重积分曲线积分曲面积分

1、第十章 曲线积分与曲面积分,返回,1.曲线积分与曲面积分,2.各种积分之间的联系,3.场论初步,一、主要内容,曲线积分,曲面积分,对面积的曲面积分,对坐标的曲面积分,对弧长的曲线积分,对坐标的曲线积分,定义,计算,定义,计算,1. 曲线积分与曲面积分,定积分,曲线积分,重积分,曲面积分,计算,计算,计算,Green公式,Stokes公式,Guass公式,2. 各种积分之间的联系,积分概念的联系,定积分,二重积分,曲面积分,曲线积分,三重积分,曲线积分,计算上的联系,其中,理论上的联系,1.定积分与不定积分的联系,牛顿-莱布尼茨公式,2.二重积分与曲线积分的联系,格林公。

2、精选优质文档倾情为你奉上 第十章 曲线积分与曲面积分 一教学目标及基本要求： 1理解二类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 2会计算两类曲线积分 3掌握Green公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件。 4了解两。

3、第十章 曲线积分与曲面积分返回返回1.曲线积分与曲面积分2.各种积分之间的联系3.场论初步 一、主要内容曲线积分 曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分定义 计算 定义 计算联系 联系1. 曲线积分与曲面积分曲 线 积 分对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分定义联系计算 三代一定 二代一定 (与方向有关 )与路径无关的四个等价命题条件等价命题曲 面 积 分对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分定义联系计算一代 ,二换 ,三投 (与侧无关 ) 一代 ,二投 ,三定向 (与侧有关 )定积分曲线积分重积分曲面积分计算计。

4、第十章第十章 曲线积分和曲面积分一、一、基本内容（一）第一型曲线积分与曲面积分1.第一型曲线积分（1）第一型曲线积分的定义 ni iiL sfdszyxf10),(lm),( 若 是封闭的，则记作 Ldzyx(2) 第一型曲线积分的计算 dtttttfdszyxfL 222)()()()(,)(),(2.第一型曲面积分（1）第一型曲面积分的定义 ni iiiSfSzyxf10),(lm),( （2）第一型曲面积分的计算 Dyxdzyzxfdf 2),(),(（二）第二型曲线积分1 第二型曲线积分的定义设 ),(),(),(),( zRyQzxPzyxF，当 Ldsco， Ldsco， Ldsco都存在时，其中 ,是 的单位切向量，称 LLL zyxRzyx 为一般形式的第二型。

5、高等数学教案 曲线积分与曲面积分 第十章 曲线积分与曲面积分 教学目标与要求 1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 2.掌握计算两类曲线积分的方法。 3.熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条。

6、第十章 曲线积分与曲面积分10.01 填 空(1) 第二类曲线积分 Rdz+QyPdx化成第一类曲线积分是)dsRcoQs(Pco，其中 为 上点 (x,y)处切 向量 的方向角。(2) 第二类曲面积分zy化成第一类曲面积分是)dscos(Pco，其中 为 上点 (x,yz)处的法 向 量的方向角10.02 计算下列曲线积分：(1) dsyxL2,其中 L为圆周 axy2解：:ax表示为参数方程:=2cosyin()02有 csa,siax y422)cos1(2a=xy2dacos+1adsx0L d4022a20sini(2) zds,其中 为曲线 tcosx， ti， tz， 0t解：:csin()tyzt00xytttt222dstd20 )(d1t0x2+y2=ax0 a xya/2L32)t(0t)2(31/20/3(3)。

7、第十章 曲线积分与曲面积分 一 一 重点 两类曲面积分及两类曲面积分的计算和格林公式高斯公式的应用 二 二 难点 对曲面侧的理解，把对坐标的曲面积分化成二重积分，利用格林公式求非闭曲线上的第二类曲线积分，及利用高斯公式计算非闭曲面上的第二类。

8、1高等数学教程第十二章 曲线积分与曲面积分习题参考答案习题 121(A)1(1) (2) (3) 21;na2;15621;(4) (5) 23;e356.a2 96.习题 12 1 (B) 1(1) (2) (3) (4) .2;a73;a2;a2a2 8.kR3(1) 2224;xIbb(2) 232222266, , .434baaayz习题 12 2 (A) 3. (1) (2) 0 ; (3) (4) 13. 2;R;4. (1) (2) 11; (3) 14; (4) .34; 32习题 12 2 (B)1. (1) (2) (3) 4;33;2a35.2e2. (1) (2) 1 ; 3. 2.24. .32K2,3,5. .1。

9、精选优质文档倾情为你奉上 第十一章：曲线积分与曲面积分 一对弧长的曲线积分 B A 参数方程 若 则 原式 对弧长的曲线积分 若 则 原式 常见的参数方程为： 2 2 特别的： 二对坐标的曲线积分 计算方法一： 若 起点处，终点处 则 原式。

10、第一型曲线积分和曲面积分 平面曲线积分第一型曲线积分和曲面积分 第一型平面曲线积分 设 C为光滑平面曲线 第一步 分割：如图，作分割第一型曲线积分和曲面积分 第二步 近似： 在每一小段上，记其长度为 作近似 第三步 求和： 第四步 取极限 第一型曲线积分和曲面积分 第一型曲线积分 设光滑平面曲线 C由参数方程给定 如图，作分割、近似、求和以及取极限，定义第一型曲线积分如下第一型曲线积分和曲面积分 第一型曲线积分 弧长元 由于 = 所以 即得 从而得到形式 第一型曲线积分和曲面积分 空间曲线积分第一型曲线积分和曲面积分 空间曲线。

