1、第四关 以平面几何图形的变换为背景的解答题1如图 , ABC中, DAB于 ,且 :2:34DAC( )试说明 是等腰三角形( 2)已知 240cmABCS,如图 ,动点 M从点 出发以每秒 1cm的速度沿线段 BA向点 运动,同时动点 N从点 出发以相同速度沿线段 向点 运动,当其中一点到达终点时整个运动都停止设点M运动的时间为 t(秒) 若 DA的边与 平行,求 t的值若点 E是边 C的中点,问在点 运动的过程中, DEA能否成为等腰三角形?若能,求出 t的值;若不能,请说明理由【答案】 (1)见解析;(2) t为 5或 6;能, t值为 9或 10或 46,理由见解析在 RtACD 中,
2、AC 2ADC5x,ABAC,ABC 是等腰三角形;(2)解:S ABC 125x4x40cm 2,而 x0,x2cm,则 BD4cm,AD6cm ,CD 8cm,AC 10cm当 MNBC 时,AM AN,即 10tt,t5;当 DNBC 时,ADAN,得:t6;若DMN 的边与 BC 平行时, t 值为 5 或 6当点 M 在 BD 上,即 0t 4 时,MDE 为钝角三角形,但 DMDE;当 t4 时,点 M 运动到点 D,不构成三角形,当点 M 在 DA 上,即 4t10 时,MDE 为等腰三角形,有 3 种可能如果 DEDM ,则 t45,t9;如果 EDEM,则点 M 运动到点 A
3、,t10;如果 MDMEt4,过点 E 做 EF 垂直 AB 于 F,因为 EDEA,所以 DFAF 12AD3,在 RtAEF 中, EF4;点睛:本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、解方程等知识;本题有一定难度,需要进行分类讨论才能得出结果学/科*网2定义:对角线互相垂直的凸四边形叫做“垂直四边形” (1)理解:如图 1,已知四边形 ABCD 是“垂直四边形” ,对角线 AC,BD 交于点 O,AC =8,BD =7,求四边形 ABCD的面积.(2)探究:小明对 “垂直四边形” ABCD(如图 1)进行了深入探究,发现其一组对边的平方和等于另一组对边的平方和即 22A
4、BCDB你认为他的发现正确吗?试说明理由(3)应用: 如图 2,在ABC 中, 90A,AC=6,BC=8,动点 P 从点 A 出发沿 AB 方向以每秒 5 个单位的速度向点 B 匀速运动,同时动点 Q 从点 C 出发沿 CA 方向以每秒 6 个单位的速度向点 A 匀速运动,运动时间为 t 秒( 01t) ,连结 CP,BQ,PQ 当四边形 BCQP 是“垂直四边形”时,求 t 的值 如图 3,在ABC 中, ,AB=3AC,分别以 AB,AC 为边向外作正方形 ABDE 和正方形 ACFG,连结 EG请直接写出线段 EG 与 BC 之间的数量关系【答案】 (1)28;(2)证明见解析;(3)
5、 29; 223EGBC 【解析】试题分析:(1)由于对角线互相垂直,所以四边形 ABCD 的面积可化为 12AOBD+ COBD 的和;(2)由于对角线互相垂直,由勾股定理分别表示出 AB2、CD 2、AD 2、BC 2;(3)过点 P 作 PDAC 于点 D,构造PAD BAC 后,利用 BP2+CQ2=PQ2+BC2 列出关于 t 的方程;故答案为:28;(2)四边形 ABCD 是“垂直四边形”,ACBD.由勾股定理可知:AB2+CD2=(AO2+BO2)+(DO2+CO2),AD2+BC2=(AO2+DO2)+(BO2+CO2),AB 2+CD2=AD2+BC2; AP=5t,CQ=6
