1、函数 的图象的教学设计)sin(xAy福州一中 数学组 陈颖函数图象是函数对应法则的直观体现。常见的作图方法有描点法和图象变换法。基本初等函数的图象都是通过描点法作图，而比较复杂的函数图象，大多可由基本初等函数的图象通过适当的变换而得到。学习图象变换是了解中学数学数形结合思想的一个重要内容。本节课，是函数 的图象)sin(xAy的第二节课，目的使学生通过学习，掌握用五点法作出函数 的图象和函数 的两种图象变换（先左右平移，再左右伸缩，最)sin(xAy后上下伸缩 先左右伸缩，再左右平移，最后再上下伸缩） ，能通过图象变换作出函数 的图象；教学重点是函数 的图象如何经过)i( xysin两种图象
2、变换得到函数 的图象。)sin(xy由于用函数图象变换作函数 的图象充分体现了由简单到复)i(A杂，特殊到一般的化归的数学思想，为了更好地揭示得到函数的图象的思维过程，有利于学生认识图象变换的的本质，因此，)sin(xAy这节课，我选择了问题教学和计算机辅助教学，通过设计好的主体式软件，赋予常规教学中的静态作图以动感，使学生从中了解数形结合的思想以及化归的思想，培养学生发现规律的能力、抽象思维能力以及发散性思维能力，发展思维的灵活性与创造性。教学过程设计：一、 复习引入教师借助三个问题（1. 函数 的图象与函数 的图象之)sin(xy xysin间的关系。2. 函数 与函数 的图象之间的关系。
3、3. 1,0(sinxy xysin函数 与函数 的图象之间的关系。 ）通过电脑动画)1,0(sinAxy xysi直观表现三类图象变换 ，带动学生复习旧知识，加深学生对旧知识的理解。二、 新课1.用“五点法”画出函数 ， 的简图。)32sin(xyR师：函数 的周期为 ，要画出它在长度为)si(3xy 2T一个周期的闭区间上的简图，主要还是先找出能够确定曲线形状的五个关键点，那么这五个点具备什么特征呢？生：这五个点应该是该函数的最大值点，最小值点以及曲线与 x 轴的交点。师：如何找出这五个点？生：换元法，令 ，则 ，函数式化简为32xX623X。当 X 取 0， ， ， ， 时， 相应取 ，
4、ysin3 x65,1273,从而求出五个关键点的坐标。接着师生一起通过电脑进行列表、描点、用光滑的曲线顺次连结各点，并把它在 上的简图向左右分别扩展，从而得到它的简图。)65,2.提出问题：函数 的图象能否由函数 的图象通过适当的变换而)32sin(xy xysin得到？3.研究问题问题 1：函数 图象与函数 图象之间有什么关系？)si(xyxysi教师先用五点法在同一坐标系作函数 和函数 图象，n)3sin(xy请学生观察两个函数图象上关键五点的变换规律。再从解析式出发，得出函数图象上横坐标取 （ ）的点的纵坐标，同函数xysin0x2,0图象上横坐标为（ - ）的点的纵坐标相等（例如,当
5、 = 时，)3(030x2） 。因此，函数 的图象可以看作12sinisi00 xx )3sin(xy是把函数 的图象上所有的点向左平移 个单位而得到。ysn问题 2：函数 图象与函数 图象之间有什么关系？)3i(x)si(xy同样用五点法在同一坐标系两个函数 和 的图)3in()32sin(xy象，请学生观察两个函数图象上关键五点的变换规律。 再从解析式入手，得出函数 图象上横坐标为 的点的纵坐标与函数 图象)3sin(xy0x )i(上横坐标为 的点的纵坐标相等。因此函数 的图象可以看作是20 )32sin(xy把函数 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变）)si(xy而得到
6、。问题 3：函数 图象与函数 图象之间有什么关)32sin(xy )32sin(xy系？从图中可以看出，对于同一个 值，函数 的图象上的点的x)32sin(xy纵坐标等于函数 图象上点的纵坐标的 3 倍。因此，函数)32sin(y的图象可以看作是把函数 图象上所有的点保持)32sin(xy )si(xy横坐标不变，纵坐标伸长为原来的 3 倍而得到。（这里从问题教学入手，通过画图象直观比较分析， 抓住函数图象变换过程中，五个对应点间的变换分析，这是图象变换的中心、关键。 ）问题 4：函数 图象可以由函数 图象经过怎样的变)2sin(3xy xysin换而得到？师：通过以上 3 个问题的解决，我们
7、实际上已经解决了第 4 个问题。我们把上述变换过程综合演示一遍。（这里教师提出四个问题，学生采用分组讨论的形式，在合作交流中探究函数 图象与函数 图象之间的关系，完成图象变换的学)2sin(xy xysin习。他们将应用上节课所学过的知识通过小组成员间的探索与合作交流来完成用函数图象变换作 的图象，并进一步思考用图象变换作函数)32sin(xy的图象的一般步骤。)sin(wxAy在这过程中教师给学生提供适当的指导，帮助学生解决遇到的难题。学生通过他们的探索活动总结得出由函数 图象经过变换得到函数xysin图象的过程，并选一个代表汇报他们的探讨得到的结论，不足)32sin(xy之处小组其他成员可
