1、1模块综合测试(B)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1如果 a0， b0，那么，下列不等式中正确的是( )A. B. 1a 1b a bC a2 b2 D| a| b|解析： 如果 a0， b0，那么 0， 0，1a 1b .1a 1b答案： A2已知两个正数 a， b 的等差中项为 4，则 a， b 的等比中项的最大值为( )A2 B4C8 D16解析： 4，故选 B.aba b2答案： B3 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 c ， b ， B120，则2 6a( )A. B2
2、6C. D.3 2解析： 由正弦定理，得 ，6sin 120 2sin Csin C .12又 C 为锐角，则 C30， A30， ABC 为等腰三角形， a c ，故选 D.2答案： D4在等差数列 an中，若 a4 a612， Sn是数列 an的前 n 项和，则 S9的值为( )A48 B54C60 D66解析： 因为 a4 a6 a1 a9 a2 a8 a3 a72 a512，所以 S9 a1 a954.答案： B25不等式 ax2 bx20 的解集是 ，则 a b 的值是( )(12， 13)A10 B10C14 D14解析： 不等式 ax2 bx20 的解集是 ，即方程 ax2 bx
3、20 的解为(12， 13)x 或 ，12 13故Error!解得Error! a b14.答案： C6 ABC 的三个内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， asin Asin B bcos2A a，2则 ( )baA2 B23 2C. D.3 2解析： 由正弦定理，得 sin2Asin Bsin Bcos2A sin A，即 sin 2B(sin2Acos 2A) sin A，sin B sin A， .2 2ba sin Bsin A 2答案： D7已知等差数列 an的公差 d0 且 a1， a3， a9成等比数列，则 等于( )a1 a3 a9a2 a4 a10A. B
4、.1514 1213C. D.1316 1516解析： 因为 a a1a9，所以( a12 d)2 a1(a18 d)23所以 a1 d.所以 .a1 a3 a9a2 a4 a10 3a1 10d3a1 13d 1316答案： C8数列 an满足 a11， a22,2 an1 an an2 ，若 bn ，则数列 bn的前 51anan 1项和等于( )A1 B.56C. D.16 1303解析： 2 an1 an an2 ， an是等差数列又 a11， a22， an n.又 bn ，1anan 1 1n n 1 1n 1n 1 b1 b2 b3 b4 b5 (112) (12 13) (15
5、 16)1 ，故选 B.16 56答案： B9实数 x， y 满足不等式组Error!则 k 的取值范围是( )y 1x 1A. B. 1，13 12， 13C. D.12， ) 12， 1)解析： 作平面区域如图所示， k 表示点( x， y)与点(1,1)连线的斜率，故选 D.y 1x 1答案： D10等比数列 an中，已知对任意自然数 n， a1 a2 a3 an2 n1，则 a a a21 2 a ( )23 2nA(2 n1) 2 B. (2n1)13C4 n1 D. (4n1)13解析： 由已知等比数列 an的前 n 项和 Sn2 n1，所以 a1 S11， a2 S2 a12，所
6、以公比 q2.又因为 2 q24，a2n 1a2n (an 1an )所以数列 a 是以 q24 为公比的等比数列，2n所以 a a a a (4n1)21 2 23 2n1 4n1 4 13答案： D411已知 x， yR ，2 x y2， c xy，那么 c 的最大值为( )A1 B.12C. D.22 14解析： 由已知，22 x y2 2 ，所以 c .2xy 2c12答案： B12在 ABC 中，已知 a 比 b 长 2， b 比 c 长 2，且最大角的正弦值是 ，则 ABC 的面32积是( )A. B.154 154 3C. D.214 3 354 3解析： 由题可知 a b2，
7、b c2， a c4.sin A ， A120.32又 cos Acos 120 b2 c2 a22bc c 2 2 c2 c 4 22c c 2 ，c2 4c 122c c 2 12整理得 c2 c60， c3( c2 舍去)，从而 b5， S ABC bcsin A .故选 B.12 154 3答案： B二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分请把正确答案填在题中横线上)13若Error!则 z2 y2 x4 的最小值为_解析： 作出可行域，如图所示，当直线 z2 y2 x4 过可行域上点 B 时，直线在 y 轴上的截距最小， z 最小，又点 B坐标为(1,1)，所以
8、zmin212144.5答案： 414在等比数列 an中，若 a9a114，则数列 log an前 19 项之和为_12解析： 由题意 an0，且 a1a19 a2a18 a9a11 a ，210又 a9a114，所以 a102，故 a1a2a19( a10)192 19.故 log a1log a2log a19log (a1a2a19)12 12 12 12log 21919.12答案： 1915在 ABC 中，若 b1， c ， C ，则 a_.323解析： c2 a2 b22 abcos C，( )2 a21 22 a1cos ，323 a2 a20，( a2)( a1)0 a1答案：
