1、镇江市区普通高中数学教学案 （教 师 版） 课题 等差和等比数列综合 上课教师 上课班级 主备人 李月兰 审核人 丁大江 上课 时间 教学目标 灵活运用等差数列、等比数列公式与性质解决一些综合性问题 教学重点与强化方法 等差数列和等比数列 的 通项 、 求和 及性质，通过典型题目强化方程思想 教学难点与突破方法 等差数列和等比数列 综合题 渗透了分类 讨论 和类比、归纳等重要的数学思想 ，要精选题目突破转化与化归、类比与归纳等思想方法 . 前 置 学 案 一、知识梳理： 等差数列和等比数列 项目 等差数列 等比数 列 定义 an an 1 d (n 2) anan 1 q(n 2) 通项公式
2、an a1 (n 1)d an a1qn 1(q 0) 判定方法 （带 *的可用于证明） *(1)定义法 *(2)中项公式法： 2an 1 an an 2(n 1) *(3)通项公式法： an pn q(p、 q 为常数 ) (4)前 n 项和公式法： Sn An2 Bn(A、 B 为常数 ) (5)an为等比数列， an0logaan为等差数列 *(1)定义法 *(2)中项公式法： a2n 1 anan 2(n 1)(an 0) *(3)通项公式法： an cqn(c、 q 均是不为 0 的常数，n N*) (4)an为等差数列 aan为等比数列 (a0 且 a 1) 性质 (1)若 m、
3、n、 p、 q N*，且 m n p q，则 am an ap aq (2)an am (n m)d (1)若 m、 n、 p、 q N*，且 m n p q，则 aman apaq (2)an amqn m (3)Sm， S2m Sm， S3m S2m， ，仍成等差数列 (3)等比数列依次每 n 项和 (Sn 0)仍成等 比数列 前 n 项和 Sn na1 an2 na1 nn 12 d (1)q 1， Sn a11 qn1 q a1 anq1 q (2)q 1， Sn na1 2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法： (1)定义法 :对于 n 2 的任意自然数 ,验证 )( 1
4、1 nnnn aaaa为 同 一 常 数 。 (2) 通 项 公 式 法 。 (3) 中 项 公 式 法 : 验证212 nnn aaa Nnaaa nnn )( 22 1 都成立。 3. 在等差数列 na 中 ,有关 Sn 的最值问题： (1)当 1a 0,d0 时，满足 001mmaa的项数 m 使得 ms 取最小值。在解含绝对值的数列最 值问题时 ,注意转化思想的应用。 二、基础训练 1在等比数列 an中，已知 a1 a3 8， a5 a7 4，则 a9 a11 a13 a15 _ 2.已知实数 a1， a2， a3， a4 构成公差不为零的等差数列 ， 且 a1， a3， a4 构成等
5、比数列 ， 则此等比数列的公比等于 _ 答案： 12 3. 植树节 某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树 ， 每人植一棵 ， 相邻两棵树相距 10 m开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边 ， 使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小 ， 这个最小值为 _m. 答案： 2 000 4. 已知数列 an， bn满足 a1 1， 且 an、 an 1 是函数 f(x) x2 bnx 2n 的两个零点 ， 则b10等于 _ 答案： 64 小结提炼： 教 学 过 程 项目 内容 个性 化 一 、 问题提出 （情景引入、 复习回顾） 前面我们复习了等差、等比数列的定义及通项公式、前
6、n 项和公式，本节课继续研究其应用 二 、 数学建构 （知识梳理） 见前置学案 三、基础训练 四、 例题选讲 例 1 有四个数，前三个成等比数列，其和为 19，后三个成等差数列，其和为 12，求这四个数 （一）选题目的 设元的常用技巧 （二）分析诱导 等差、等比数列的定义 （三）解题步骤 例 1解：设四个数为 ada ， da ， a ， da ，则 24123192 daaadaa da 或 142da 这四个数为： 9， 6， 4， 2 或 128， 16， 2， -12 （四）变式训练 已知等差数列 an满足： a1 8， a2 6.若将 a1， a4， a5都加上同一个数 m， 所得的
7、三个数依次成等比数列 ， 则 m 值为_ （五）小结提炼 等差、等比数列定义 例 2.已知等差数列 an满足： a1 2， 且 a1， a2， a5 成等比数列 (1) 求数列 an的通项公式； (2) 记 Sn 为数列 an的前 n 项和 ， 是否存在正整数 n， 使得 Sn 60n 800？若存在 ， 求 n 的最小值；若不存在 ， 说明理由 （一）选题目的 巩固等差、等比数列通项公式 （二）分析诱导 三个数成等比数列，等差数列通项 （三）解题步骤 解： (1) 设数列 an的公差为 d， 依题意知 ， 2， 2 d， 2 4d 成等比数列 ， 故有 (2 d)2 2(2 4d)， 化简得
8、 d2 4d 0，解得 d 0 或 d 4，当 d 0 时 ， an 2；当 d 4 时 ， an 2 (n 1)4 4n 2， 从而得数列 an的通项公式为 an 2 或 an 4n 2. (2) 当 an 2 时 ， Sn 2n， 显然 2n60n 800 成立 当 an 4n 2 时 ， Sn n2（ 4n 2） 2 2n2. 令 2n260n 800， 即 n2 30n 4000， 解得 n40 或 n60n 800 成立 ， n 的最小值为 41. 综上 ， 当 an 2 时 ， 不存在满足题意的正整数 n；当 an4n 2 时 ， 存在满足题意的正整数 n， 其最小值为 41. （
