1、 奇偶性与单调性及典型例题函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.难点磁场()设 a0,f(x)=是 R 上的偶函数，(1)求 a 的值；(2) 证明： f(x)在(0，+) 上是增函数.案例探究例 1已知函数 f(x)在 (1，1)上有定义，f()= 1, 当且仅当 00,1x1x20，0,又(x2x1)(1 x2x1)=(x21)(x1+1)3a22a+1.解之，得 01).(1)证明：函数 f(x)在( 1，+) 上为增函数.(2)用反证法证明方程 f(x)=0 没有负数根.
2、6.()求证函数 f(x)=在区间(1，+ )上是减函数 .7.()设函数 f(x)的定义域关于原点对称且满足：(i)f(x1x2)=；(ii)存在正常数 a 使 f(a)=1.求证：(1)f(x)是奇函数.(2)f(x)是周期函数，且有一个周期是 4a.8.()已知函数 f(x)的定义域为 R，且对 m、nR, 恒有 f(m+n)=f(m)+f(n)1,且f()=0,当 x时，f(x)0.(1)求证：f(x) 是单调递增函数；(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.参考答案难点磁场(1)解：依题意，对一切 xR,有 f(x)=f(x),即+aex.整理，得(a )(ex)=0. 因此
3、，有 a=0,即 a2=1,又 a0,a=1(2)证法一：设 0x1x2,则 f(x1)f(x2)=由 x10,x20,x2x1,0,1e0,f(x1) f(x2)0,即 f(x1)f(x2)f(x) 在(0,+ )上是增函数证法二：由 f(x)=ex+e x，得 f(x)=exex=ex (e2x1).当 x(0,+) 时，ex0,e2x10.此时 f(x)0,所以 f(x)在 0，+ )上是增函数.歼灭难点训练一、1.解析：f(x)= = f(x)，故 f(x)为奇函数.答案：C2.解析：f(x)= f(x),f(x)是奇函数，图象关于原点对称.答案：C二、3.解析：令 t=|x+1|,则
4、 t 在(,1 上递减，又 y=f(x)在 R 上单调递增，y=f(|x+1|)在(,1 上递减.答案：(,14.解析：f(0)=f(x1)=f(x2)=0, f(0)=d=0.f(x)=ax(xx1)(x x2)=ax3a(x1+x2)x2+ax1x2x，b=a(x1+x2),又 f(x)在x2,+单调递增，故 a0.又知 0x1x,得 x1+x20,b=a(x1+x2)0.答案：(,0）三、5.证明：(1）设1 x1x2+ ,则 x2x10, 1 且0,0,又 x1+10,x2+100,于是 f(x2)f(x1)=+ 0f(x) 在( 1，+）上为递增函数.(2）证法一：设存在 x0 0(
5、x01)满足 f(x0)=0,则且由 01 得 01,即x02 与 x00 矛盾，故 f(x)=0 没有负数根.证法二：设存在 x00(x01) 使 f(x0)=0,若1x00,则2,1,f(x0)1 与f(x0)=0 矛盾，若 x01,则 0, 0，f(x0)0 与 f(x0)=0 矛盾，故方程 f(x)=0 没有负数根.6.证明：x0,f(x)=,设 1x1x2+,则.f(x1)f(x2), 故函数 f(x)在(1，+）上是减函数.(本题也可用求导方法解决）7.证明：(1）不妨令 x=x1x2,则 f(x)=f(x2x1)= =f(x1x2)=f(x).f(x) 是奇函数.(2）要证 f(
6、x+4a)=f(x),可先计算 f(x+a),f(x+2a).f(x+a)=f x(a)=.f(x+4a)=f (x+2a)+2a=f(x), 故 f(x)是以 4a 为周期的周期函数.8.(1）证明：设 x1x2,则 x2x1 ,由题意 f(x2x1)0,f(x2) f(x1)=f(x2 x1)+x1f(x1)=f(x2x1)+f(x1)1f(x1)=f(x2x1)1=f(x2x1)+f( )1=f(x2 x1)0,f(x) 是单调递增函数 .(2)解：f(x)=2x+1. 验证过程略 .难点 8 奇偶性与单调性(二 )函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一，特别是两性质的应用更加突