9、 116设关于 x 的不等式 ax b0 的解集为 x|x1，则关于 x 的不等式 0ax bx2 5x 6的解集为_解析： 由题意得：a0 且 1.ba又原不等式可变为( x6)( x1)( ax b)0，故由右图可知 x|1 x1 或 x6答案： x|1 x1 或 x6三、解答题(本大题共 6 小题，共 74 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 12 分)解不等式组Error!.解析： Error!Error!6Error!Error!2 x1.不等式组的解集为 x|2 x118(本小题满分 12 分)设 Sn是公差不为 0 的等差数列 an的前 n 项和，
10、且 S1， S2， S4成等比数列(1)求 的值；a2a1(2)若 a59，求 an及 Sn的表达式解析： (1)设等差数列 an的公差是 d. S1， S2， S4成等比数列， S S1S4，即(2 a1 d)2 a1(4a16 d)，2化简得 d22 a1d，注意到 d0， d2 a1. 3.a2a1 a1 da1 3a1a1(2)a5 a14 d9 a19， a11， d2. an a1( n1) d2 n1， Sn n2.n a1 an219(本小题满分 12 分)在 ABC 中， a， b， c 分别是角 A， B， C 的对边，且(2 a c)cos B bcos C0.(1)求角
11、 B 的大小；(2)若 b ； a c4，求 ABC 的面积13解析： (1)由余弦定理得 cos B ，a2 c2 b22accos C ，a2 b2 c22ab将上式代入(2 a c)cos B bcos C0，整理得 a2 c2 b2 ac，cos B ，a2 c2 b22ac ac2ac 12 B 为 ABC 的内角， B .23(2)由余弦定理得 b2 a2 c22 accos B，即 b2( a c)22 ac2 accos B，将 b ， a c4， B 代入上式得，132313162 ac ， ac3.(112)7 S ABC acsin B .12 33420(本小题满分 1
12、2 分)设集合 A、 B 分别是函数 y 与函数 ylg(6 x x2)的1x2 2x 8定义域， C x|x24 ax3 a20若 A BC，求实数 a 的取值范围解析： 由 x22 x80，得 x4 或 x2，所以 A x|x4 或 x2；由 6 x x20，即 x2 x60，得2 x3，所以 B x|2 x3于是 A B x|2 x3由 x24 ax3 a20，得( x a)(x3 a)0，当 a0 时， C x|a x3 a，由 A BC，得Error!，所以 1 a2；当 a0 时，不等式 x24 ax3 a20即为 x20，解集为空集，此时不满足 A BC；当 a0 时， C x|
13、3a x a，由 A BC，得Error!，此不等式组无解综上，满足题设条件的实数 a 的取值范围为 a|1 a221(本小题满分 12 分)某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：单位产品所需资金(百元)资金空调机 洗衣机月资金供应量(百元)成本 30 20 300劳动力(工资) 5 10 110单位利润 6 8试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利
14、润达到最大，最大利润是多少？解析： 设空调机、洗衣机的月供应量分别是 x， y 台，总利润是 z，则 z6 x8 y由题意有 Error!x， y 均为整数8由图知直线 y x z 过 M(4,9)时，纵截距最大这时 z 也取最大值34 18zmax648996(百元)故当月供应量为空调机 4 台，洗衣机 9 台时，可获得最大利润 9 600 元22(本小题满分 14 分)设数列 an的前 n 项和为 Sn，且满足 Sn2 an， n1,2,3，.(1)求数列 an的通项公式；(2)若数列 bn满足 b11，且 bn1 bn an，求数列 bn的通项公式；(3)设 cn n(3 bn)，数列
15、cn的前 n 项和为 Tn，求证： Tn8.解析： (1) n1 时， a1 S1 a1 a12， a11. Sn2 an，即 an Sn2， an1 Sn1 2.两式相减： an1 an Sn1 Sn0.即 an1 an an1 0故有 2an1 an， an0， (nN )，an 1an 12 an n1 .(12)(2) bn1 bn an(n1,2,3，)， bn1 bn n1 .(12)得 b2 b11， b3 b2 ， b4 b3 2，12 (12)bn bn1 n2 (n2,3，)(12)将这 n1 个等式相加，得bn b11 2 3 n212 (12) (12) (12) 2 n2 .1 (12)n 11 12 (12)又 b11， bn3 n2 (n1,2,3)(12)(3)证明： cn n(3 bn)2 n n1 .(12)9 Tn2 .(12)0 2(12) 3(12)2 n 1 (12)n 2 n(12)n 1而 Tn122 .(12) 2(12)2 3(12)3 n 1 (12)n 1 n(12)n得Tn2 2 n n.12 (12)0 (12)1 (12)2 (12)n 1 (12)Tn4 4 n n1 (12)n1 12 (12)8 4 n n82n (12)8 (n1,2,3，)8 4n2n Tn8.
