1、 1环球雅思学科教师辅导学案辅导科目：数学 年级：高一 学科教师： 课 时 数： 3授课类型 等差数列与通项公式教学目的 掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式教学内容1、等差数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数 就d d叫做这个数列的公差。即 1(2,)nadnN2、等差中项若 成等差数列，那么 叫做 的等差中项。两个实数 的等差中项只有一个，就是这两个数的算术平均数,aAbA,b,ab。23、等差数列的性质等差数列的通项公式 ， 。*1()()()nmadandNnmad当 时，它是一个一次函数。1()nad0等差数
2、列的前 项和公式 .1()2nns1()2，当 时，它是一个二次函数，由于其常数项为零，所1 1()2ndSaABn0d以其图像过原点。等差数列 中，如果 ,则 ,特殊地， 时，则 ， 是namnpqmnpqa2mpq2mpqama的等差中项。pq、等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即 成等差数列。232,nnnSS若a n是等差数列，公差为 d，则 ak，a km ，a k2m ，(k ，mN *)是公差为 md 的等差数列S 2n1 (2n1)a n.2若 n 为偶数，则 S 偶 S 奇 d，若 n 为奇数，则 S 奇 S 偶 a 中 (中间项) n2若a n与b n为等差
3、数列，且前 n 项和分别为 Sn 与 S ，则 ambm 21n5、知三求二等差数列有 5 个基本量， ，求解它们，多利用方程组的思想，知三求二。注意要弄准它们的值。1,nadS6、特殊设法三个数成等差数列，一般设为 ；,四个数成等差数列，一般设为 。3,3adad同 步 讲 解1、等差数列的判断方法：定义法 或 。1(nad为 常 数 ） 11(2)nnaa1、设 Sn 是数列a n的前 n 项和，且 Sn=n2，则 an是（ ）A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列17设 是等差数列，求证：以 bn= 为通项公
4、式的数列 为等差数列。na aan21*Nnb3、等差数列的通项： 或 。1()nad()nmad4、等差数列的前 和： ， 。2nS12nS2、等差数列a n的前 n 项和记为 Sn，若 a2a 4a 15 的值是一个确定的常数，则数列a n中也为常数的项是 ( )AS 7 BS 8CS 13 DS 153、等差数列a n中，已知 a1 ，a 2a 54，a n33 ，则 n 为( )13A48 B49 C50 D51(1)等差数列 中， ， ，则通项 ；na103205ana（2）首项为-24 的等差数列，从第 10 项起开始为正数，则公差的取值范围是_ ；4、设 Sn 是等差数列a n的
5、前 n 项和，a 128，S 99，则 S16_.5、已知数列a n为等差数列，若 0 的 n 的最大值为( )a11a10A11 B19C20 D21（1）数列 中， ， ，前 n 项和 ，则 ， ；na*1(2,)nnN32na152nS1an（2）已知数列 的前 n 项和 ，求数列 的前 项和 .S|T15、等差中项：若 成等差数列，则 A 叫做 与 的等差中项，且 。,aAbab2abA提醒：（1）等差数列的通项公式及前 和公式中，涉及到 5 个元素： 、 、 、 及 ，其中 、 称作n1dnnS1ad为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余 2 个，即知 3
6、求 2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为， （公,2差为 ） ；偶数个数成等差，可设为， ,（公差为 2 ）d,adad6.等差数列的性质：（1）当公差 时，等差数列的通项公式 是关于 的一次函数，且斜率为公差 ；前011()nnnd和 是关于 的二次函数且常数项为 0.n21 1()()ndSan（2）若公差 ，则为递增等差数列，若公差 ，则为递减等差数列，若公差 ，则为常数列。d0dd（3）当 时,则有 ，特别地，当 时，则有 .mpqqpnmaa2mp2mnpa（4）若 、 是等差数列，则 、 ( 、 是非零常数)、 、nbknbk *(,)nqN，也成等差
7、数列，而 成等比数列；若 是等比数列，且 ，则 是等差数232,nnSS na0nlga列.等差数列的前 n 项和为 25，前 2n 项和为 100，则它的前 3n 和为 。（5）在等差数列 中，当项数为偶数 时， ；项数为奇数 时， ，na2nSnd偶 奇 21nSa奇 偶 中（这里 即 ） ； 。21()nS中 中 a:(1):奇 偶 k项数为奇数的等差数列 中，奇数项和为 80，偶数项和为 75，求此数列的中间项与项数.na（6）若等差数列 、 的前 和分别为 、 ，且 ，则 .nabnnAB()nf21()()nnaAfnbB1设 与 是两个等差数列，它们的前 项和分别为 和 ，若 ，