11、第十一章 曲线与曲面 积分第一类曲线积分 特点1被积函数的定义域是曲线弧. 2微元 是平面曲线弧长元素. 3空间曲线上的一类曲线积分 对弧长的曲线积分:1公式法: L的参数方程： L: L: 一定，二代，三换元，定，代，换关键在 方程。小下。

12、第十三章 曲线积分与曲面积分 定积分和重积分是讨论定义在直线段平面图形或者空间区域上函数的积分问题但在实际问题中，这些还不够用，例如当我们研究受力质点作曲线运动时所作的功以及通过某曲面流体的流量等问题时，还要用到积分区域是平面上或空间中的一。

13、思考题1. 设 L 是以 A(1,0),B(0,1),C(-1,0),D(0,-1)为顶点的正方形依逆时针方向的周界，则曲线积分 Lyxd|(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 12. 设 是平面块：y=x, 的右侧，则10,zx的值是（ ）ydz3. 设 是平面 被园柱面 截下的有4zyx 122yx限部分，则 的值是：ds（A） （B ） （C） （D） 034344. 设 f(x)连续可微，且 f(0)=2，若沿任意光滑封闭曲线 L都是：,则 f(x)= Lx dyxffe0)()(32(A) (B)xx2 xxe23(C) (D)e 25. 设 S 是锥面 被平面和所截得2yxz部分的外侧，则曲面积分 )()2(dxyzydzxxS 23)(32)(0)(23)( DCBA6.设 为由 与 所围立体之表面2yxz)0(0。

14、积分学 定积分 二重积分 三重积分 积分域 区 间 平面域 空间域 曲线积分 曲线弧 曲面域 曲线积分 曲面积分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 曲面积分 曲线积分与曲面积分 第一节 一对弧长的曲线积。

15、 第十章 曲线积分与曲面积分 curvillnear integral and surface integral 1问题的提出 对弧长的曲线积分的概念 几何意义与物理意义 对弧长的曲线积分的计算 arc length 第一节 对弧长的曲线积。

16、1曲线积分与曲面积分补充题1.设有 表示曲面: , 表示曲面1)0(422zazyx2axyx22.)20(az(1) 求 及 所围立体的体积；1,0（2）求 被 所截部分的表面积；2(3) 求 被 所截部分的侧面积；1(4) 若 表示 被 所截的部分曲面,求 ；S2 dSzyxIS22(5) 若 表示 被 所截的部分曲面,求 ；1 ax3(6) 若 表示 被 所截曲面的上侧部分,求 ；2 zyyzI(7) 若 表示曲面 的交线在第一卦限部分曲线,从 轴正向往下看是逆时针;1设力 ,求该力沿曲线 从 到 所做的功.kzjyixF)0,2(aA)2,(aB(8) 若其他条件同（6）,力为 ,此时功为多少? 若 点为 上任一kzjyixF点，功又为多少？2.。

17、1第 10 章 曲线积分和曲面积分参考解答1、计算下列对弧长的曲线积分： （1） ，其中 L 为由 Oxy 平面上的直线 及抛物线 所围成区域的边界。LxdsAyx2yx 21.510.5-0.5-1 1 2 3l2l1AO第 1（1）题解： ，1102lxdsxA2 131220 0144518l dx125Lllxdsxs（2） ，L 为椭圆 ，其周长为 a。34LydA2143xy解： 2 221LLLxssdsAA注意第一类曲线积分的对称性：若曲线关于 x（y ）轴对称，而被积函数关于 y（x）为奇函数，则曲线积分为零！（3） ，L 为圆周 （ ） 。2LxydsA2xa0解：圆周之参数方程为 （ ） ，故cosin2tay2t22220 01coscosLaatxydstdd A22 20。

18、1第十章曲线积分与曲面积分A1计算LDXYX，其中L为连接0,1及1,0两点的连直线段。2计算LDSYX22，其中L为圆周AXYX22。3计算LDSYX22，其中L为曲线TTTAXSINCOS，TTTAYCOSSIN，20T。4计算LYXDSE22，其中L为圆周222AYX，直线XY及X轴在第一角限内所围成的扇形的整个边界。5计算LDSYX3434，其中L为内摆线TAX3COS，TAY3SIN20T在第一象限内的一段弧。6计算LDSYXZ222，其中L为螺线TAXCOS，TAYSIN，ATZ20T。7计算LXYDX，其中L为抛物线XY2上从点1,1A到点1,1B的一段弧。8计算LYDZXDYZYDXX2233，其中L是从点1,2,3A到点0,0,0B的直线段AB。9计算LDZYXYDYXDX1。

19、 1 重积分、曲线积分、曲面积分 一、曲线积分 第一型曲线积分 (对弧长 ) 定义： 设 L 为平面上可求长度的曲线段， ( , )f xy 为定义在 L 上的函数。对曲线 L 作分割 T ，它把 L 分成 n个可求长度的小曲线段 ( 1, 2, , ),iL i n iL 的弧长记为 ,is 分割 T 的细度为1max ,iinTs在 iL 上任取一点 ( , )( 1, 2, , ).ii in 若极限 0 1lim ( , )ni i iT i fs 存在，则称此极限值为 ( , )f xy 在 L 上的第一型曲线积分（对弧长的积分），记作 ( , )L f x y ds。 若 L 为空间可求长曲线段， ( , , )f x yz 为定义在 L 上的函数，则可类似定义 ( , 。