9、四）变式训练 . 已知等比数列 an满足 2a1 a3 3a2， 且 a3 2 是 a2， a4 的等差中项 (1) 求数列 an的通项公式； (2) 若 bn an log2 1an， Sn b1 b2 bn， 求使 Sn 2n 1 476即实数 的取值范围为 (6， ) （四）小结提炼 等差、等比数列通 项公式、求和公式 例 4.在数列 an中 ， 已知 a1 a2 1， an an 2 2an 1，n N*， 为常数 (1) 证明： a1， a4， a5 成等差数列； (2) 设 cn 2an 2 an， 求数列 cn的前 n 项和 Sn； (3) 当 0 时 ， 数列 an 1中是否存
10、在三项 as 1 1， at 1 1， ap 1 1 成等比数列 ， 且 s， t， p 也成等比数列？若存在 ，求出 s， t， p 的值；若不存在 ， 说明理由 （一）选题目的 巩固等差数列的定义 （二）分析诱导 等差数列的定义 （三）解题步骤 (1) 证明：因为 an an 2 2an 1， a1 a2 1， 所以 a3 2a2 a1 1. 同理， a4 2a3 a2 3 1， a5 2a4 a3 6 1. 因为 a4 a1 3， a5 a4 3， 所以 a4 a1 a5 a4，故 a1， a4， a5 成等差数列 (2) 解：由 an an 2 2an 1， 得 an 2 an 1 a
11、n 1 an， 令 bn an 1 an，则 bn 1 bn， b1 a2 a1 0， 所以 bn 是以 0 为首项，公差为的等差数列， 故 bn b1 (n 1) (n 1)， 即 an 1 an (n 1)， 所以 an 2 an 2(an 1 an) (2n 1)， 所以 cn 2an 2 an 2(2n 1) . Sn c1 c2 cn 2 23 25 2(2n 1)， 当 0 时， Sn n； 当 0 时， Sn 2 23 25 2(2n 1)2（ 1 22n）1 22 . 所以数列 cn的前 n项和 Snn， 0，2（ 1 22n）1 22 ， 0.(3) 证明：由 (2)知 an
12、 1 an (n 1)，用累加法可求得 an 1 （ n 1）（ n 2）2 (n 2)， 当 n 1 时也适合，所以 an 1 （ n 1）（ n 2）2 (n N ) 假设存在三项 as 1 1， at 1 1， ap 1 1 成等比数列，且 s， t， p 也成等比数列， 则 (at 1 1)2 (as 1 1)(ap 1 1)， 即 t2（ t 1） 24 s（ s 1） p（ p 1）4 . 因为 s， t， p 成等比数列，所以 t2 sp， 所以 (t 1)2 (s 1)(p 1)， 化简得 s p 2t，联立 t2 sp，得 s t p.这与题设矛盾 故不存在三项 as 1 1
13、， at 1 1， ap 1 1 成等比数列，且 s， t， p 也成等比数列 （四 )小结提炼 五、 当堂检测 （ 实验班 4 题、普通班 3 题、艺术班 2 题 ） 1、 在等差数列 an中 ， 已知 a2 a8 11， 则 3a3 a11的值为 _ 答案： 22 2、 在等差数列 an中 ， 公差 d 0， 前 n 项和为 Sn， a2 a3 45， a1 a5 18. 求数列 an的通项公式； 3. 已知 Sn 为等差数列 an的前 n 项和 ， a1 1， S3 6， 则 S6 _ 答案： 39 4. 设等比数列 an的前 n 项和为 Sn， 若 S3 7， S6 63， 则a7 a
14、8 a9 _ 答案： 448 六、 课堂总结 七、 课后作业 1、 已知等比数列 an的各项均为正数 ， 若 a4 a22， a2 a4 516， 则 a5 _ 答案： 132 2、 已知 Sn 为等差数列 an的前 n 项和 ， a1 1， S3 6，则 S6 _ 答案： 39 3、 设数列 an是公差 d0 的等差数列 ， Sn 为其前 n 项和 ，若 S6 5a1 10d， 则 Sn 取最大值时 ， n _ 答案： 5或 6 4. 设等差数列 an的公差为 d， 前 n 项和为 Sn， 已知 S3a5， S5 25. (1) 求数列 an的通项公式； (2) 若 p、 q 为互不相等的正
15、整数 ， 且等差数列 bn满足 b1 a14， bap p， baq q， 求数列 bn的前 n 项和 Tn. 解： (1) 由已知 ， 得3a1 3d a1 4d，5a1 10d 25， 解得a1 1，d 2. an 2n 1. (2) p、 q 为正整数 ， 由 (1)得 ap 2p 1， aq 2q 1. 进一步由已知 ， 得 b2p 1 p， b2q 1 q. bn是等差数列 ， p q， bn的公差 d q p2q 2p 12. Tn nb1 n（ n 1）2 d n24 5. 设等差数列 an的前 n 项和为 Sn， 若 a10， S2 015 0. (1) 求 Sn 的最小值及此
16、时 n 的值； (2) 求 n 的取值集合 ， 使其满足 an Sn. 解： (1) 设公差为 d， 则由 S2 015 0 2 015a1 2 015 2 0142 d 0 a1 1 007d 0， d 11 007a1， a1 an 2 015 n1 007 a1， Sn n2(a1 an) n2 2 015 n1 007 a1 a12 014(2 015n n2) a10， n N*， 当 n 1 007 或 1 008 时 ， Sn取最小值 504a1. (2) an 1 008 n1 007 a1， Sn an a12 014(2 015n n2) 1 008 n1 007 a1. a10， n2 2 017n 2 016 0， 即 (n 1)(n 2 016) 0， 解得 1 n 2 016. 故所求 n 的 取值集合为 n|1 n 2 016， n N* 八、 教学反思
