1、数学建模微分方程模型关晓飞同济大学数学科学学院一、什么是微分方程？最最简单的例子引例 一曲线通过点（1，2），且在该曲线任一点M( x ,y )处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程。解 因此，所求曲线的方程为 2 1.y x= +若设曲线方程为 ， ( ) (1)y f x=又因曲线满足条件 1| 2xy = =根据导数的几何意义可知未知函数满足关系式： 2 (2)dy xdx =对（1）式两端积分得： 22 (3)y xdx x C= = +代入（3）得C1 回答什 是微分方程：么 建立关于未知变量、 未知变量的导数以及 自变量的方程 2y x=)20( kdtddM Mdt l=-,xyy
2、 ,32 xeyyy 二、微分方程的解法积分方法，分离变量法可分离变量的微分方程dxxfdyyg )()( 可分离变量的微分方程.5422 yxdxdy 例如 ,2 254 dxxdyy 解法 设函数 )(yg 和 )(xf 是连续的, dxxfdyyg )()(设函数 )(yG 和 )(xF 是依次为 )(yg 和 )(xf 的原函数, CxFyG )()( 为微分方程的解.分离变量法例1 求解微分方程 .2 的通解xydxdy 解 分离变量 ,2xdxydy 两端积分 ,2 xdxydy12ln Cxy .2为所求通解xCey典型例题过定点的积分曲线; 00),(yyyxfyxx一阶:二阶
3、: 00 00 ,),(yyyyyyxfyxxxx过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.例2. 解初值问题0d)1(d 2 yxxyx解: 分离变量得 xxxyy d1d 2两边积分得 Cxy ln11lnln 2 即 Cxy 12由初始条件得 C = 1,112 xy( C 为任意常数 )故所求特解为1)0( y一、求下列微分方程的通解:1、 0tansectansec 22 xdyyydxx ；2、 0)()( dyeedxee yyxxyx ；3、 0)1( 32 xdxdyy .二、 求下列微分方程满足所给初始条件的特解:1、 xdxyydyx sincossincos , 40 xy ；2、 0sin)1(cos ydyeydx x , 40 xy .练 习 题