7、出.本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识.难点磁场()已知偶函数 f(x)在(0 ，+)上为增函数，且 f(2)=0,解不等式flog2(x2+5x+4)0.案例探究例 1已知奇函数 f(x)是定义在(3，3)上的减函数，且满足不等式 f(x3)+f(x23)3x2,即 x2+x60, 解得 x2 或 xf(0)对所有 0,都成立？若存在，求出符合条件的所有实数 m 的范围，若不存在，说明理由 .命题意图：本题属于探索性问题，主要考查考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运算能力，属题目.知识依托：主要依据函数的单调性和奇偶性，利用等价转化的思想方法把问题转化为二次
8、函数在给定区间上的最值问题.错解分析：考生不易运用函数的综合性质去解决问题，特别不易考虑运用等价转化的思想方法.技巧与方法：主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题.解：f(x)是 R 上的奇函数，且在0，+) 上是增函数，f(x) 是 R 上的增函数.于是不等式可等价地转化为 f(cos23)f(2mcos4m),即 cos232mcos4m,即 cos2mcos+2m 20.设 t=cos,则问题等价地转化为函数 g(t) =t2mt+2m2=(t )2 +2m 2 在0，1上的值恒为正，又转化为函数 g(t)在0，1上的最小值为正.当0m1 与 m0421,即 m2 时，g(1)
9、=m10m1.m2综上，符合题目要求的 m 的值存在，其取值范围是 m42.锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：(1)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目.此类题目要求考生必须具有驾驭知识的能力，并具有综合分析问题和解决问题的能力.(2)应用问题.在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中，往往还要用到等价转化和数形结合的思想方法，把问题中较复杂、抽象的式子转化为基本的简单的式子去解决.特别是：往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题.歼灭难点训练一、选择题1.()设 f(x)是(,+)上的奇函数，f(x+2)=f(x),当 0x1 时，f(x)=x,则f(7.5)
10、等于 ( )A.0.5 B.0.5 C.1.5 D.1.52.()已知定义域为(1，1) 的奇函数 y=f(x)又是减函数，且 f(a3)+f(9 a2)lg.7.()定义在( ,4上的减函数 f(x)满足 f(msinx)f(+cos2x)对任意 xR都成立，求实数 m 的取值范围 .8.()已知函数 y=f(x)= (a,b,cR,a0,b0)是奇函数，当 x0 时，f(x)有最小值2，其中 bN 且 f(1)1.f()f()f(1), f()f()f(1).答案：f() f()f(1)三、5.解：函数 f(x)在(,0）上是增函数，设 x1x20,因为 f(x)是偶函数，所以f(x1)=
11、f(x1),f(x2)=f(x2),由假设可知x1x20,又已知 f(x) 在(0，+)上是减函数，于是有 f(x1)f(x2),即 f(x1)f(x2),由此可知，函数 f(x)在( ,0)上是增函数.6.解：(1）a=1.(2)f(x)= (xR)f-1(x)=log2 ( 1x1.(3)由 log2log2log2(1x)log2k,当 0k2 时，不等式解集为x|1kx1;当k2 时，不等式解集为x|1x1.7.解：，对 xR 恒成立 ,m,3.8.解：(1)f(x) 是奇函数，f(x)=f(x),即c=0,a0,b0,x0,f(x)=2，当且仅当 x=时等号成立，于是 2=2,a=b
12、2,由 f(1)得即,2b25b+20,解得b2，又 bN,b=1,a=1,f(x)=x+.(2)设存在一点(x0,y0) 在 y=f(x)的图象上，并且关于(1，0）的对称点(2 x0,y0)也在y=f(x)图象上，则消去 y0 得 x022x01=0,x0=1.y=f(x)图象上存在两点 (1+,2),(1,2)关于(1，0) 对称.函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一，特别是两性质的应用更加突出.本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识.难点磁场() 已知偶函数 f(x)在(0 ，+)上为增函数，且 f(2)=0,解不等式 flog2(x2+5x+4)