8、那么 _；nabnnST341nnba(7)“首正”的递减等差数列中，前 项和的最大值是所有非负项之和； “首负”的递增等差数列中，前 项和的最小n n值是所有非正项之和。法一：由不等式组 确定出前多少项为非负（或非正） ；法二：因等差数0011nna或列前 项是关于 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性 。上述两种方法是运用n *nN了哪种数学思想？（函数思想） ，由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？等差数列 中， ， ，问此数列前多少项和最大？并求此最大值；na125917S6、 （1）设a n （nN *）是等差数列，S n 是其前 n 项的和，且 S5S 6，
9、S 6S 7S 8，则下列结论错误的是（ ）A.d0 B.a70C.S9S 5 D.S6 与 S7 均为 Sn 的最大值（2）等差数列a n的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则它的前 3m 项和为（ ）A.130 B.170 C.210 D.260各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。类型 1 )(nfan例 1. 已知数列 满足 ， ，求 。21nan21na1解法：把原递推公式转化为 ，利用累加法(逐差相加法) 求解。1nfan类型 2 nnaf)(1例 1:已知数列 满足
10、， ，求 。321nna1解法：把原递推公式转化为 ，利用累乘法(逐商相乘法 )求解。)1nfan例 2:已知 ， ，求 。31anna211)(na类型 3 （其中 p，q 均为常数， ） 。pann1 )01(pq例:已知数列 中， ， ，求 .132nan解法（待定系数法）：把原递推公式转化为： ，其中 ，再利用换元法转化为等比数列求)(1taptnn pqt1解。1在数列 中，若 ，则该数列的通项 _na11,23(1)nana类型 4 （其中 p，q 均为常数， ） 。 （或 ,其中 p， q, rnnpa1 )01)(qp1nnaprq均为常数） 。例:已知数列 中， , ，求 。
11、n651 11)2(3nnana解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以 ，得： 引入辅助数列 （其中 ） ，得：1nqqapnn11 nbnqa再待定系数法 解决。qbpnn11类型 5 递推公式为 （其中 p，q 均为常数） 。nnapa12(待定系数法) ：先把原递推公式转化为 )(112nnsats其中 s，t 满足 qt解法一（待定系数迭加法）:数列 ： ， ，求数列 的通项公式。na ),0(25312 Nnan ba2,na1例:已知数列 中， , , ，求 。na12annna311.已知数列 满足na *1221,3,().nnaaN（I）证明：数列 是等比数列；（II）求数
12、列 的通项公式；n（III）若数列 满足 证明 是等差数列 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j nb121*4.(),nnbbb nb类型 6 递推公式为 与 的关系式。 (或 )nSa(nSfa例：已知数列 前 n 项和 .214n（1）求 与 的关系；（2）求通项公式 .1nan解法：这种类型一般利用 与 消去 或与)2(11nSann )()11nnnn affSanS)2(消去 进行求解。)(1nnSf2(1类型 7 banpn1 )01(、ap例:设数列 ： ，求 .2(,3,41 nn na解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令 ，与已知递推式比较，)()
13、1(1 yxnapynxa解出 ,从而转化为 是公比为 的等比数列。yxyxnap类型 8 rnnpa1)0,(n例：已知数列 中， ，求数列211naa)0(.的 通 项 公 式na解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为 ，再利用待定系数法求解。qpann1类型 9 )()(1nhagfn例：已知数列a n满足： ，求数列a n的通项公式。1,31an解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为 。qpann11类型 10 hraqpnn1例：已知数列 n满足性质：对于 且 求 的通项公式. ,324,N1nna,1na例：已知数列 满足：对于 都有na,Nn.3251nna（1）若
14、求 （2）若 求 （3）若 求 （4）当 取哪些值时，无穷数列 不存在？,51;n,1a;n,61;n1ana解法：如果数列 满足下列条件：已知 的值且对于 ，都有 （其中 p、 q、 r、 h 均为常数，na1aNnhrapnn1且 ） ，那么，可作特征方程 ,当特征方程有且仅有一根 时,则 是等差数rhrqph1,0 hrxqp0x01nax列;当特征方程有两个相异的根 、 时，则 是等比数列。1x212na类型 11 或qpnan1 nnpqa1例：（I）在数列 中， ，求 （II ）在数列 中， ，求na6, nanna3,1a解法：这种类型一般可转化为 与 是等差或等比数列求解。12nan2类型 12 归纳猜想法解法：数学归纳法变式:（2006，全国 II,理,22,本小题满分 12 分）
