1、第六章 数列高考中数列问题的热点题型对近几年高考试题统计看，新课标全国卷中的数列与三角基本上交替考查，难度不大但自主命题的省市高考题每年都考查，难度中等考查内容主要集中在两个方面：一是以选择题和填空题的形式考查等差、等比数列的运算和性质，题目多为常规试题；二是等差、等比数列的通项与求和问题，有时结合函数、不等式等进行综合考查，涉及内容较为全面，试题题型规范、方法可循热点一 等差数列、等比数列的综合问题 解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前 n 项和公式解决问题，求解这类问题要重视方程思想的应用典题 1 2015湖北卷设等差数列 an的公差
2、为 d，前 n 项和为 Sn，等比数列 bn的公比为 q.已知 b1 a1， b22， q d， S10100.(1)求数列 an， bn的通项公式；(2)当 d1 时，记 cn ，求数列 cn的前 n 项和 Tn.anbn解 (1)由题意，Error! 即Error!解得Error! 或Error! 故Error!或Error!(2)由 d1 知， an2 n1， bn2 n1 ，故 cn ，2n 12n 1于是 Tn1 ，32 522 723 924 2n 12n 1Tn .12 12 322 523 724 2n 32n 1 2n 12n，得Tn2 12 12 122 12n 2 2n
3、12n3 ，2n 32n故 Tn6 .2n 32n 1用错位相减法解决数列求和问题的步骤第一步：(判断结构)若数列 anbn是由等差数列 an与等比数列 bn(公比 q)的对应项之积构成的，则可用此法求和第二步：(乘公比)设 anbn的前 n 项和为 Tn，然后两边同乘以 q.第三步：(错位相减)乘以公比 q 后，向后错开一位，使含有 qk(kN *)的项对应，然后两边同时作差第四步：(求和)将作差后的结果求和，从而表示出 Tn.技巧点拨1分析已知条件和求解目标，确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题，如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的逻辑次序2等差
4、数列和等比数列可以相互转化，若数列 bn是一个公差为 d 的等差数列，则 abn(a0， a1)就是一个等比数列，其公比 q ad；反之，若数列 bn是一个公比为 q(q0)的正项等比数列，则log abn(a0， a1)就是一个等差数列，其公差 dlog aq.设 an是公比大于 1 的等比数列， Sn为数列 an的前 n 项和，已知 S37，且a13,3 a2， a34 构成等差数列(1)求数列 an的通项公式；(2)令 bnln a3n1 ， n1,2，求数列 bn的前 n 项和 Tn.解：(1)由已知，得Error! a22.设数列 an的公比为 q，由 a22，可得 a1 ， a32
5、 q，2q又 S37，所以 22 q7，2q即 2q25 q20，解得 q2 或 q .12 q1， q2， a11.故数列 an的通项公式为 an2 n1 .(2)由(1)，得 a3n1 2 3n， bnln 2 3n3 nln 2.又 bn1 bn3ln 2，数列 bn为等差数列 Tn b1 b2 bnn b1 bn2 ln 2.n 3ln 2 3nln 22 3n n 12热点二 数列的通项与求和数列的通项与求和是高考必考的一种题型，重点在于灵活运用等差、等比数列的定义、性质、通项公式与前 n 项和公式其中求通项是解答题目的基础同时要重视方程思想的应用典题 2 2015天津卷已知数列 a
6、n满足 an2 qan(q 为实数，且 q1)，nN *， a11， a22，且 a2 a3， a3 a4， a4 a5成等差数列(1)求 q 的值和 an的通项公式；(2)设 bn ， nN *，求数列 bn的前 n 项和log2a2na2n 1解 (1)由已知，有( a3 a4)( a2 a3)( a4 a5)( a3 a4)，即 a4 a2 a5 a3，所以 a2(q1) a3(q1)又 q1，所以 a3 a22.由 a3 a1q，得 q2.当 n2 k1( kN *)时， an a2k1 2 k1 2 ； 当 n2 k(kN *)时， an a2k2 k2 . 所以 an的通项公式为
7、an(2)由(1)，得 bn ， nN *.log2a2na2n 1 n2n 1设 bn的前 n 项和为 Sn，则Sn1 2 3 ( n1) n ，120 121 122 12n 2 12n 1Sn1 2 3 ( n1) n ，12 121 122 123 12n 1 12n上述两式相减，得Sn1 12 12 122 12n 1 n2n1 12n1 12 n2n2 ，22n n2n整理，得 Sn4 ， nN *.n 22n 1所以数列 bn的前 n 项和为 4 ， nN *.n 22n 11根据所给条件的特点，确定合适的方法求通项，如根据 an与 Sn的关系求 an.根据递推关系求 an.2根
