTTACOSSIN3COSSIN92222044373434COSSINSINCOS3TDTTTTADSYXL37206374SIN616COS613ATTA6解ADTDTATATADTZYXDS2COSSIN22222220202222222222SINCOSDTTAADTTATATADSYXZL3203238|312ATA。7解1111511422545122YDYYDYYYYXYDXL8解直线段AB的方程为123ZYX，化成参数方程为TX3，TY2，TZ，T从1变到012故YDZXDYXYDXXL2233DTTTTTT01223232233348787013D
17、TT9解直线的参数方程为TX1，TY21，TZ3110TLDZYXYDYXDX110121132121DTTTTT1013146DTT10解LDYYDXYA9220SINCOS1COS1COS12DTTATAATATAA20220222SIN212COS121SINCOSCOS1DTTTADTTTTA220221ADTA11解1原式21222DYYYYYY3342213121221342123YHYYDYYYY2原式10222212114112DTTTTTTTTT102329510DTTTT1213122935410229354101022424TTTTDTTTT12解1）L的方向余弦53CO
18、S，54COSLLDSYXQYXPDYYXQDXYXP,54,53,2）DXXDS221，2411COSXDXDX13224124111SINCOSXXX故DSXYXXQYXPDYYXQDXYXPL241,2,3）DXXXXDS22211，22COSXXDSDXXXX121SINCOS2故LLDSYXQXYXPXXDYYXQDXYXP,1,2,213解因为MYEXQYPXCOS故原积分与路径无关，于是原式BAOBAAADYAMYEDX00COS0222SINMAAEA。14解XYXP44，42156YYXQ，由XQYP，得221164YXXY，解得3故当3时，所给积分与路径无关DYYYXDXX
19、YX4222,10,034564579516042042104DYYYDXXX取CBAC计算，其中0,0A，0,1C，2,1B15解原式21LL1042322DXXXXXX01224322DYYYYYY1023522DXXXX1430124210245DYYYY又YYDDDXXDYDXXDXDYYPXQ2301212110LDQDYPDXDXDYYPXQ16解取YP，XQ，1YP，1XQ可得面积LDYDXXDYDXDYA211设1A为在第I象限部分的面积，由图形的对称性所求面积YDXXDYAA21441202223SINCOS3SINCOSSIN3COS2DTTTATATTATA2202228
20、3COSSINATDTTBA注还可利用LLDYDXXDYDXDY17解326YXYP，2236XYYXQ2312YXYYP，2312YXYXQ因为YPXQ，所以积分与路径无关取路径4,32,32,1原式23695482442231DYYYDXX18解XYEYXXXXQ2COSSIN22，XYEXXXXYP2SIN2COS2原式0DXDYYPXQD。1519解3XQ，1YP原式DDDDXDYDXDYDXDYYPXQ413303203012384XDXDYDXX20解1）YPXXQ2，故DYXXYDX22是某个YXU,的全微分。YXXYXDYXDXDYXXYDXYXU0204,0,0202,2）Y
21、PXXXQ1632，YXYDYYEYXXDXXYYXYXU,0,0232212883,DYYEYXXDXYYX0230128012124223YYEYEYXYX21解XYD222YX，DXDYYXDXDYZZDXYX22224411故原式XYDDXDYYXYX222244120222220SIN4COS41SIN9COSDRRRRRRD241212412022022220RHDRRDRRRRD3014941202DUUUUR22解原式XYDYXDXDYZZYXYX1|22XYIDDXDYYXYXXY2222414这里XYID为XYD在第一象限部分10242041COSSIN4RDRRRD102
22、4204172SIN214RDRRD16420151251232141105122441242DTTTTRDRRTR23解YXZ226，DXDYDXDYDS3212原式XYDDXDYYXXXXY3226222DYYXYXXDXX3023022236342724解DXDYYXYXZDSMXYD22221212022201361527121DRRRD25解平面XZ这部分的面积DDYXDXDYDXDYZZS21222221010XDYDX因而XDYXDXXDSSX1010312221XDYYDXYDSSY101031222131221XDSZDSSZ故重心坐标为31,31,3126解因为曲面积分有向