13、0.案例探究例 1已知奇函数 f(x)是定义在 (3，3)上的减函数，且满足不等式 f(x3)+f(x23)3x2,即 x2+x60,解得 x2 或 xf(0)对所有 0, 都成立？若存在，求出符合条件的所有实数 m 的范围，若不存在，说明理由 .命题意图：本题属于探索性问题，主要考查考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运算能力，属题目.知识依托：主要依据函数的单调性和奇偶性，利用等价转化的思想方法把问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析：考生不易运用函数的综合性质去解决问题，特别不易考虑运用等价转化的思想方法.技巧与方法：主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题.解：f(
14、x) 是 R 上的奇函数，且在0，+) 上是增函数，f(x) 是 R 上的增函数.于是不等式可等价地转化为 f(cos2 3)f(2mcos4m),即 cos232mcos4m,即 cos2mcos+2m 20.设 t=cos,则问题等价地转化为函数 g(t) =t2mt+2m 2=(t )2 +2m2 在0，1上的值恒为正，又转化为函数 g(t)在0，1上的最小值为正.当 0 m1 与 m042 1,即 m2 时，g(1)=m10 m1.m2综上，符合题目要求的 m 的值存在，其取值范围是 m4 2 .锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：(1)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综
15、合性题目.此类题目要求考生必须具有驾驭知识的能力，并具有综合分析问题和解决问题的能力.(2)应用问题.在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中，往往还要用到等价转化和数形结合的思想方法，把问题中较复杂、抽象的式子转化为基本的简单的式子去解决.特别是：往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题.歼灭难点训练一、选择题1.() 设 f(x)是(,+)上的奇函数，f(x+2)=f(x),当 0x1 时，f(x)=x,则 f(7.5)等于( )A.0.5 B.0.5 C.1.5 D.1.52.() 已知定义域为( 1，1) 的奇函数 y=f(x)又是减函数，且 f(a3)+f(9 a2)lg
16、.7.() 定义在( ,4上的减函数 f(x)满足 f(msinx)f( +cos2x)对任意 xR 都成立，求实数 m 的取值范围 .8.()已知函数 y=f(x)= (a,b,cR,a0,b0)是奇函数，当 x0 时，f(x) 有最小值2，其中 bN 且 f(1) 1.f( )f( )f(1), f( )f( ) f(1).答案：f( )f( )f(1)三、5.解：函数 f(x)在(,0）上是增函数，设 x1x20,因为 f(x)是偶函数，所以f(x1)=f(x1),f(x2)=f(x2),由假设可知x1x20,又已知 f(x) 在(0，+)上是减函数，于是有 f(x1)f(x2),即 f
17、(x1)f(x2),由此可知，函数 f(x)在( ,0)上是增函数.6.解：(1）a=1.(2)f(x)= (xR) f-1(x)=log2 (1x1 .(3)由 log2 log2 log2(1x) log2k,当 0k2 时，不等式解集为x|1kx1 ;当k2 时，不等式解集为x|1x1 .7.解： ，对 xR 恒成立,m ,3 .8.解：(1)f(x)是奇函数，f(x)=f(x),即 c=0,a0,b0,x0,f(x)= 2 ，当且仅当 x= 时等号成立，于是 2 =2,a=b2,由 f(1) 得 即 ,2b25b+20,解得 b2，又 bN,b=1,a=1,f(x)=x+ .(2)设存在一点(x0,y0) 在 y=f(x)的图象上，并且关于(1，0）的对称点 (2x0,y0)也在 y=f(x)图象上，则 消去 y0 得 x022x01=0,x0=1 .y=f(x)图象上存在两点 (1+ ,2 ),(1 ,2 )关于(1，0) 对称.
