1、1追求逻辑连贯、生长自然的教学设计江苏省海安县教育局教研室 何明写在前面笔者最近在一次市级青年教师基本功比赛活动中担任评委工作，经过笔试环节筛选，进入“微课堂” （即模拟上课）环节的有 18 名教师，微课内容是针对人教版九年级上册“点和圆的位置关系” 。由于全程参与了这次评比，观摩了老师们的模拟课堂展示，对教学内容也有了更多的思考。本文先概述参赛老师的教学设计，再展示笔者对该课时的教学设计，最后给出相关思考，与同行交流研讨。赛课老师的教学设计概述由于只提供教学内容的两页教材复印件，且不允许带任何参考资料，加上所给准备时间只有 45 分钟，老师们的教学设计基本都忠实于教材，教学流程设计如下：活动
2、 1：创设情境，引入课题情境问题：我国射击运动员在奥运会上屡获金牌，为祖国赢得荣誉。如图 1，是射击靶的示意图，它是由许多同心圆（圆心相同、半径不等的圆）构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？图 1说明：不少老师在这个环节后面安排了 3 道左右的训练题，限于篇幅，此处从略。活动 2：探究活动：经过一个、两个、三个已知点作圆。说明：这个部分处理同教材处理（此处不展开） 。不少参赛老师在这个环节之后又设计了一些填空、选择或画图题进行巩固训练。有几位老师在引导学生探究经过三个已知点作圆时，把反证法证明格式进行了讲解，也有老师将反证法作为一个重点环节，并设计例题、习题进行训练。活动 3：
3、题组练习，订正讲评老师们在上面新知探究之后，分别设计了 5 道习题，对本课所学内容进行巩固训练，2所选习题都给出设计意图和讲评的注意事项，但 5 道习题之间关联度不大。活动 4：课堂小结，布置作业。 （略）简评：上述教学设计从一般的教育、心理的观点看是可以的，教学环节完整规范，注意新知导入的情境创设，探究思考与习题训练也是积极的。但是从“构建前后一致、逻辑连续的学习过程，使学生在掌握数学知识的过程中学会思考” 12的角度看，上述教学设计还有很大的改进余地。比如，课堂导入非要创设所谓的生活情境吗？几何图形学习到了九年级，学生已有了哪些几何图形的学习经验或学习套路？各个教学环节是能否生成得更自然些
4、？习题设计能否更有针对性、关联性、生长性？等等，下面笔者也尝试给出一种教学设计。教学再设计笔者查阅了义务教育数学课程标准 （2011 年版）相关要求，涉及“点和直线的位置关系”的教学内容，有如下一些具体的要求：探索并了解点与圆的位置关系；会利用基本作图完成：过不在同一直线上三个点作圆；了解三角形外接圆和三角形外心的概念；了解反证法和证明思想。可以发现，这个课时的教学是十分重要的，其教学重点应该是探索并了解点与圆的位置关系、过不在同一直线上的三个点作圆；教学难点是过不在同一直线上的三个点作圆。下面给出具体的教学流程。环节 1：数学的现实：从垂径定理基本图形出发。出示学生在前面已熟悉的垂径定理基本
5、图形（如图 2） ，设问如下：rOA BH图 2问题 1：图中有几个点（点 O、A、B、H ） ，这些点跟O 有怎样的位置关系？问题 2：设O 的半径为 r，点 A、B、H 到圆心 O 的距离 AO、OH、BO 跟 r 的大小关系如何？问题 3：设O 的半径为 r，点 P 到圆心 O 的距离 OP d，能否用 d、r 的大小关系来3描述点 P 与圆的位置关系？（预设：点 P 在圆外dr；点 P 在圆上dr；点 P 在圆内dr）（设计意图：从数形结合的角度解读这种等价关系后，引导学生阅读教材上的射击靶的生活情境，并引导学生举例身边类似的点与圆的位置关系。 ）巩固练习：若O 的半径为 10，点 P
6、 到圆心 O 的距离 OPd，请第 1 组同学回答一个可能的 d 的值，使点 P 在圆外；第 2 小组的同学回答可能的 d 的值，使点 P 在圆内。（设计意图：这是一道开放问题，虽然指定相应小组学生回答，但其他小组学生在倾听时会参与思考、鉴别、评估答案是否正确。 ）环节 2：反过来思考：从“经过两点作圆”出发。上面从垂径定理的基本图形出发，思考并研究了点和圆的位置关系，我们还可以从另一角度研究这个图形。问题 4：如图 3，怎样画一个圆，使该圆能同时经过点 A、B？（预设：学生在动手操作后，发现这样的圆有无数多个（图 4） ，进一步要求学生说出这些圆的特点，即圆心分布有什么特点？）A B图 4A
