1、极坐标与参数方程一、参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x、y 都是某个变数 t 的函数，即 )(tfyx并且对于 t 每一个允许值，由方程组所确定的点 M（x，y）都在这条曲线上（即曲线上的点在方程上，方程的解都在曲线上） ，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系 x、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.练习1若直线的参数方程为 ，则直线的斜率为（ ）12()3x
2、ty为 参 数A B C D23 322下列在曲线 上的点是（ ）sin2()coixy为 参 数A B C D 1(,)31,4(2,3)(1,3)3将参数方程 化为普通方程为（ ）2sin()xy为 参 数A B C Dyx2(3)yx2(01)yxy注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一（由上面练习（1、3可知）。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。3圆的参数方程如图所示，设圆 的半径为 ，点 从初始位置 出发，按逆时针方向在圆 上作匀速圆周运动，设 ，则 。这就是圆心在原点 ，半径为 的圆的参数方程，其中
3、 的几何意义是转过的角度（称为旋转角）。圆心为 ，半径为 的圆的普通方程是 ，它的参数方程为： 。4椭圆的参数方程以坐标原点 为中心，焦点在 轴上的椭圆的标准方程为其参数方程为 ，其中参数 称为离心角；焦点在 轴上的椭圆的标准方程是 其参数方程为其中参数 仍为离心角，通常规定参数 的范围为0，2 ）。注：椭圆的参数方程中，参数 的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角 区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在 到 的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当 时，相应地也有 ，在其他象限内类似。5双曲线的参数方程以坐标原点 为中心，焦点在 轴上的双
4、曲线的标准方程为其参数方程为 ，其中焦点在 轴上的双曲线的标准方程是 其参数方程为以上参数 都是双曲线上任意一点的离心角。6抛物线的参数方程以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线 的参数方程为7直线的参数方程经过点 ，过 ，倾斜角为 的直线 的参数方程为。注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点 ，倾斜角为 的直线 的参数方程为 ，其中 表示直线 上以定点 为起点，任一点 为终点的有向线段 的数量，当点 在 上方时，0；当点 在 下方时， 0；当点 与 重合时， =0。我们也可以把参数 理解为以 为原点，直线 向上的方向为正方向的数轴上的点 的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。北京高
5、考近几年真题（2014 年北京.3 题 5 分）曲线 （ 为参数）的对称中心（ ）1cos2inxy在直线 上 在直线 上 .A2yx.B在直线 上 在直线 上C1D1yx（2012 年北京.9 题 5 分）直线 2t（ 为参数）与曲线 3cosinxy（ 为参数）的交点个数为 （2014 年北京.3 题 5 分）答案：B（2012 年北京.9 题 5 分）答案：2二、极坐标方程1.极坐标系的概念(1)极坐标系极坐标系有四个要素：极点；极轴；长度单位；角度单位及它的方向如图所示 ,在平面内取一个定点 ,叫做极点,自极点 引一条射线 ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其
6、正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设 M 是平面内一点,极点 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径,记为 ;以极轴 为始边,射线 为终边的角 叫做点 M 的极角,记为 .有序数对叫做点 M 的极坐标,记作 .一般地,不作特殊说明时,我们认为 可取任意实数.特别地,当点 在极点时,它的极坐标为(0, )( R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果
7、规定 ,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标 表示的点也是唯一确定的.2.极坐标和直角坐标的互化例题、直角坐标为( ， )、 （0，2）那么它的极坐标分别表示为2 2_、 极坐标为（2， ） 、 （1，0）那么他们的直角坐标表示为 、 31. 答案： 、（2， ）(2，34) 答案： ， （1,0）(1,)(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是 ,极坐标是 ( ),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点 直角坐标 极坐标互化公式在一般情况下,由
8、 确定角时,可根据点 所在的象限最小正角.（1） 点的转化1、直角坐标为( ， )、 （0，2）那么它的极坐标分别表示为_、 2 2极坐标为（2， ） 、 （1，0）那么他们的直角坐标表示为 、 31. 答案： 、（2， ）(2，34)答案： ， （1,0）(1,)（2）方程的转化2、在极坐标系中，直线 : sin 2，则直线在直角坐标系中方程为 l( 4)在极坐标系中,圆 O: 4,则在直角坐标系中，圆的方程 直线 l 与圆 O 相交，所截得的弦长为_答案：(1)因为 ,所以直线 的直角坐标方程为 ,即 ,圆 的直角坐标方程为 .(2)由(1)知圆心的坐标是 ,半径是 4,圆心到直线的距离是
9、 .所以直线 被圆 截得的弦长是 .3、若曲线的极坐标方程为 2sin 4cos ，以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为_4、求满足条件的曲线极坐标方程(1)直线过点 M(1，0)且垂直于 x 轴 (2)直线过 M（0，a）且平行于x 轴 (3)当圆心位于 M(a,0)，半径为 r (4)当圆心位于 M ，半径为），（ 212： 3.常见曲线的极坐标方程曲线 图形 极坐标方程圆心在极点,半径为 的圆圆心为 ,半径为 的圆圆心为 ,半径为 的圆过极点,倾斜角为 的直线(1)(2)过点 ,与极轴垂直的直线过点 ,与极轴平行的直线注:由于平面上点的极坐标的表示形
10、式不唯一,即都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程 点 可以表示为 等多种形式,其中,只有 的极坐标满足方程 .4圆 的圆心坐标是（ ）5cos3inA B C D 4(,)(5,)(5,)35(,)34化极坐标方程 为直角坐标方程为（ ）2cs0A B C D 1y2x或 1x201yx或 1y5点 的直角坐标是 ，则点 的极坐标为（ ）M(,3)MA B C D (2,)322(,)3(,2),(3kZ6极坐标方程 表示的曲线为（ ）cosinA一条射线和一个圆 B两条直线 C
11、一条直线和一个圆 D一个圆北京高考近几年真题（2017 年北京.11 题 5 分）在极坐标系中，点 A 在圆 22cos4sin+4=0 上，点 P 的坐标为（ 1，0） ，则 |AP|的最小值为 （2016 年北京.11 题 5 分）在极坐标系中，直线 cos sin1=0 与圆 =2cos 交于A，B 两点，则|AB|= （2015 年北京.11 题 5 分）在极坐标系中，点（2， ）到直线（ cos+ sin）=6 的距离为 （2013 年北京.09 题 5 分）在极坐标系中，点 到直线 sin 2 的距离等于2,6_【2011 北京理，3】3在极坐标系中，圆 2sin的圆心的极坐标系是( )A (1,)2 B (1,)2 C 1,0 D 1,（2017 年北京.11 题 5 分）在极坐标系中，点 A 在圆 22cos4sin+4=0 上，点 P 的坐标为（ 1，0） ，则 |AP|的最小值为 【分析】先将圆的极坐标方程化为标准方程，再运用数形结合的方法求出圆上的点到点 P 的距离的最小值【解答】解：设圆 22cos4sin+4=0 为圆 C，将圆 C 的极坐标方程化为：x2+y22x4y+4=0，再化为标准方程：（x1） 2+（y 2） 2=1；
