1、函数的周期性基本知识方法 周期函数的定义：对于 定义域内的每一个 ，都存在非零常数 ，使得1. ()fxxT恒成立，则称函数 具有周期性， 叫做 的一个周期，()(fxTf()f ()fx则 （ ）也是 的周期，所有周期中的最小正数叫 的最小正周期.k,0Zk几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：2.函数 满足对定义域内任一实数 （其中 为常数） ,yf xa ，则 是以 为周期的周期函数；xayfT ，则 是以 为周期的周期函数；2 ，则 是以 为周期的周期函数；1ffxf ，则 是以 为周期的周期函数；fxaf2Ta ，则 是以 为周期的周期函数.1()()fxff ，则 是以 为周期
2、的周期函数.()()ffxaxf4Ta ，则 是以 为周期的周期函数.1()()fff1已知定义在 上的奇函数 满足 ，则 的值为 R()x(2)(ffx(6)f.A.B0.C1.D22 （1）设 的最小正周期 且 为偶函数，()fx2T()fx它在区间 上的图象如右图所示的线段 ,则在区间 上, 0, AB12()f012xyBA x已知函数 是周期为 的函数，当 时， ，2()fx21x2()1fx当 时， 的解析式是 19是定义在 上的以 为周期的函数，对 ，用 表示区间 ，3xfR2kZkI21,k已知当 时， ，求 在 上的解析式。 0IfxxfkI3 定义在 上的函数 满足 ，当
3、时，1Rxf2xf5,3，则 ； ；42xf .Asincos6f.Bsin1cosff.C2cosi33f.D2f设 是定义在 上以 为周期的函数， 在 内单调递减，2()fxR6()fx0,3且 的图像关于直线 对称，则下面正确的结论是 y3x.A(15).)(.5)fff.B(5)(1.6.5)fffC61D3(4. 已知函数 f(x)是定义在(-,+)上的奇函数,若对于任意的实数 x0,都有 f(x+2)=f(x),且当 x0,2)时, ,则 f(-2013)+f(2014)的值为 5. 已知 是 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 时, ,则函数 的图象在区间0,6上与轴的交点的个
4、数为 6. 已知 f(x)为偶函数，且 f(2+x)=f(2-x)，当-2x0 时， ；若 ，则 = 7. 已知定义在 上的奇函数 ，满足 ，且在区间 上是增函数，则（ ） 。A: B: C: D: 8. 已知函数 定义在 R 上,对任意实数 x 有 ,若函数的图象关于直线 对称, ,则 ( )A. B. C. D. 29定义在 上的函数 ，对任意 ，有 ，且RxfRyfxyxff2， 求证： ； 判断 的奇偶性；0f1102x若存在非零常数 ,使 ，证明对任意 都有 成立；3cf Rfcf函数 是不是周期函数，为什么？xf课后作业： （ 榆林质检）若已知 是 上的奇函数，且满足 ，当1.20
5、3()fxR(4)(fxf时， ，则 等于 ,x2()fx7.A2.B.C98.D98设函数 （ ）是以 为周期的奇函数，且 ，则2.fxR31,2ffaAa.B2a.C1.Da函数 既是定义域为 的偶函数，又是以 为周期的周期函数，若 在3.()f 2()fx上1,0是减函数，那么 在 上是()fx2,3增函数 减函数 先增后减函数 先减后增函数.A.B. .设 ，记 ，则 41()fx()()nnffx个 207()fx已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，5.R()fx3()f3f则 (2014)f设偶函数 对任意 ，都有 ，且当 时，6.fx1(3)()fxfx,2，则 ()f(3.5)
6、.A27BC1.D5设函数 是定义在 上的奇函数，对于任意的 ，都有 ，.()fxRxR1()()fxfx当 时， ，则 012fx(1.5)f.A1.B.C2.D2已知 是定义在 上的奇函数，满足 ，且 时，8.()fxR(2)(fxfx0,. 求证： 是周期函数； 当 时，求 的表达式；21()fx,4()fx计算 f（1）+f（2）+f（3）+f(2013) 3（ 朝阳模拟）已知函数 的图象关于点 对称，且满足9.05()fx3,04，又 ， ，求 3()2fxf(1)f(0)2f(1)2(3)ff的值06高考真题： 是定义在 上的以 为周期的奇函数，且 在区间 内解1.)(xfR30)
7、(f,6的个数的最小值是 .A2.B3.C4.D5定义在 上的函数 满足 ，当 时，2. ()fx(6)(ffx1x，当 时， ，则 2()fx1)(23)(201)fffA.A35.B38.178.已知函数 为 上的奇函数，且满足 ，.)(xfR()(fxfx当 时， ，则 等于 01(.5)fA.5.B0C1.D15函数 对于任意实数 满足条件 ，若 ，4.fxx2fxff则 5已知 是周期为 的奇函数，当 时，.()fx201x()lg.fx设 则63,(),5abf5(),2cf.Ac.Ba.Ccba.Dcb定义在 上的函数 既是偶函数又是周期函数，若 的最小正周期6R)(xf )(xf是 ，且当 时， ，则 的值为2,0xfsin)(53f.A21.B1.C2.D23设 是定义在 上的奇函数，且 的图象关于直线7.)(xfR)(xfy1x对称，则 1()345ff设函数 在 上满足 ， ，且在闭8.(),(2)()f(7)()ff区间 上，只有 0,7(1)30f（）试判断函数 的奇偶性；yx（）试求方程 在闭区间 上的根的个数，并证明你的结论.f25,