7、 B图 5CA B图 6CA B图 3问题 5：如图 5，能否作出一个圆同时经过已知的三个点？（预设：受到前面的启发，部分学生画出两条垂直平分线，进而作出符合条件的图。在此基础上再将三个点的位置变动（如图 6） ，要求所有学生都独立作图，巩固作法，突破重点、难点。 ）问题 6：是否经过任意三个点都能作出一个圆？（预设：导出矛盾后，介绍反证法的证明路径和证明思想。最后师生共同归纳：不在同一直线上的三个点可以确定一个圆。相应的，经过三角形的三个顶点可以作出一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这4个三角形的外心。 ）环节 3：服务于生活：如何寻找圆心问
8、题 7：如何找出这个破损的圆形瓷片（如图 7）的圆心，或者恢复该圆。图 7 图 8A BCD问题 8：如图 8，CD 所在的直线垂直平分线段 AB，怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心？环节 4：生长式小结：练习一道原创题问题 8：如图 9，在平面直角坐标系中，M 经过点 A（4，0） 、B（4，4） 、C（0，4） 。xyOBAC图 9尺规作图，作出M，并写出圆心 M 的坐标；试判断点 D（5，2）与M 的位置关系，并说明理由；若点 P（m，n） ，且 mn4；试分析当 m 取何值时，点 P 在M 外、上、内？（设计意图：考虑到九年级学生对平面直角坐标系已很熟悉，第问训练学生过不在同一直线上三
9、个点作圆的能力，同时所给三个点的也很特殊，让优秀学生能快速作图；第问训练学生会根据点和圆的位置关系的性质来判断，涉及勾股定理、实数大小比较；第问主要障碍是要理解点 P 在直线 yx 4 上，使用“ 若点 P（m ，n） ，且 mn4”5是根据人教版教材八年级一次函数练习题中出现过的一种命题方式，这也是高中阶段解析几何思想的一种渗透。更为重要的是，想到直线 yx4 与M 相交的位置关系时，下节课又可以找到一个“数学的现实” ，继续研究“直线和圆的位置关系” 。 ）两点思考情境创设需要思辨生活现实和数学现实章建跃教授对时下流行的“情境引入”曾做出思辨，指出“对从现实引入的更全面认识，应从数学知识的
10、发生发展过程需要来考虑，这个现实既可以是生活的现实 ，也可以是数学的现实 ”。 3正是基于这样的认识，笔者舍弃使用教材上的那个射击靶的“生活现实” ，使用了垂径定理基本图形的“数学现实”引入新课。值得一提的是，情境创设并不仅仅在于开课阶段，比如笔者给出的“环节 2”，仍然是思考垂径定理基本图形，研究的角度是，如果先出现两点，如何作出一个圆经过这两个点？可见，这里的情境创设仍然是一种“数学现实” 。教学环节之间追求生长自然和富于关联如上所述，笔者给出的教学设计中“环节 1”“环节 2”是从不同角度思考垂径定理基本图形这一“数学现实” ，做到了两个教学环节之间的自然生长、过渡平滑。而在“环节2”中
11、，很好的把教材中提及的反证法进行了链接和渗透，接着在“环节 3”又是针对上面作圆进行生活上的应用，很好了体现了“学以致用，数学服务于生活”这一理念。笔者给出的“环节 4”并没有使用所谓的回顾概念、复述性质这样简单重复的做法，而是精心编拟了一道原创题，将“点和圆的位置关系” “过不在同一直线上三个点作圆”这两个教学重点置于平面直角坐标系这个平台下进行探究。这对于九年级学生来说，难度也是恰当的，因为九年级学生面临着“眼前利益”的挑战，如果在平时授课期间不注意将不同知识点前后关联、综合设计，而指望在专门复习时才出现所谓的综合题，那样提高综合题解题能力的期望往往大打折扣。结束语应该承认，教材是众多专家
12、学者、名优教师精心打磨出来的课程资源，值得每一位老师认真研习。 *本文以“点和直线的位置关系”为例，对教材上的生活情境引入方式进行了思辨和取舍，对教材上不同环节之间过渡的生硬也给出自己的操作方案，这些思考还是初步的，期待批评指正。*发表时此处删去：“但是教材编写也有优差之分，研读教材时，对教材实行横挑鼻子竖挑眼的态度不能说不对。即对任何教材，在教学之前应该怀有研究心。 ”6何明追求逻辑连贯、生长自然的教学设计J中学数学教学参考 2015（3）：1315复印报刊资料 初中数学教与学，2015（7）1章建跃发挥数学的内在力量，为学生谋取长期利益J数学通报，2013，52（2）：16，102章建跃构建逻辑连贯的学习过程使学生学会思考J数学通报，2013，56（6）：58，封底3章建跃从数学整体观看“同底数幂的乘法”的教学J中国数学教育，2013（7/8）：1416
