1、7高等代数课程教学大纲授课学时：154 总学分： 9 作者：高明课程类型：专业必修课 适用专业：数学与应用数学专业本科一、课程性质、地位和任务高等代数是数学系各专业开设的一门基础课，它不仅是应用学科的重要工具课，而且在抽象代数理论中也是一门很重要的理论基础课，特别是随着当今电子科技的发展，更加显示出高等代数的作用。二、课程主要内容概述及教学基本要求本课程分以一元多项式为主体的多项式理论和线性代数两部分。线性代数部分涉及行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、矩阵、欧几里得空间。通过对这门课的学习，使学生不仅能掌握一些处理问题的基本方法，而且能使他们对于高等代数的基础理论有一个深刻
2、的了解，从而为进一步学习专业课打下良好的基础。培养学生的独立思维能力和解决实际问题的能力。三、课程内容第一章 多项式基本要求：通过本章学习，使学生掌握带余除法、辗转相除法、因式分解定理、复系数与实系数多项式的因式分解定理及有理系数多项式的有关结论。教学重点：多项式的整除性理论和有理系数多项式，分解定理及复数域，实数域上分解形式。有理根检验，Eisenstein 判别法之使用，有理多项式分解归纳为整系数多项式分解。 教学难点：辗转相除法和有理系数多项式为。分解定理及复数域，实数域上分解形式。第二章 行列式基本要求：通过本章的学习，使学生深刻理解行列式定义及性质并能用其计算简单行列式熟练掌握行列式
3、的性质、按行（列）展开定理并在计算行列式时有思路。会运用 Cramer 法则求线性方程组的解。教学重点：行列式的定义、行列式按行（列）展开公式、Vandermonde 行列式和 Cramer 法则教学难点：行列式的计算第三章 线性方程组基本要求：通过教学使学生掌握 n 维向量的线性关系、矩阵的秩、线性方程组解的判定及求法。教学重点：n 维向量的线性相关性、向量组秩的概念及求秩方法、线性方程组有解的判别定理及解的结构。教学难点：线性相关性理论和线性方程组解的理论。第四章 矩阵基本要求：通过本章的教学使学生熟练掌握矩阵的基本运算和初等变换的应用。教学重点：逆矩阵的概念，可逆条件，逆矩阵的求法、初等
4、矩阵的概念及其应用。教学难点：矩阵的应用、逆矩阵的求法，分块运算方法。 8第五章 二次型基本要求： 通过本章的教学使学生理解实二次型基本问题、掌握二次型的矩阵表示、用非退化线性替换化二次型为标准型的方法以及正定二次型的判定。教学重点：化二次型为标准型的方法、理解惯性定理、正定二次型的判定。教学难点：化二次型为标准型的方法、理解惯性定理、正定二次型的判定。第六章 线性空间基本要求：本章以线性空间的概念为主线，让学生搞清楚有限维线性空间结构，并会进行一些运算。教学重点：准确理解基本概念并用于新对象、维数公式。掌握常见线性空间的基和维数的求法。教学难点：子空间的和、维数公式、线性空间的同构。第七章
5、线性变换基本要求：本章通过对线性变换的教学，使学生深刻理解线性变换的概念、可对角化线性变换、子空间、不变子空间、矩阵相似等概念。熟练掌握线性变换在一组基下的矩阵、矩阵可对角化的条件。教学重点：以线性变换在不同基下矩阵的关系、矩阵的对角化及不变子空间为重点。教学难点：特征值与特征向量、线性变换的值域与核。第九章 欧几里得空间 基本要求：通过本章的教学，使学生熟练掌握欧氏空间的度量性质，掌握正交变换、对称变换和实对称矩阵的标准型。教学重点：标准正交基、正交变换、实对称矩阵的标准型。教学难点：标准正交基的求法和实对称矩阵的标准型问题。四、学时分布第一学期授课内容1、引言2、排列 23、n 级行列式
6、24、n 级行列式的性质 25、行列式的计算 46、行列式按一行（列）展开 27、Cramer 法则 28、Laplace 定理、行列式乘法法则 选学第二章行列式 习题课 2161、消元法2、n 维向量空间 23、线性相关性 44、矩阵的秩 25、线性方程组有解的判别定理 2第三章线性方程组 6、线性方程组解的结构 21697、二元高次方程组 选学习题课 21、矩阵概念的一些背景2、矩阵的运算 23、矩阵乘积的行列式与秩 44、矩阵的逆 45、矩阵的分块 26、初等矩阵 27、分块乘法的初等变换及应用举例 2第四章矩阵习题课 2181、二次型及其矩阵表示 22、标准型 43、唯一性 34、正定
7、二次型 4第五章二次型习题课 214第二学期授课内容2、一元多项式 23、整除的概念 34、最大公因式 45、因式分解定理 26、重因式 37、多项式函数 28、复系数与实系数多项式的因式分解 29、有理系数多项式 410、多元多项式 选学11、对称多项式 选学第一章多项式习题课 4261、集合、映射 22、线性空间的定义与简单性质 23、维数、基与坐标 24、基变换与坐标变换 25、线性子空间 26、子空间的交与和 27、子空间的直和 38、线性空间的同构 2第六章线性空间习题课 4211、线性变换的定义 22、线性变换的运算 23、线性变换的矩阵 2第七章线 4、特征值与特征向量 4241
8、05、对角矩阵 46、线性变换的值域与核 47、不变子空间 48、若尔当标准形介绍 不做要求9、最小多项式 不做要求性变换习题课 41、定义与基本性质 22、标准正交基 33、同构 24、正交变换 25、 、子空间 26、实对称矩阵的标准形 47、向量到子空间的距离、最小二乘法 不做要求第九章欧几里德空间 习题课 419五、考核方法与要求1、 平时成绩： 占 152、 期终考试成绩：占 853、 综合考核成绩=平时成绩15%+期终考试成绩85%六、参考书目1.高等代数 （第三版） 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编2.高等代数 （第五版） 张禾瑞，郝鈵新编3.高等代数 （第二版）丘维声编