23、曲面，所以DXDYYXRDXDYZYXRXYD0,当积分曲面取在的上侧时为正号，取在下侧时为负号27，解ABDXY，面积为0，0ZDXDY30,10,0|,0ZYXZYDYZ，1730,0,10|,0,ZYXZXDZX原式YZZXDDDZDXXDYDZY2211101023023011DXXDZDYYDZ23ARCSIN21212210YYHY。28解根据轮换对称，只要计算DXDYZ2XYD222RBYAX注意到222BYAXREZ，再利用极坐标可得XYDDXDYBYAXRCDXDYZ2222XYDDXDYBYAXRC222XYDDXDYBYAXRE2224RRDRRRDE022204ERRR
24、ER30232238318于是原式CBAR3329解原式DSRQPCOSCOSCOS，这里COS，COS，COS是的法向理N的方向余弦而是平面63223ZYX在第一卦限部分的上侧0COS，取32,2,3N。5332233COS222，52COS，532COS故原式DXRQR5325253。1830解1）ZYXZRYQXP222原式DXDYDZZYXDXDYDZZRYQXP2AAAAADYAAYAXDXDZZYXDYDX020000222403323222ADXAAXAA20XZYP，0Q，YXRZYZRYQXP故原式29SIN,301020DZZXRDRDDXDYDZZY。31解RDXDYQD
25、ZDXPDYDZDXDYDZZRYQXPDZXZXDYDXDXDYDZXZXAAA020022222AAADXXAAXAA023226222）DXDYYXZDZDXXZYDYDZZYXSDSABCBCDXDYDZ4343111。32解XYEP，XYQCOS，2COSXZRXYYEXP，XYXYQSIN，2SIN2XZXZZR故2SIN2SINXZXZXYXYEZRYQXPDIVXY1933解取为平面0ZYX，被所围成的部分的上侧，的面积为2A，的单位法向量为31,31,31COS,COS,COSN原式DSDSZYXZYX3131313131312333ADS。34证平面ZY的单位法向理21,2
26、1,0COS,COS,COSN由斯托克斯公式得左边DSZYDSXZXYYZYX21COSCOSCOS2XYDDXDYZY02135解闭曲线是XOY平面上的圆周422YX逆时针方向，它的参数方程为COS2X，SIN2Y，0Z20，故环流量为DZXYDYYZXDXZXRDZQDYRDX233203COS2COS8SIN2COS2D202012120COS16COSSIN4DD36解JIYXZYZZYXKJIROT0COSSIN。2037解证平面AZYX23合科立方体内的部分为，它在OXY平面上的射影为XYD，面积为243A，取平面的上侧，单位法向量31,31,31，于是由斯托克斯公式得原式DXZY
27、XDSYXXZZYZYX31431313122222232294366316AAADXDYADSAXYD。B1解L的参数方程TYTPX221，则DTPTPDTTPDTYXDS222222111所以3232200232202231311100PPYPPTPDTPTPTYDSYYL2解DTTATADTYXDS222222SINCOS12SIN22SIN21121COS122TATTA所以202222SIN2COS1DTTATADSYL202320432SIN2COS182SIN2SIN8DTTTADTTTA320533152562COS512COS322COS16ATTTA3解取坐标系如图，设重心
28、坐标为YXG,，由扇形的对称性可知0Y，21又44COS241ADAADSXDSXLLSIN|SIN2444AA4解DTTTTTTTZYXDS1COSSINSINCOS2222DTT22所以222312312232002320200TTDTTTZDSTTL5解TTTTEETETEZYX22222222SINCOSDTZYXDS222DTETETETETETTTTT222COSSINSINCOSTTEDTE332所以2022223211TTLEEDSZYX220201232323EEDTETT6解LDSZYXM,DTKTATATKTATA2222220222222COSSINSINCOS1）LZ
29、DSZYXYXDSZYXYXI202222222,222222202222224332KAKAADTKATKAA2）2022222COS1,1DTKATKATAMDSZYXXMXL2222436KAAK222022222SIN1,1DTKATKATAMDSZYXYMYL2222436KAAK20222221,1DTKATKAKTMDSZYXZMZL2222243223KAKHAK7解由TX，2TY，3TZ得DTDX，XDTTDTDY22，YDTDTTDZ332DTYXDS22941故229411COSYXDSDX229412COSYXXDSDY229413COSYXYDSDZ故DSYXYRXQ