6、t ADP5t6810,AD=3t,PD=4t. 四边形 BCQP 是“ 垂直四边形 ”.BP 2+CQ2=PQ2+BC2.(10-5t) 2+(6t)2=(6-9t)2+82,解得 t= 9或 t=0(舍去). 当四边形 BCQP 是“ 垂直四边形 ”时,t 的值为 29.如图 3,连接 CG、BG 、BE、CE,CE 与 BG 交于点 O由题意知:EA=BA,AC=AGEAB=CAG=90EAB+BAC=CAG+BACEAC=BAG在EAC 与BAG 中 EABCG,点睛:本题考查的是垂直四边形的概念和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的应用,正确理解垂直四边形的定义,灵活运用勾股定
7、理是解题的关键.3在四边形 ABCD中, 180,对角线 AC平分 BD.学科.网(1)如图 1,若 2,且 9B,试探究边 、 与对角线 AC的数量关系并说明理由.(2)如图 2,若将(1)中的条件“ 0”去掉, (1)中的结论是否成立?请说明理由.(3)如图 3,若 90DA,探究边 AD、 与对角线 A的数量关系并说明理由.【答案】 (1) ACDB.证明见解析;(2)成立;(3) 2ADBC.理由见解析.【解析】试题分析:(1)结论:AC=AD+AB,只要证明 AD= 12AC,AB= AC 即可解决问题;(2) (1)中的结论成立以 C 为顶点,AC 为一边作ACE=60,ACE 的
8、另一边交 AB 延长线于点 E,只要证明DACBEC 即可解决问题;(3)结论:AD+AB 2AC过点 C 作 CEAC 交 AB 的延长线于点 E,只要证明ACE 是等腰直角三角形,DACBEC 即可解决问题;试题解析:解:(1)AC=AD+AB理由如下:如图 1 中,(2) (1)中的结论成立,理由如下:以 C 为顶点,AC 为一边作ACE=60,ACE 的另一边交 AB 延长线于点 E,BAC=60,AEC 为等边三角形,AC=AE=CE,D+ ABC=180 ,DAB=120,DCB=60,(3)结论:AD+AB 2AC理由如下:过点 C 作 CEAC 交 AB 的延长线于点 E,D+
9、B=180,DAB=90,DCB=90,ACE=90,DCA=BCE,又AC 平分DAB,CAB=45,E=45AC=CE又D+ ABC=180 ,D=CBE,CDACBE,AD=BE,AD+AB=AE 在 RtACE 中,CAB=45,AE 245ACcos DB .4ABC 和CDE 是以 C 为公共顶点的两个三角形(1)如图 1,当ABC 和CDE 都是等边三角形时,连接 BD、AE 相交于点 P求DPE 的度数;(2)如图 2,当ABC 和CDE 都是等腰直角三角形,且ACB=DCE=90时,连接 AD、BE,Q 为AD 中点,连接 QC 并延长交 BE 于 K求证:QKBE ;(3)
10、在(1)的条件下,N 是线段 AE 与 CD 的交点,PF 是DPE 的平分线,与 DC 交于点F,CN=2 , PFN=45,求 FN 的长2【答案】 (1)60;(2)见解析;(3)263DE、NE,再利用相似三角形的性质可得 DE2=NEPE,求出 PE、PN,由此即可解决问题;解:(1)如图 1 中,设 AE 交 CD 于 JDPE=60(2)如图 2 中,延长 CQ 到 R,使得 CQ=QR,连接 AR、DRABC 和CDE 都是等腰直角三角形,学/+科网ACB=DCE=90,AC=BC,CE=CD,BCE+ACD=180,AQ=DQ,CQ=QR,四边形 ACDR 是平行四边形,CKB=90,即 CKBE(3)如图 3 中,作 NHEC 于 H,NGPF 于 G,在 EH 上取一点 K 使得 NK=EKDPE=60,PF 平分DPE,NPPF=30,PFN=45, NGF=90,GF=GN= PN,FN= GN,PNF=CNE=105 ,CEN=15,KN=KE,KNE=KEN=15 ,NKH=30,在 RtCNH 中,CN=2 ,CNH=30,CH= CN= ,NH= CH= ,在 RtNKH 中,NK=KE=2NH=2 ,HK= NH=3 ,