8、以补充。而后，教师通过辅助软件直观形象动态地演示其中即先左右平移，再左右伸缩，最后上下伸缩的变换函数图象的变换过程。 ）甲生：老师，一定要按照刚才学习的变换方式得到函数 的)32sin(xy图象？师：不一定，你有什么想法吗？甲生：我想将函数 的图象先保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来xysin的一半得到函数 的图象，再把 图象向左平移 得到函数2i xy2sin3的图象，最后把函数 的图象保持横坐标不变，纵)32sin(xy )3(坐标伸长为原来的 3 倍得到函数 图象。sixy师：你为什么认为应该把 图象向左平移 得到函数2n的图象？)32sin(xy甲生：在学习前面那种图象变换时我们就是把图
9、象向左平移 。3师：其他同学还有不同的想法吗？乙生：我想将函数 的图象先变换到函数 的图象，再把函xysinxysin数 的图象变换到函数 图象，最后将函数xysin3)3i(图象变换到函数 图象。)(2sxy丙生：我的想法和甲生差不多，有个不一样的地方是我是把 图象xy2sin向左平移 得到函数 的图象。6)3sin(xy师：现在，我们一起把注意力集中在甲丙两生的设想，他们的共同特点是我想将函数 的图象变换到函数 的图象，再把 图象变i xy2sinxy2sin换到函数 的图象，最后把函数 的图象变换到函数)32sn(xy )3(图象。不同的是一个认为应该向左平移 个单位长度，另一个i3认为
10、应该向左平移 个单位长度。6师：到底是左平移 个单位长度，还是向左平移 个单位长度呢？我们一36起看电脑屏幕。（教师通过多媒体课件，设计了两个纵轴对齐，横轴平行的直角坐标系，依次在两个坐标系作出 及函数 图象，分别为 ， ，xy2sin)32sin(xy1c2然后将 的图象向左平移 个单位得到 ，将函数 图象xy2sin3c)3sin(xy连同坐标系一起向上平移，观察得出 与 不重合） 。 （此设计意图是考虑到学2生在探讨问题时可能遇到这样的争议，有的学生认为把函数 图象向左xy2si平移 得到函数 图象,有的认为把函数 左移 得到函数6)32sin(xy in3图象。为了解决这一争议，在教学
11、中，我适时设计了这样一道选)32sin(xy择题：要得到函数 图象，需要将 的图象（ ）)si(xy xy2siA向右平移 个单位 B向左平移 个单位66C 向右平移 个单位 D向左平移 个单位33通过上述设计学生观察得出 与 不重合，由此得出将 向左平移3c2 xy2sin个单位可以得到函数 图象。这样处理是为了突破难点，使学6)sin(xy生认识到第二种图象变换中，向左平移 个单位是不正确的。从而提出平移变3换中平移量指的是 x 的变换量。 ）师：从观察结果我们发现 与 不重合。那么，这个不重合是由于作图不3c2准确造成的吗？生：肯定不是。我把 代入函数 ，得出 ，说明x)32sin(xy
12、0y不在函数 图象上，而函数 的图象向左平移 个)0,3()32sin(y 3单位长度一定要经过 。所以，我认为应该向左平移 个单位长度。0, 6师：很好！我们还可以从解析式入手，得出函数 图象上横坐标为xy2sin的点的纵坐标与函数 图象上横坐标为（ ）的点的纵坐0x )32sin(xy 0标相等。在这里自变量由 变成（ ） ，因此图象向左平移了 个单位长度。66师：我们把上述变换过程综合演示一遍。（教师通过辅助软件直观形象动态地演示函数 图象上所有的点先xysin保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半得到函数 的图象，再把2图象向左平移 得到函数 的图象，最后把函数xy2sin6)32si
13、n(xy的图象保持横坐标不变，纵坐标伸长为原来的 3 倍得到函数)3(图象的过程。 ）sixy师：接下来我们做一个练习：“函数 的图象向_平移xy21sin_个单位可得到函数 的图象。 ”)6si(xy生：把函数 的图象向右平移 个单位可得到函数xy21sin3的图象。)621sin(xy三、归纳提升1.请学生总结用“五点法”作函数 的图象的一般步骤。)sin(xAy2.函数 的图象如何由函数 的图象通过适当的变换)sin(xAy而得到（只要求设计先左右平移，再左右伸缩，最后上下伸缩的变换和先左右伸缩，再左右平移，最后再上下伸缩的变换的流程图） 。学生通过阅读课本 P65 页相关内容了解把函数
14、 的图象通过先左右xysin平移，再左右伸缩，最后上下伸缩的变换得到函数 的图象的过)(A程。而后师生一起设计先左右伸缩，再左右平移，最后再上下伸缩的变换的流程图。通过流程图教师再将两种变换方式作比较，第一种变换中自变量由 x 到，应平移 个单位；第二种从 到 ，自变量由 变到 ，应平x xx移 个单位，再次强调平移变换中平移量指的是 x 的变换量。四、思考题1. (1)函数 的图象如何由函数 的图象经过变换而得到。)12lg(xyylg(2)函数 y=23x+1 的图象如何由函数 y=2x 的图象经过变换而得到。2.请同学们设计由函数 的图象通过图象变换得到函数xysin的图象的其余四种途径的流程图。)sin(xAy（思考题 1 是引导学生思考 函数图象变换并不只局限在三角函数的图象变换，一般函数一样存在图象变换，借此请学生总结一般函数图象变换的规律，使所学知识得到拓展。思考题 2 概括总结三类变换六种途径，即图象的变换可以分解成这三类变换；利用这三类变换可以说明三角函数图象的各种变换了。 ）