30、PRDZQDYPDXLL22941328解圆周的参数方程为TAXCOS，TAYSIN20T故LYXDYYXDXYX22202COSSINCOSSINSINCOS1DTTATATATATATAA212022DTAA9解DTBTATABTTATAXDZZDYYDXL20COSCOSSINSIN20222COSCOSSINADTTABTABTTA10解如图OBOAC，OAXY，ABXZY23故原式212210222DXXXDXXX21223422XDXX11解由于YXEPY2，YXYXQ22又12YXEXQYP，故曲线积分与路径无关，取折线1,20,20,1，则原式102142242EDYYEXDX
31、Y。12解由于2322YXXP，2322YXYQ，又25223YHXXYXQYP故当路径不过原点时，该曲线积分与路径无关，取折线2,21,21,1，得原式21232212324241YYDYXXDX13解取参数方程TAXCOS，TYSIN20T面积LABDTTTABYDXXDYA2022SINCOS212114解L不是闭曲线，要用格林公式，先得补添路径，使其封闭，如图DLABBODXDYYPXP，因为0110YPXP故0LABBO，所以原式2SIN4167SIN1101022DXXDYYLABBO15解作代换TXY，得曲线的参数方程313TATX，3213TATY，由于DTTTADX23312
32、13，DTTTATDY23312324从而DTTTAYDXXDY232219，故面积20320232223112312921ATADTTTAYDXXDYSL16解由于0YX时，被积函数无意义，故L所包围的区域不满足格林公式的条件，作一小圆挖去原点0,0，作逆时针方向的圆周LCOSRX，SINRY，20使L全部补L所包围，在L和L为边界的区域D内，根据格要公式，有LLDYXXDYYDXYXXDYYDXDXDYYPXQ2222221XQYXYXYP22222，故上式为零LLDRRRYHXXDYYDXYXXDYYDX20222222222COSSIN2222021D。17解XYD222YX，DXDY
33、YXDXDYZZDSYX22224411原式DXDYYHXYXXYD244123222161114123202220RDRRRD18解XYDAXYX222，22YXZDXDYDXDYYXYYXXDXDYZZDSYX21122222222原式XYDDXDYYXYXXY222COS202222COSSINCOSSIN2ARDRRD25422421564COS241COSSINCOSSIN2ADA。19解半球壳的方程为222YXAZXYD222AHYXDXDYYXAADSZZDSYX222221XYDZDXDYYXAYXADSYXI22222002240022220034ARDRRARDAA。20解
34、质量为4222202200022AADXDYDSMAXYX从而垂心的坐标为2222020421XAXXAXAAXYXDYXDXAXDXDYMXAAADTXATAADXXAXXA0222222222882282022ADTTAA0212200XAXXAXAYDYDXMY916COS38421203COS02222022ADADRRDAZDXDYMZAAXYX即重心坐标为916,0,2AA。21解由于曲面22YXZ得2222AZYX分成上下两部分，记成上S，下S，又由222222YHXZAZYX26解得2AZ，222AYX，所以下上SSDSDSYXI022XYDDXDYYXAAYX22222258
35、6SIN2420402422320ADADRRAARDA22解证Z在XOY，YOZ，ZOX平面上的部分分别为1，2，3，在1ZYX面上的部分为4。XYDDXDYXXZDXDYYZDZDXXYDYDZXZDXDY0011YZDYDYDZXYDYDZYZDZDXXYDYDZXZDXDY0022ZXDZDZDXYZDZDXYZDZDXXYDYDZXZDXDY0023故原式YZDZDXXYDYDZXZDXDY4XDDYYXDXDXDYYXXXZDXDYXY101081131334另解可求得241XZDXDY，由对称性可得原式81也可用高斯公式23解XYD12222BYAX，22221BYAXCZ由轮换对称，只要计算积分DXDYZ1再利用广义极坐标可得XYXYDDDXDYBYAXCDXDYBYAXCDXDY222222221111212710220222212112DRRRDCABDXDYBYAXCXYDCABRCAB414102于是原式22222244BACACBABCCABBACABC。24解证1，2分别为锥面的底面和侧面而