8、据数列的特点选择合适的求和方法，常用的有分组求和，裂项求和、错位相减法求和等2017安徽合肥模拟已知数列 an1 an的前 n 项和 Sn2 n1 2， a10.(1)求数列 an1 an的通项公式；(2)求数列 an的通项公式解：(1)设 an1 an bn.当 n2 时， bn Sn Sn1 (2 n1 2)(2 n2)2 n.当 n1 时， b1 S12，满足 n2 时 bn的形式所以 an1 an bn2 n.(2)由(1)，得 an1 an2 n，则 an2 an1 2 n1 .两式相减，得 an2 an2 n.当 n 为奇数时，an a1( a3 a1)( a5 a3)( an2
9、an4 )( an an2 )02 12 32 n4 2 n2 .2 1 2n 11 22 2n3 23当 n 为偶数时，由(1)知， a10， a2 a12，得 a22.an a2( a4 a2)( a6 a4)( an2 an4 )( an an2 )22 22 42 n4 2 n22 .22 2n 2221 22 2n3 23综上所述，数列 an的通项公式是anError!热点三 数列与不等式的综合问题数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明在解决这些问题时，如果是证明题要
10、灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法等如果是解不等式问题，要使用不等式的各种不同解法，如数轴法、因式分解法等主要有以下几个命题角度：考查角度一 放缩法证明数列不等式典题 3 设各项均为正数的数列 an的前 n 项和为 Sn，且 Sn满足 S ( n2 n3)2nSn3( n2 n)0， nN *.(1)求 a1的值；(2)求数列 an的通项公式；(3)求证：对一切正整数 n，有 .1a1 a1 1 1a2 a2 1 1an an 1 13(1)解 由题意知， S ( n2 n3) Sn3( n2 n)0， nN *.令 n1，有2nS (1 213) S13(1 21)0，21可
11、得 S S160，解得 S13 或 2，即 a13 或 2，21又 an为正数，所以 a12.(2)解 由 S ( n2 n3) Sn3( n2 n)0， nN *，可得( Sn3)( Sn n2 n)0，则2nSn n2 n 或 Sn3，又数列 an的各项均为正数，所以 Sn n2 n，所以当 n2 时，an Sn Sn1 n2 n( n1) 2( n1)2 n.又 a1221，所以 an2 n， nN *.(3)证明 当 n1 时， 成立；1a1 a1 1 123 16 13当 n 2 时， 1an an 1 12n 2n 1 1 2n 1 2n 1 ，12( 12n 1 12n 1)所以
12、 1a1 a1 1 1a2 a2 1 1an an 1 16 12(13 15) ( 12n 1 12n 1) .16 12(13 12n 1) 16 16 13所以对一切正整数 n，有 .1a1 a1 1 1a2 a2 1 1an an 1 13数列中不等式可以通过对中间过程或最后的结果放缩得到即先放缩再求和或先求和再放缩考查角度二 数列中不等式的恒成立问题典题 4 已知单调递增的等比数列 an满足 a2 a3 a428，且 a32 是 a2， a4的等差中项(1)求数列 an的通项公式；(2)若 bn anlog an， Sn b1 b2 bn，对任意正整数 n， Sn( n m)an1
13、0 恒成立，12试求 m 的取值范围解 (1)设等比数列 an的首项为 a1，公比为 q.依题意，有 2(a32) a2 a4，代入 a2 a3 a428，得 a38. a2 a420，Error! 解得Error! 或Error! 又 an单调递增，Error! an2 n.(2)bn2 nlog 2n n2n，12 Sn1222 232 3 n2n，2 Sn12 222 332 4( n1)2 n n2n1 ，得 Sn22 22 32 n n2n1 n2n1 2 n1 n2n1 2.2 1 2n1 2由 Sn( n m)an1 0，得2n1 n2n1 2 n2n1 m2n1 0 对任意正整数 n 恒成立， m2n1 22 n1 ，即 m 1 对任意正整数 n 恒成立 11， m1，12n 12n即 m 的取值范围是(，1数列中有关项或前 n 项和的恒成立问题，往往转化为数列的最值问题；求项或前 n 项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解
